Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика конспект

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

613.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

коэффициентом касательной.

ЗАМЕЧАНИЕ Касательная в смысле данного определения удовлетворяет

соотношению lim ρ (M , l) из общего определения касательной.

x→x0 M 0 M

СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл производной) График функции f ( x) имеет касательную в точке ( x0 , f ( x0 )) тогда и только тогда, когда f ( x) имеет производную в x0 . В этом случае угловой коэффициент касательной k = f ′( x0 ) .

Определение Если график функции имеет касательную в точке ( x0 , f ( x0 )) , то прямая l проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику в ( x0 , f ( x0 )) .

′

}, −1} перпендикулярен

ЗАМЕЧАНИЕ Так как вектор нормали к касательной n := { f {x0

вектору{

,1} , то уравнение нормали можно записать в виде

f ′{x }

Y = −

( X

− x0 ) + f ( x0 )

f ′( x0 )

____

Определение

Правой (левой) производной функции

у = f ( x)

в точке x0 называется

конечный предел f x′( x0 + 0) := lim

f x′( x0

− 0) := lim

, если он существует.

x→x0 +0 x

x→x0 −0

ТЕОРЕМА (правила дифференцирования) 1) (α f + β g )′ = α f ′ + β g ′ .

2) ( f g )′ = f ′ g + f g ′	3)	f ′		f ′ g − f g ′	в тех точках, где знаменатель не равен нулю.
			=
				g 2
		g

4) Пусть у = f ( x) монотонна, непрерывна в окрестности x0 и дифференцируема в x0

′

:= f ( x0 ) . Тогда обратная функция

x =

−1

( y) монотонна, непрерывна в

и f ( x0 ) ≠ 0 , y0

окрестности точки y0 , дифференцируема в

и ( f

−1

′

5) (производная

) ( y0 ) =

f ′( x0 )

сложной функции) Пусть функция y = g ( x)

определена в окрестности x0 и дифферен

цируема в x0 ;

пусть z = f ( y) определена в окрестности y0 := g ( x0 )

и дифференцируема

в y0 . Тогда функция z = f ( g ( x))

дифференцируема в x0 и ( f g )′( x0 ) = f y′( y0 ) g ′( x0 ) .

_____

Определение

Пусть функция

у = f ( x) определена в окрестности точки

x0 . Говорят,

что

f ( x) - дифференцируема (расчленима) в точке x0 если A R

= A

x + α ( x) , где

α ( x)

есть БМ при x → x . Если f ( x) дифференцируема

в x

то

слагаемое A x

называется дифференциалом функции f ( x) .	Обозначение df := A x .
ТЕОРЕМА (свойства дифференциала). 1) Функция f ( x)	дифференцируема в x0
и только тогда, когда она имеет производную в x0 . При этом A =			′
		f ( x0 ) .
		f		df g − f dg
2) d (α f + β g ) = α df + β dg . 3) d ( f g ) = df g + f dg . 4) d			=
				g 2
		g
5) (инвариантность дифференциала при замене) Если функция y = g ( x)
дифференцируема в точке x0 , а z = f ( y) дифференцируема в точке y0				= f ( x0 ) , то

тогда

сложная функция z = f ( g ( x)) дифференцируема в x0 и df = d ( f g ) .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Ввиду первого утверждения теоремы термины "дифференцируемая функция" и "функция, имеющая производную" взаимозаменяемы.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (геометрический смысл дифференциала) Так как уравнение кассате

льной к графику функции y = f ( x) в точке		( x0 , f ( x0 )) имеет вид y = f x′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ,
то дифференциал dy := f x′( x0 )	x в точке	x0 совпадает, очевидно, с приращением
y − f ( x0 ) ординаты касательной, проведенной в этой точке.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 При условии f	′
	( x0 ) ≠ 0 имеет место приближенное равенство

f ( x) − f ( x0 ) = df + α ( x) ≈ df , которое используется для приближенного вычисления значений функции.

_____

Определение Производной нулевого порядка функции в точке называется ее значение в этой точке. Пусть существует производная (n −1) - го порядка f (n−1) ( x) в каждой точке некоторой окрестности точки x0 . Если существует конечный предел

(n) ( x

) := lim

f (n−1) ( x) − f (n−1) ( x0 )

x→x0

x − x

то он называется производной n-го порядка функции f ( x)

в точке x0 .

Обозначение f

( n)

d n f

( n−1)

′

( x0 ) . Исторически приняты обозначения

(x0 ) =

( x0 ) := ( f

(x))x

dxn

′

′′

′′′

( x),

(5)

( x), f

(6)

( x), ... .

f ( x),

( x),

Определение (физический смысл производной).

Пусть материальная точка движется

вдоль оси OX

по закону x = x(t) . Средней скоростью движения на промежутке

, t

+ t]

называется величина v

. Мгновенной скоростью движения в момент

ср

времени t

называется

x(t0 + t) − x(t0 )

′

) .

v(t ) := lim v

= lim

=: x (t

t →0

ср

t →t0

Средним ускорением на промежутке [t

, t

t] называется величина W :=

ср

Мгновенным ускорением в момент времени t0

называется

w(t0 ) := lim wср

lim

v(t0

+ t ) − v(t0 )

=: v′(t0 ) =: x′′(t0 ) .

t →t0

_____

Определение Функция y = f ( x)

называется дифференцируемой на множестве X ,

если

она имеет производную в каждой точке x X .

ТЕОРЕМА Пусть функции y = f ( x) ,

y = g ( x)

непрерывны на

[a, b] , дифференцируемы

на (a, b) и

′

f (a) = f (b) = 0 , то

(a, b) g ( x) ≠ 0 . Тогда: 1) (теорема Ролля) если

(a, b)

′

f (b) − f (a)

f ′(c)

(правило Лопиталя) Если

(a, b)

g (b) − g (a)

g ′(c)

. 3)

f (a) = g (a) = 0

и существует конечный предел A := lim

f ′( x)

, то существует lim

f ( x)

и он

x→a g ′( x)

x→a g ( x)

равен A .

СЛЕДСТВИЕ (формула Лагранжа) Теорема Коши при g ( x) := x принимает вид

(a, b)

f (b) − f (a) = f

′

(c)(b − a) .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функции f ( x), g ( x) дифференцируемы на (a, b) и lim f ( x) = lim g ( x) = 0
					x→a	x→a
или ∞ , то из lim	f ′( x)	= A	lim	f ( x)	= A .

x→a g ′( x)			x→a g ( x)
			_____
Определение Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума)
функции f ( x) , если ε > 0			x ( x0 − ε , x0 + ε ) ∩ X f ( x) ≤ f ( x0 ) ( f (x) ≥ f ( x0 )) . Точки

локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.

ТЕОРЕМА (о локальном экстремуме)							1) Если f ( x) не возрастает (не убывает) и
дифференцируема на (a, b) , то							′
дифференцируема на (a, b) , то				x		(a, b)	f ( x) ≥ 0 .
2) Если		′	, то		f ( x) возрастает (убывает) на (a, b) .
2) Если	x	(a, b) f ( x) > 0 (< 0)	, то		f ( x) возрастает (убывает) на (a, b) .

3)(теорема Ферма) Если x0 - точка локального экстремума функции f ( x) , и f ( x) дифференцируема в x0 , то f ′( x0 ) = 0 .

4)(первое достаточное условие локального экстремума). Пусть f ( x) дифференцируе

ма на

( )

, x0

(

)

′(

)

= 0 . Если

(a, x0 )

′

( x0 , b)

′

a, b

a, b ,

f (x) > 0 (< 0)

f ( x) < 0 (> 0) ,

то x0

- точка максимума (минимума) на (a, b) .

5) (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть

f ( x)

имеет вторую

производную

′′

′

Если

′′

то

точка локального

( x0 )

( x0 ) = 0 .

f ( x0 ) < 0 (> 0) ,

максимума (минимума).

Определение Пусть функция y = f ( x) определена на (a, b) , и ее график имеет касательную в каждой точке ( x, f ( x)) . Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на

(a, b) , если она лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Определение Точка (c, f (c)), c (a, b) , называется точкой перегиба кривой, если эта

кривая выпукла (вогнута) на (a, c) и вогнута (выпукла) на (c, b) .

ТЕОРЕМА

Пусть f ( x)

дважды дифференцируема на (a, b) . 1) (необходимые условия

выпуклости) Если кривая

выпукла

(вогнута)

на (a, b) ,

то

′

не

убывает

(не

f ( x)

возрастает)

на

′′

2) (достаточные условия

(a, b)

(a, b) f ( x) ≥ 0

( f

( x) ≤ 0 )

выпуклости)

Если

′

монотонно

возрастает

(убывает)

на

(a, b)

или

( x)

′′

< 0) , то кривая выпукла (вогнута) на (a, b) .

3) (необходимые

(a, b) f

( x)

> 0 ( f ( x)

условия точки перегиба). Если

c - точка перегиба кривой, то f

′′

Важной характеристикой гладкой кривой и одновременно мерой ее выпуклости

является понятие кривизны.

Определение Пусть дана гладкая кривая l : x = x(t) ,

t [0,1] , то есть функции x(t), y(t)

y = y(t )

непрерывно дифференцируемы на [0,1]

и все ее точки неособые. Обозначим θ (t ) угол

наклона касательной в точке ( x(t), y(t ))

кривой, а s(t, t +

t ) - длину дуги между точками

( x(t), y(t )), ( x(t +

t), y(t +

t)) этой кривой. Предел k (t

) := lim

θ (t0 +

t) − θ (t0 )

отношения

t →+0

s(t0

, t0 +

t )

приращения угла наклона касательной к длине соответствующей дуги, если он

существует, называется кривизной кривой в точке ( x(t0 ), y(t0 )) .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функции x(t), y(t) дважды дифференцируемы, то кривизна кривой

в точке ( x(t), y(t )) вычисляется по формуле k (t) := y′′(t ) x′(t) − y′(t) x′′(t) .

( x′2 (t ) + y′2 (t )) 2

СЛЕДСТВИЕ Если кривая задана уравнением y = f ( x) , то k ( x) =	f ′′( x)
		.
	3

	(1 + f ′2 ( x)) 2

Из этой формулы и предыдущей теоремы следует, что положительное значение кривизны означает выпуклость, а отрицательное значение - вогнутость кривой в соответствующей точке. Кривыми с нулевой кривизной k ( x) ≡ 0 являются прямые и только они.

_____

Определение Пусть функция y = f ( x) определена на некотором интервале ( x0 − ε , x0 + ε ) и имеет на нем производные до (n + 1) -го порядка включительно. Многочлен степени

f ′( x )

(n) ( x )

− x )n

≤ n p

( x) := f ( x ) +

( x − x

) + ... +

( x

называется многочленом Тейлора.

1 !

n !

Разность Rn ( x) := f ( x) − pn ( x)

остаточным

членом.

Формула

f ( x) = pn ( x) + Rn ( x) -

формула Тейлора.

ТЕОРЕМА (свойства формулы Тейлора)

Многочлен

Тейлора является

единственным многочленом степени ≤ n , который удовлетворяет равенствам:

p( x0 ) = f ( x0 ),

′

(n)

( x0 ) = f

( n)

( x0 ) .

p( x0 ) = f ( x0 ), ... , p

2) Остаточный член Rn ( x) можно представить в форме Лагранжа

R ( x) =

f (n+1) (ξ )

( x − x )n+1

, где число ξ находится между x и x .

(n + 1)!

ЗАМЕЧАНИЕ 1 В теореме остаточный член можно записать менее точно, в форме

Пеано Rn (x) = ( x − x0 )n o(1) = o(( x − x0 )n ) .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 При n = 0 формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа f ( x) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) совпадает с формулой Лагранжа. При n = 1 формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано совпадает с формулой дифференциала.

ЗАМЕЧАНИЕ Для h > 0 положим M k (h) :=

max

| f (k ) ( x) | . Тогда

x−x0

≤h

x [ x − h, x + h]

f ( x) − p ( x)

R ( x)

≤

n+1

(h) hn+1

=: ω(n, h) .

(n +

1) !

Формула Тейлора позволяет решать следующие три задачи.

1)По заданным степени n многочлена и длине отрезка 2h оценить в терминах ω (n, h) величину отклонения pn ( x) от f ( x) на [ x0 − h, x0 + h]

2)При заданным длине отрезка 2h и точности ω определить степень n многочлена pn ( x) , отклонение которого от f ( x) на [ x0 − h, x0 + h] не превышает ω .

3)По заданным степени многочлена n и точности ω определить максимальную длину 2h отрезка [ x0 − h, x0 + h] , на котором pn ( x) отклоняется от f ( x) не более, чем на ω .

_____

В заключение параграфа рассмотрим два случая расположения асимптот неограниченной кривой.

1) Асимптота l : x = a вертикальная. В этом случае расстояние от переменной точки

M = ( x, f ( x)) кривой до асимптоты ρ (M , l ) = ( x − a)2 + ( f ( x) − f ( x))2 = x − a → 0 ,

когда M = ( x, f ( x)) стремится к бесконечности. Отсюда необходимо lim f (x) = ∞ .

x→a

2) Асимптота l : y = kx + b, k ≠ ∞ наклонная. По определению асимптоты

0 = lim

ρ (M , l ) = lim

kx − f ( x) + b

lim

f ( x)

= k,

b = lim ( f ( x) − kx) .

x→+∞

x→∞

+ 1

x→∞

_____

Определение Пусть функции f1 ( x), f2 ( x),... определены на непустом множестве X ,

∞

являющемся общей частью их областей определения. Выражение вида ∑ fk ( x)

k =1

называется функциональным рядом. Множество точек X 0 X , в каждой из которых

∞

соответствующий числовой ряд

∑ fk ( x) сходится, называется множеством

k =1

сходимости функционального ряда.

ЗАМЕЧАНИЕ Если существует

an+1

, то в силу признака Даламбера степенной

lim

n→∞

ряд абсолютно сходится во всех точках интервала ( x 0 −R, x0 + R) и расходится во всех

точках вне отрезка [ x 0 −R, x0 + R] .								( x 0 −R, x0 + R) называется интервалом сходимости, а
									∞
число R - радиусом сходимости степенного ряда ∑an ( x − x0 )n .
									n=0
									n
Определение Функция S ( x) := lim Sn ( x) := lim									∑ fk ( x) , определенная на множестве
						n→∞		n→∞	k =1
									k =1
X 0 , называется суммой функционального ряда. При этом для степенного ряда
					n
удобно обозначать Sn ( x) := ∑ak ( x − x0 )k .
					k =0
Определение Если функция f ( x)								имеет производные любого порядка в точке		x0 ,	то
		∞		f	( n)	( x0 )
степенной ряд вида		∑		f		( x0 )	( x − x0 )n называется рядом Тейлора функции f ( x) .				В
степенной ряд вида		∑					( x − x0 )n называется рядом Тейлора функции f ( x) .				В
		n=0			n!
		n=0
∞		( n)	(0)
случае x0 = 0 ряд ∑	f		(0)		xn называется рядом Маклорена функции f ( x) .
случае x0 = 0 ряд ∑		n!			xn называется рядом Маклорена функции f ( x) .
n=0		n!
n=0
Определение Пусть функция f ( x)								имеет производные любого порядка в точке x0		и

пусть R - радиус сходимости ее ряда Тейлора. Если на ( x0 − R, x0 + R) f ( x) совпадает с суммой S ( x) этого ряда, то f ( x) называется аналитической функцией на ( x0 − R, x0 + R)

∞

ТЕОРЕМА Функция ex аналитическая на (−∞, ∞) и ex

= ∑

xk ;

k =0 k !

∞

(−1)k

функция sin x аналитическая на (−∞, ∞)

sin x = ∑

x2k +1 ;

(2k + 1)!

k =0

функция cos x аналитическая на (−∞, ∞)

∞

(−1)k

x2k ;

cos x = ∑

k =0

(2k )!

∞

функция (1 + x)m аналитическая на (−1, 1)

и (1 + x)m = ∑

m...(m − k + 1)

xk ;

k =0

k !

∞

k −1

функция ln(1 + x) аналитическая на (−1,1) и

ln(1 + x) = ∑

(−1)

xk .

k =1

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

Определение Пусть функция f ( x)

определена на интервале (a, b) . Дифференцируемая

на (a, b) функция F ( x) называется первообразной функции f ( x) , если

′

(a, b) F ( x) = f ( x) .

ЗАМЕЧАНИЕ Если F ( x) есть первообразная функции f ( x) на (a, b) , то любая другая

первообразная имеет вид F ( x) + C , где

C - произвольная постоянная.

Определение Множество всех первообразных функции называется неопределенным

интегралом этой функции.

СЛЕДСТВИЕ Два интеграла совпадают тогда и только тогда, когда они имеют

общую функцию.

Определение Проинтегрировать функцию это значит ее первообразную.

Обозначение ∫ f ( x)dx := F ( x) + C .

Имеет место такая таблица первообразных от элементарных функций.

f ( x)

F ( x)

f ( x)

F ( x)

f ( x)

F ( x)

f ( x)

F ( x)

a , a >

x2 + a

a ≠ 1

tg x

ln x + x2 + a

ln a

cos2 x

a ≠ 0

xα ,

xα +1

cos x

sin x

−ctg x

arctg x

α ≠ −1

α + 1

sin 2 x

1 + x2

ln x

sin x

− cos x

arcsin x

1 ln 1 + x

1 − x2

2 1 − x

ТЕОРЕМА (правила и формулы интегрирования)

1) (свойство линейности интеграла) α , β R ∫(α f ( x) + β g ( x)d x = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)d x ,

если хотя бы два из трех интегралов существуют.

2) (формула замены переменных)

Если ∫ f ( x)dx := F ( x) + C

и функция ϕ (t) : (α , β ) → (a, b) непрерывно дифференцируема на

(α , β ) , то на (α , β ) существует интеграл функции

′

f (ϕ(t ))ϕ (t) и он вычисляется по

′

:= F (ϕ (t)) + C .

3) (формула интегрирования по частям) Если

формуле ∫ f (ϕ (t))ϕ (t )dt

функции u( x), v( x) дифференцируемы на (a, b) , и существует один из интегралов

∫u( x) v′( x)dx, ∫v( x) u ′( x)dx , то существует второй интеграл и имеет место

равенство∫u( x) v′( x)dx = u( x) v( x) −∫v( x) u ′( x)dx .

______

Определение Пусть функция f ( x) имеет производную порядка s

в точке x0 . x0

называется нулем кратности s функции f ( x) (корнем кратности s

уравнения f ( x) = 0 ),

если

′

= f

( s −1)

( x0 ) = 0,

( s )

( x0 ) ≠ 0 .

f ( x0 ) = f ( x0 ) = ...

В разделе теории функций комплексного переменного будет доказана

ТЕОРЕМА (Гаусс) Многочлен n -ой степени p( x) = a xn + a xn−1 + ... + a

a ≠ 0 , имеет

ровно n корней, если учитывать кратность каждого корня и все комплексные корни. Если λ1 ,..., λn его корни, то имеет место представление p( x) = a0 ( x − λ1 ) ... ( x − λn ) .

СЛЕДСТВИЕ Многочлен с действительными коэффициентами единственным образом представим в виде произведения степеней одно членов ( x − λ)k , λ R и квадратных трехчленов с действительными коэффициентами ( x2 + px + q)l , имеющих сопряженные комплексные нули.

Определение Рациональная функция r( x) = p( x) называется правильной дробью, если

q( x)

deg p < deg q .

ЗАМЕЧАНИЕ Неправильную рациональную функцию с помощью деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.

Определение Рациональные функции с вещественными коэффициентами вида

a	или вида	ax + b	, k N, где квадратный трехчлен имеет комплексные

( x − λ)k		( x2 + px + q)k

сопряженные нули, называются простейшими дробями.

ЗАМЕЧАНИЕ Каждая правильная дробь единственным образом представима в виде суммы простейших дробей. Алгоритм представления называется методом неопределенных коэффициентов.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть r( x, y) = p( x, y) - рациональная функция двух переменных, а

		q( x, y)
	ax + b
	ax + b	- дробно-линейная функция. Тогда интеграл вида	∫		ax + b		сводится к
			∫
y =				r x, m		dx
	cx + d				cx + d

интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной t m := ax + b .

cx + d

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Интеграл вида ∫r(sin x, cos x)dx приводится к интегралу о

рациональной функции с помощью универсальной подстановки t = tg x .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Следующие интегралы специального вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью соответствующих замен

∫r(sin 2 x, cos2 x)dx t = tgx, ∫r(sin x) cos xdx t = sin x, ∫r (cos x) sin xdx t = cos x .

ЗАМЕЧАНИЕ 4 К интегралам от рациональных функций с помощью двух последова

∫r( x,

u := tg

;

тельных замен приводятся и такие интегралы

1 − x2 )dx x := sin t,

∫r( x,

)dx x := tg t, u := tg

;

, u := tg

1 + x2

∫r( x, x2 − 1)dx x :=

sin t

Определение Разобьем отрезок [a, b] точками a =: x0

< ... < xn: := b на n попарно непересе

кающихся отрезков, и обозначим это разбиение T := {xk } . Длина наибольшего из отрез

ков d (T ) := max xk , где xk := xk − xk −1 , называется диаметром разбиения T отрезка [a, b] .

1≤k ≤n

ЗАМЕЧАНИЕ При d (T ) → 0 число n отрезков разбиения стремится к бесконечности, а длины всех этих отрезков равномерно стремятся к нулю.

Определение Пусть на отрезке [a, b] задана функция. Произведем разбиение [a, b] , и выберем на k -ом отрезке разбиения точку ξk , k ≤ n . Обозначим E := {ξk } . Сумма вида

n
S f (T , E) := ∑ f (ξk )	xk называется интегральной суммой. Если существует конечный
k =1
предел s := lim S f	(T , E) , равномерный относительно выбора точек E :
d (T )→0

ε > 0 δ > 0 d (T ) < δ E = E(T ) S f (T , E) − s < ε ,

то он называется определенным интегралом (Римана) функции f ( x) на отрезке [a, b] ,

а f ( x) - интегрируемой по Риману функцией. Обозначение ∫ f ( x)dx := s .

Определение Пусть на отрезке [a, b] заданы две функции g ( x) ≤ f ( x) . Множество точек

	2	: a ≤ x ≤ b, g ( x) ≤ y ≤ f ( x)} называется криволинейной трапецией .
Dg , f (a, b) := {( x, y) R
			b
Определение Если существует определенный интеграл			∫	( f ( x) − g( x))dx := lim S f − g (T , E) ,
			∫	d (T )→0

то он называется площадью криволинейной трапеции.

_____

Определение Функция f ( x) называется кусочно непрерывной на [a, b] , если она непрерывна на [a, b] за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. ЗАМЕЧАНИЕ Кусочно непрерывная функция ограничена на [a, b] .

Определение Функция f ( x) называется кусочно монотонной на [a, b] , если она ограничена и для некоторого разбиения T := {xk } f ( x) не убывает или не возрастает на каждом интервале ( xk −1 , xk ) .

ТЕОРЕМА (существования интеграла Римана) 1) Если f ( x) кусочно непрерывна

или кусочно монотонна на [a, b] , то интеграл ∫ f ( x)dx существует. 2) Если интеграл

		a
b
∫ f ( x)dx существует, то	f ( x) ограничена на [a, b] .
a
ТЕОРЕМА (свойства определенного интеграла)
b	b	b

1) α , β R ∫(α f (x) + β g (x))dx =α ∫ f (x)dx +β ∫ g ( x)dx , если хотя бы два из этих интегралов

	a		a		a
существуют α , β ,		αβ ≠ 0 .
			b		b
2) Если x [a, b]		g ( x) ≤ f ( x) , то ∫ g ( x)dx ≤∫ f (x)dx . 3) Если f ( x) интегрируема на [a, b]
			a		a
					b
и m := inf	f (x), M := sup		f (x) , то m(b − a) ≤		∫	f (x)dx ≤ M (b − a) .
					∫
x [ a,b]		x [ a,b]			a
		x [ a,b]

4) (теорема о среднем)			Если f ( x) непрерывна, а g ( x) знакопостоянна на [a, b] , то
	b		b
ξ (a, b)	∫ f (x) g ( x)dx = f (ξ ) ∫ g( x)dx			при условии существования интегралов.
	a		a
	b	c	b
5) c [a, b] ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx .
	a	a	c

ЗАМЕЧАНИЕ Если при определении определенного интеграла разбиение отрезка [a, b] проводить убывающей последовательностью точек a =: xn < xn−1 < ... < x0 := b , то

a					b
∫	f ( x)dx =	lim	S f	(T[b, a], E) = − lim S f (T[a, b], E) = −	∫	f (x)dx .
∫		d (T )→0		d (T )→0	∫
b					a

Это согласуется с равенством ∫ f ( x)dx = 0 .

_____

Кроме знания факта существования интеграла и его свойств необходим еще алгоритм вычисления определенного интеграла.

Определение Пусть f ( x) интегрируема на отрезке [a, b] . Можно оказать, что она

			x
интегрируема на каждом [a, x], x [a, b] . Функция Φ( x) := ∫ f (t)dt				называется
			a
интегралом с переменным верхним пределом.
				x
ТЕОРЕМА 1) Если f ( x) непрерывна на [a, b] , то функция Φ( x) := ∫ f (t)dt					является ее
				a
первообразной.
2) (формула Ньютона-Лейбница) Если f ( x)			непрерывна на [a, b] и F ( x)		какая-либо ее
		b
первообразная, то ∫ f (t)dt = F (b) − F (a) .
		a
3) (формула замены переменной) Если f ( x)			непрерывна на [a, b] , а функция x = ϕ (t)
непрерывно дифференцируема на [α , β ] и t [α , β ] ϕ (t ) [a, b],				ϕ(α ) = a,	ϕ (β ) = b , то
b	β	′
∫ f ( x)dx =∫ f (ϕ(t))		′
∫ f ( x)dx =∫ f (ϕ(t))		ϕ (t)dt .

aα

4) (формула интегрирования по частям) Если функции u( x), v( x) непрерывно

b	b
дифференцируемы на [a, b] , то ∫u( x)v′( x)dx = u( x)v( x) \|ba	−∫u′( x)v( x)dx , где
a	a

u( x)v( x) |ba := u(b)v(b) − u(a)v(a) .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функция

a a

[−a, a] , то ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx

−a

f ( x) интегрируемая и четная (нечетная) на отрезке

a
∫	f ( x)dx = 0 .
−a

____

ЗАМЕЧАНИЕ Если f ( x) непрерывно дифференцируема на [a, b] , то для любого разбиения T этого отрезка по формуле Лагранжа найдется последовательность точек

b	n
E со свойством ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = ∑F ( xk ) − F (xk −1 )
a	k =1

=∑ f (ξk ) xk = S (T , E) , то есть

k =1

определенный интеграл совпадает с некоторой интегральной суммой функции.

			n
Определение Пусть f ( x) определена на [a, b] . Сумма вида S ( A, E) := ∑ f (xk( n) ) Ak( n) , где
			k =1
a ≤ x( n) < ... < x( n) ≤ b,		A := {A( n) } R, называется квадратурной формулой, числа x( n)		-
1	n	k	k
узлами квадратурной формулы, а числа A( n)			- коэффициентами. Число
		k

R f ( A, E) := ∫ f ( x)dx − S ( A, E) называется остаточным членом квадратурной формулы.

Из многочисленных приближенных формул вычисления интеграла приведем формулу прямоугольников.

ЗАМЕЧАНИЕ Разобьем [a, b] равноотстоящими точками x := a + hk , h :=	b − a	, k ≥ 0 ,

k	n

на n отрезков одинаковой длины. Если функция f ( x) имеет непрерывную

производную второго порядка на [a, b] , то квадратурная формула прямоугольников

xk + xk −1

′

)

+ R f ( A, E) , где

′

имеет вид ∫ f ( x)dx = ∑ f (xk

k =1

[a, b] R f

( A, E ) =

(b − a)3

′′

24n2

(η ) .

_____

Определение Пусть кривая l

задана параметрическим уравнением x = x(t) ,

t [α , β ] .

y = y(t)

Фиксируем разбиение T = {tk } и выберем точки кривой M k

:= ( x(tk ), y(tk )) l,

k = 0,1,..., n .

Так как длина отрезка M

k −1

, k = 1,..., n равна s

(x(t

) − x(t

k −1

))2 + ( y(t

) − y(t

k −1

))2 , то

длина ломаной lT , составленной из этих отрезков и вписанной в l , равна s(lT ) := ∑sk .

k =1

Если существует конечный sup s(lT ) =: s(l ) , то он называется длиной кривой l , а сама

кривая называется спрямляемой.

Определение Кривая l называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кусков.

ТЕОРЕМА 1) (вычисление длины дуги) Если кривая l кусочно гладкая, то она

		β
спрямляемая. Ее длина вычисляется по формуле s(l) = ∫				x′2 (t) + y′2 (t )dt . В случае
		α
	b
задания l функцией y = f ( x), x [a, b] ,	s(l) = ∫ 1 + f ′2 (x)dx . В случае задания l в
	a
		β
полярной системе координат: ρ = ρ (ϕ ) ,	ϕ [α , β ] , s(l) = ∫			ρ 2 (ϕ) + ρ ′2 (ϕ)dϕ .
		α
2) (вычисление площади) Пусть дан криволинейный сектор
D := {(ρ,ϕ) : ϕ [α , β ], 0 ≤ ρ ≤ ρ (ϕ)} , где функция ρ = ρ (ϕ ), ϕ [α , β ] , непрерывна. Тогда
					1	β
площадь сектора существует и вычисляется по формуле				s(D) =	1	∫ρ 2 (ϕ)dϕ .
площадь сектора существует и вычисляется по формуле				s(D) =		∫ρ 2 (ϕ)dϕ .
			2			α
						α
3) (вычисление объема) Пусть функция y = f ( x), x [a, b]			непрерывна и

неотрицательна. Тогда объем тела, получаемого вращением криволинейной трапеции D := {( x, y) : x [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} вокруг отрезка [a, b] оси OX , существует и

вычисляется по формуле v(G) := π ∫ f 2 ( x)dx .

4) (вычисление площади поверхности) Пусть функция y = f ( x), x [a, b], кусочно гладкая и неотрицательна. Тогда площадь боковой поверхности L тела, получаемого вращением криволинейной трапеции D := {( x, y) : x [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} вокруг отрезка

[a, b] оси OX , существует и вычисляется по формуле

s(L) = 2π ∫ f ( x)1 + f ′2 ( x)dx .

____

Определение Пусть функция f ( x) определена на [a, ∞) и интегрируема на каждом

R ∞

отрезке [a, R], R > a . Если существует конечный предел Rlim→∞ ∫ f ( x)dx =: ∫ f (x)dx , то он

a a

называется несобственным интегралом функции f ( x) на промежутке [a, ∞) . В

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.2018265.22 Кб69маркетинг3.doc
#
19.03.201627.34 Кб181Марксистская философия.docx
#
10.11.20194.13 Mб14математика - Опорный конспект лекций 1,2 семес...doc
#
19.05.20152.27 Mб28Математика .docx
#
19.05.2015575.67 Кб27Математика конс.2 семестр.pdf
#
19.05.2015613.41 Кб21математика конспект.pdf
#
27.09.201991.19 Кб5Математика ответы.docx
#
23.09.201945.52 Кб1Математика экзамен.docx
#
19.08.2019574.98 Кб21математикаТВ 3 _Менеджмент+ГК.doc
#
19.05.20156.58 Mб30Математический анализ.doc
#
21.09.2019104.96 Кб15материал по печ. продуции.doc