Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика конспект

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

613.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

AB = {y1 − x1 ,..., yn − xn } . Тогда расстояние между точками A = ( x1 ,..., xn ) , B = ( y1 ,..., yn )

n вычисляется по формуле

ρ( A, B) := AB, AB = ( y1 − x1 )2 + ... + ( yn − xn )2 .

____

Определение В n − мерном евклидовом пространстве E совокупность каких-либо точки O P и базиса e1 ,..., en E называется декартовой системой координат (ДСК).

Определение Символом Кронекера называется отображение δ	i j	: 2	→ {0,1} ,
	i j
определяемое по правилу δi j := 1 , если i = j и δij := 0 , если i ≠ j .
Определение Базис называется ортонормированным, если i,	j ≤ n		ei , e j = δij .

ЗАМЕЧАНИЕ Элементы ei такого базиса попарно перпендикулярны:

i ≠ j ei , e j = 0 и их нормы равны единице: i ≤ n ei = = ei , ei = 1 . Здесь аналогия со школой, когда равенство нулю скалярного произведения означало ортогональность векторов, а квадрат модуля вектора совпадал со скалярным произведением вектора на себя.

Определение ДСК, в которой выделенный базис является ортонормированным, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК). ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже ДСК предполагается прямоугольной, если не оговорено противное.

Определение Коэффициенты разложения элемента a E по базису e1,..., en :

a= x1e1 + ... + xnen , называются, как и ранее, координатами (компонентами) вектора a

вбазисе e1,..., en .

Обозначение a = {x1 ,..., xn } . Это обозначение объясняется изоморфизмом между пространствами E и n , устанавливаемым линейным оператором La := {x1 ,..., xn }, где a = x1e1 + ... + xn en .

Определение Радиусом-вектором точки M и ПДСК называется вектор OM . Определение Координатами точки M P в ПДСК называются компоненты её радиуса-вектора OM .

Обозначение Если OM = x1e1 + ... + xn en , то M = (x1 ,..., xn ) = M ( x1 ,..., xn ) . Определение Пусть дана матрица A = (aij ) размера (n − k ) × n, rang A = n − k и

последовательность чисел b1 ,..., bn−k . k -мерной плоскостью в n -мерном евклидовом пространстве E с фиксированной ПДСК называется множество точек

			+ . . . + a1n xn			= b1
	a11 x1		+ . . . + a1n xn			= b1
A( x1	,..., xn ) , координаты которых удовлетворяют СЛАУ			. . .			.
	a		x + ... + a			x	= b
		n−k 1 1			n−k n n		n−k

Определение Прямой в E называется 1-плоскость.

Определение Полярной системой координат в V2 называется совокупность точки O (- полюс) и луча с началом в этой точке (- полярная ось).

Определение Полярными координатами точки M называется пара чисел (ρ,ϕ) , где

ρ = OM , ϕ − угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый против

часовой стрелки.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка евклидовой плоскости V					вполне определяется
				2
заданием полярных координат.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Совместим прямоугольную декартову и полярную системы
координат так, чтобы начало координат совпадало с полюсом, а ось OX - с полярной
осью Тогда декартовы координаты (x, y) точки M и ее полярные координаты
связаны, как легко усмотреть из рисунка, равенствами

x = ρ cosϕ		ρ = x2 + y2
	,		y	.
y = ρ sin ϕ		ϕ = arctg	y
y = ρ sin ϕ		ϕ = arctg
			x

Определение В V3 с ПДСК фиксируем точку M (x, y, z) . Тройка чисел (ρ,ψ ,ϕ) , где 0 ≤ψ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2π , ρ ≥ 0 , называется сферическими координатами точки M .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка V3 вполне определяется своими сферическими координатами.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Так как OM ′=ρ sin ϕ, то декартовы и сферические координаты точки

x = ρ sinψ cosϕ

M связаны равенствами y = ρ sinψ sin ϕ .

z = ρ cosψ

Определение В V3 с ПДСК фиксируем точку M (x, y, z) . Тройка чисел (r,ψ , z) , где z R, 0 ≤ ϕ < 2π , r ≥ 0 называется цилиндрическими координатами точки M . ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка M вполне определяется своими цилиндрическими координатами.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В ПДСК декартовы и цилиндрические координаты точки M связаны

x = ρ cosϕ
равенствами: y = ρ sin ϕ .
	z = z

_____

Определение Пусть даны ось l ( ≡ направленная прямая) и вектор a . Опустим перпендикуляры из его концов на ось. Проекцией вектора a на ось l называется расстояние между основаниями этих перпендикуляров, взятое со знаком "+", если

≤ < π

0 l a

	π
, со знаком "-", если	π		≤ π	и равное нулю, если a l . Правило,
, со знаком "-", если	2	< l a	≤ π	и равное нулю, если a l . Правило,
	2

сопоставляющее каждому вектору его проекцию на ось, называется операцией

проектирования.

Обозначение прl

ТЕОРЕМА

пр

a = a cos l a

2) a , b V

пр

(a + b ) = пр

a + пр

b .

V α

пр

= α пр

, то есть операция проектирования является

линейным функционалом. 4) Фиксируем ПДСК в V . Тогда проекции вектора на оси

координат OX , OY , OZ совпадают с компонентами этого вектора в базисе i , j , k :

если

= {x, y, z} , то

x = прi

y = пр j

z = прk

;

называются направляющими косинусами вектора

5) Косинусы cos i a

, cos j a

, cos k a

a и связаны равенством

cos

i a + cos

j a + cos

k a =1.

СЛЕДСТВИЕ Скалярное произведение векторов связано с операцией проектирования

равенством

(a , b ) :=

cos ab

пр

b =

пр

a .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть точка C( x, y, z) делит отрезок AB с концами в точках

A(x , y , z ),

B( x , y

, z

)

в отношении

. Тогда координаты C вычисляются по

формулам x =

µ x1 + λ x2

y =

µ y1 + yx2

z =

µ z1 + λ z2

λ + µ

____

В следующей теореме собраны свойства скалярного произведения.

ТЕОРЕМА 1) a a =a2 . 2) a b = 0 (a = 0) (b = 0) (a b) . 3) ab =b a .

4)Скалярное произведение является билинейной формой на V32 .

5)Если в ПДСК a = {x1 , y1 , z1}, b = {x2 , y2 , z2 } , то a b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

Определение (физический смысл скалярного произведения) Работой постоянной силы F по перемещению материальной точки из начала в конец вектора s называется величина A := F s .

_____

Определение Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом называется правой (левой), если из конца вектора c движение от a к b по кратчайшему из двух углов происходит против (по) часовой стрелки(е). Определение Векторным произведением векторов a, b называется вектор 0 , если

(a = 0) (b = 0) (a || b) . В противном случае векторным произведением a, b называется вектор c , который вполне определяется свойствами:

= a b sin

2) c a, b ; 3) a, b, c - правая тройка векторов.

a b ;

Определение Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число

a b c := ([

, b ], c] .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

(геометрический смысл модуля) 1) | [а, b] | численно равен площади

параллелограмма, построенного на векторах a, b как на сторонах. 2) | a b c | численно равен объему призмы, построенной на векторах a, b, c как на ребрах

| a b c |=| [a , b ] | | c | | cos([a b]c) |= Sпар h = Vприз .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 a bc = bc a =c a b =− b a c =−a c b = −c b a .

В следующей теореме собраны свойства векторного произведения.

ТЕОРЕМА 1) Векторное произведение является билинейным отображением из

в V3 . 2) Если a ={x1 , y1 , z1 }, b ={x2 , y2 , z2 }, то a , b

СЛЕДСТВИЕ Ненулевые векторы a ={x1 , y1 , z1 }, b ={x2 , y2 , z2 } параллельны тогда и

только тогда, когда	x1	=	y1	=	z1	.

	x2		y2		z2

Векторное произведение имеет до десятка физических смыслов. Приведем наиболее характерные.

Определение (физический смысл векторного произведения). Моментом относительно точки A силы FB , приложенной к точке B , называется вектор М А[ FB ] := [ AB, FB ] . Определение (физический смысл векторного произведения) Пусть материальная точка A вращается по окружности (с центром O ) с линейной скоростью VA . Вектором

угловой скорости вращения этой точки относительно цента O называется расположенный на оси вращения вектор ω , определяемый равенством VA = [ω, r ] . Это равенство называется формулой Эйлера.

В следующей теореме собраны свойства смешанного произведения.

ТЕОРЕМА

(векторы

компланарны)

1) a b c = 0 (a = 0) (b = 0) (

= 0)

, b ,

Смешанное произведение является 3– линейной формой: a b c :V 3 → .

Если

= {x3 , y3 , z3 } , то

= {x1 , y1 , z1}, b = {x2 , y2 , z2 },

b c =

_____

Напомним, что плоскостью L (2 - плоскостью) в V

с фиксированной ПДСК

называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ax + By +Cz +D = 0 , где A2 + B2 + C 2 ≠ 0 .

Определение Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный любому вектору, начало и конец которого лежат в этой плоскости .

Определение Углом между плоскостями называется угол между их векторами

нормалей. В зависимости от выбранных векторов нормалей этот угол имеет два

значения.

ТЕОРЕМА

Пусть заданы 3 плоскости Li

: Ai x + Bi y + Ci z + Di = 0, i = 1, 2, 3 ;

A := A2

C2 ,

A′ := A2

D2 . Тогда имеют место следующие

утверждения.

L1 || L2

rang

= 1 .

C D

2) L1 = L2

rang

= 1. 3) Плоскости L1 , L2 , L3

C2 D2

пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

rang A = 3 det A ≠ 0 .

плоскости

L1 , L2 , L3 пересекаются по одной прямой тогда и только тогда, когда

rangA = rangA′ = 2 .

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

. 6) Расстояние от точки

cos L1L2

+ B2

+ C 2

+ B2 + C 2

( x , y , z

) до плоскости L вычисляется по формуле ρ (M

, L ) =

+ C1 z0

+ D1

A1 x0 + B1 y0

A2 + B2

+ C

Определение Пусть векторы

точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) . Формула

a := {α1 , β1 , γ1}, b := {α2 , β2 , γ 2 } не коллинеарны, и задана

x = α1u + α2 v + x0

y = β1u + β2 v + y0 , u, v R, определяющая множество

z = γ1u + γ 2 v + z0

точек с координатами ( x, y, z) в V3 , называется параметрическим уравнением

плоскости.
ЗАМЕЧАНИЕ а) Если плоскость задана параметрическим уравнением, то ее общее
		γ1		γ1	α1		α1	β1
уравнение имеет вид	β1	γ1	(x − x ) +	γ1	α1	( y − y ) +	α1	β1	( z − z	) = 0 .	б)
	β2	γ 2	0	γ 2	α2	0	α2	β2	0
	β2	γ 2		γ 2	α2		α2	β2

Если плоскость задана уравнением A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 и для определенности A ≠ 0 , то ее параметрическое уравнение можно задать, например, в

	B				C
x = −		u		−		v + x0
x = −		u		−		v + x0
	A				A
виде y = u + y0						, u, v R.
z = v + z
			0

Следующее замечание доказывается аналогично теореме.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть в какой-либо ПДСК в евклидовой плоскости V 2 заданы две

прямые l1 , l2 уравнениями Ai x + Bi

y + Ci = 0, i = 1, 2 . Тогда справедливы следующие

утверждения.

1) l || l

= l

A1 A2

+ B1 B2

4) Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой l1

3)_ cos l1 l2 =

+ B2

вычисляется по формуле

ρ (M

, l ) =

+ B1 y0

+ C1

_____

A1 x0

+ B2

Определение Множество точек, координаты которых ( x, y, z) удовлетворяют СЛАУ

	A	B
где rang	1	1
	A2	B2

A1 ( x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) + C1 ( z − z0 ) = 0 ,A2 ( x − x0 ) + B2 ( y − y0 ) + C2 ( z − z0 ) = 0

C1 = 2 , называется уравнением прямой в

(1)

V3 , проходящей через

точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) .

Определение Пусть даны вектор k = {m, n, p} ≠ 0 и точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) . Система

уравнений вида	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	(2)
	m		n		p

называется каноническим уравнением прямой.

x = mt + x0

Формула, y = nt + y0 , t R, (3)

z = pt + z0

определяющая множество точек в V3 с координатами ( x, y, z) , называется параметрическим уравнением прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Направляющий вектор k параллелен любому вектору, начало и

конец которого лежат на этой прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Уравнения (1), (2), (3), в которых

m :=

, n :=

p :=

, задают одну и ту же прямую в V .

Определение Углом между двумя прямыми называется угол между направляющими векторами этих прямых. Этот угол принимает два значения.

ТЕОРЕМА Пусть даны две прямые l :	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	, i = 1, 2 и плоскость

i	mi		ni		pi

L: Ax + By + Cz + D = 0 . Тогда имеют место утверждения.

x − x1

y − y1

l1 , l2 скрещиваются

det A :=

l1 l2

rang

x − x

y − y

l1 = l2

l1 , l2 пересекаются

rangA = rang

m1m2 + n1n2 + p1 p2

cos l1 l2

+ n2

+ p2

+ n2

+ p2

z − z1

p1 ≠ 0 rangA = 3 . p2

p1 = 1 p2

	z − z
	1		rang A = 1 .
	p1		rang A = 1 .
	p1

p1 = 2 . p2

6) Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до прямой l1 вычисляется по

формулеρ (M 0 , l1 ) =

[M 0 M1 , k1 ]

| k1 |

7) Расстояние между двумя прямыми вычисляется по формуле

ρ (l1 , l2 ) =

(k1 , k2 , M 0 M1 )

| [k1 , k2 ] |

Приведем без доказательства виды уравнения прямой в евклидовой плоскости V .

x − x1

y − y1

ЗАМЕЧАНИЕ а)

k := {m, n} - каноническое уравнение прямой на

плоскости. б)

x − x1

y − y1

- уравнение прямой, проходящей через две точки

x2 − x1

y2 − y1

M1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) . в)

x = mt + x0 , t R - параметрическое уравнение прямой.

y = nt + y0

г)

= 1 - уравнение прямой "в отрезках на осях OX , OY ". Название объясняется

a b

тем, что прямая пересекается с осью OX в точке a , а с осью OY - в точке b .

д)

cosα x + sin α y − p = 0 - нормальное уравнение прямой, где

= {cosα , sin α} -

единичный вектор нормали к прямой, а p = cosα x + sin α y = (n , OM ) = прn OM есть проекция радиусов-векторов точек M прямой на направление вектора нормали.

_____

Определение Кривой второго порядка в V2 называется множество точек, координаты которых в какой-либо ПДСК удовлетворяют уравнению

a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + b1 x + b2 y + c = 0 ,

где a11 , a12 , a22 ≠ 0 одновременно.

ЗАМЕЧАНИЕ Уравнение окружности можно задать и в параметрическом виде

x = R cos t + x
	0
		, t [0, 2π], в чем нетрудно убедиться подстановкой в предыдущее

y = R sin t + y0
уравнение.		~
		~
Определение Эллипс – множество точек в V2			, сумма расстояний от каждой и которых

до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

			~
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Фиксируем ПДСК в V2						. Обозначим сумму расстояний до фокусов 2a ,
и расположим фокусы на оси OX симметрично относительно начала координат:

F (−c, 0),	F (c, 0) . Положим b := a 2 − c 2					. Тогда уравнение эллипса (каноническое)
1	2
будет иметь вид		x2	+	y2	=1.
будет иметь вид		a2	+		=1.
		a2		b2

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В каноническом уравнении эллипса предполагается a >b ; отрезки [−a, 0], [0, a] OX называются большими полуосями, а отрезки [−b; 0], [0, b] OY - малыми полуосями эллипса.

Определение Эксцентриситетом эллипса называется величина

ε:=	c	= 1−	b2	[0,1] .
	a		a2

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Если ε→ 0 при фиксированном a , то эллипс деформируется к окружности x 2 + y 2 = a 2 . Если ε → 1, то эллипс деформируется к отрезку [−a, a] .

Определение Прямая l , проходящая через точку M 0 кривой, называется касательной к кривой в этой точке, если расстояние от переменной точки кривой M до прямой

стремится к нулю быстрее, чем расстояние от нее до M 0 :					ρ(M , l)	→0 , когда M → M 0 .

					MM 0
ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к эллипсу в точке ( x0 , y0 ) имеет вид
	x0	x +	y0	y =1 .
	a2
			b2
		_____
		~
Определение Гипербола – множество точек в V2 , модуль разности расстояний от
каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть модуль разности расстояний от текущей точки M (x, y )

гиперболы до фокусов F1 (−c, 0), F2 (c, 0) равен 2a : \| MF1 −MF2 \|= 2a .Тогда уравнение
				x2		y2
гиперболы (каноническое) имеет вид				x2	−	y2	=1 , где b := c2 −a2 .
гиперболы (каноническое) имеет вид					−		=1 , где b := c2 −a2 .
				a2		b2
Определение Прямая l называется асимптотой неограниченной кривой, если
расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю, когда
точка неограниченно удаляется по кривой.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Прямые y = ±		b	x являются асимптотами гиперболы при
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Прямые y = ±			x являются асимптотами гиперболы при
		a
x → +∞, − ∞ .
Определение	Отрезки [−a, 0], [0, a] OX					называются вещественными полуосями, а
отрезки [−b; 0],	[0, b] OY - мнимыми полуосями гиперболы. Точки (±a, 0) называются

вершинами гиперболы.

Определение Эксцентриситетом гиперболы называется величина

ε:=

= 1 +

(1, ∞) .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Пусть a фиксировано.

а) Тогда

ε→1

→ 0 ,

то

есть

тогда

только

тогда,

когда

асимптоты

проворачиваются вокруг начала координат к оси OX . При этом ветви гиперболы

сжимаются

к полуинтервалам

(−∞, c], [c, +∞) OX ,

а их

фокусы

приближаются к

вершинам.

б) ε→ ∞

→ ∞, то есть тогда и только тогда, когда асимптоты

проворачиваются к оси OY . При этом ветви гиперболы разгибаются в вертикальные

прямые x =±a , а фокусы удаляются в бесконечность.

ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к гиперболе

−

=1 в точке ( x , y

) имеет

вид

x −

y =1 .

_____

Определение

Парабола

множество точек в

расстояния от которых до

заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) совпадают.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Пусть в

какой-либо

ПДСК

уравнение

директрисы

x =−

, а

координаты фокуса

, 0 ,

. Тогда уравнение параболы имеет вид y2

= 2 px .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Точка параболы (0, 0) является ближайшей к директрисе и называется вершиной параболы.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Уравнение касательной l	к параболе y 2 = 2 px в точке ( x , y		) имеет
	0	0
вид y0 y = p( x + x0 ) .
ТЕОРЕМА Уравнение кривой второго	порядка с помощью последовательно:

преобразования поворота ПДСК вокруг начала координат, последующего сдвига ПДСК на некоторый вектор и, возможно, отражения относительно какой-то из осей координат может быть приведено к одному из простейших видов:

1) каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы; 2) уравнению пары прямых; 3) уравнению, которому удовлетворяют координаты одной точки; 4) уравнению, которому не удовлетворяют координаты ни одной точки.

_____

Определение Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение Квадратная матрица называется квазидиагональной, если в ней можно выделить попарно непересекающиеся квадратные матрицы, главные диагонали которых заполняют главную диагональ исходной матрицы, а все элементы вне этих матриц равны нулю.

Определение Матрица Ar называется правой обратной к матрице A , если A Ar = E . Матрица Al называется левой обратной к матрице A , если Al A = E .

Определение Матрица A называется обратимой, если она имеет и правую и левую обратные матрицы.

ТЕОРЕМА 1) Обратимая матрица необходимо является квадратной. При этом ее правая и левая обратные совпадают, и потому существует обратная матрица.

2)Если A, B – квадратные матрицы одного размера, то det A B = det A det B .

3)Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.

4)rang A = k тогда и только тогда, когда A имеет равно k линейно независимых строк

(столбцов), если последние рассматривать как векторы.

5) rang A B ≤min(rang A, rang B) .

СЛЕДСТВИЕ 1 Если матрица A не вырождена, то для любой квадратной матрицы B

того же размера rang ( AB) = rang (BA) = rangB .

СЛЕДСТВИЕ 2 Произведение квадратных матриц не вырождено тогда и только тогда, когда не вырождены сомножители. Это следует из равенства det AB = det A det B .

_____

Определение Характеристическим многочленом матрицы A M n,n называется многочлен n -ой степени p(λ) := det(λ E − A) .

В поле комплексных чисел C по теореме Гаусса он представим в виде

p(λ) = (λ − λ1 ) p1 ... (λ − λr ) pr , где λi - попарно различные нули p(λ) с соответствующими кратностями pi , и p1 + ... + pr = n

Определение Корни характеристического многочлена p(λ) называются собственными числами матрицы A .

Определение Для собственного числа λ однородная СЛАУ ( A −λE) X = 0 является совместной, но неопределенной в силу теоремы. Ее ненулевые решения называются собственными векторами матрицы A .

Определение Вещественная квадратная матрица A называется ортогональной, если она обратима и обратная матрица совпадает с сопряженной: A−1 = AT . Определение Квадратная матрица A над называется симметричной, если AT = A .

_____

Определение Поверхностью второго порядка в V3 называется множество точек,

координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a x2 + a

+ a z 2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz + b x + b y + b z + c = 0 ,

или в матричной записи

′

+ BX + c = 0 , где

, а симметричная

X AX

X := y ,

B := b2

матрица A = (aij ) ≠ 0 .

Эллипсоидом называется множество точек в

V3 с ПДСК координаты которых

удовлетворяют уравнению

z 2

=1 .

Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению x2 + y2 − z 2 =1 .

a2 b2 c2

Двуполостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению	x2		y2		z 2
		+		−		=−1 .
	a2		b2
					c2

Конической поверхностью (конусом) называется множество точек, координаты

которых удовлетворяют уравнению	x2		y2		z 2
		+		−		= 0 .
	a2		b2
					c2

Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению x2 + y2 = z .

a2 b2

Гиперболическим параболоидом (седлом) называется множество точек, координаты

которых удовлетворяют уравнению x2 − y2 = z

a2 b2

Эллиптическим цилиндром называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению x2 + y2 =1 .

a2 b2

Гиперболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению x2 − y2 =1 .

a2 b2

Параболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению			y2 = 2 px .
Пара плоскостей (A1 x +B1 y +C1 z + D1 )(A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0 .
Прямая или точка, например,
α 2 ( x − x )2 + β 2 ( y − y	0	)2 = 0,	α 2 (x − x )2	+ β 2 ( y − y )2	+ γ 2 ( z − z	0	)2	= 0 ,где α , β , γ > 0 .
0	0		0	0		0

Пустое множество, например, α 2 x2 + β 2 y2 + γ 2 z 2 = −1, где α , β , γ > 0 .

_____

Определение Движением n -мерного евклидова пространства Е называется преобразование F : E → E , сохраняющее расстояние между любыми двумя точками:

ρ (M1 , M 2 ) = ρ (F (M1 ), F (M 2 )) .

ЗАМЕЧАНИЕ Движение в Е порождает преобразование на множестве векторов по правилу F (A B ) := F ( A) F ( B) .

Это преобразование сохраняет длины преобразованных векторов и углы между ними.

Последнее следует из равенства треугольников ABC =	(F ( A) F (B) F (C )) .
Перечислим элементарные движения в V . 1) Вращение пространства V вокруг
3	3
прямой. 2) Сдвиг всех точек пространства V на один и тот же вектор. 3) Зеркальное
3
отражение пространства V в какой-либо плоскости.
3
n n
Определение Функция n переменных f ( x1 ,...xn ) = ∑∑aij xi x j , где коэффициенты
i=1 j =1
ai j R, ai j = a ji , а переменные, x1 ,..., xn R, называется квадратичной формой.

ЗАМЕЧАНИЕ Образуем симметричную матрицу A = (ai j ) называемую матрицей

квадратичной формы, и матрицу переменных X := ... . Тогда квадратичная форма

может быть записана в матричном виде f ( x1 ,..., xn ) = X T AX .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.2018265.22 Кб69маркетинг3.doc
#
19.03.201627.34 Кб182Марксистская философия.docx
#
10.11.20194.13 Mб14математика - Опорный конспект лекций 1,2 семес...doc
#
19.05.20152.27 Mб28Математика .docx
#
19.05.2015575.67 Кб27Математика конс.2 семестр.pdf
#
19.05.2015613.41 Кб22математика конспект.pdf
#
27.09.201991.19 Кб5Математика ответы.docx
#
23.09.201945.52 Кб2Математика экзамен.docx
#
19.08.2019574.98 Кб21математикаТВ 3 _Менеджмент+ГК.doc
#
19.05.20156.58 Mб30Математический анализ.doc
#
21.09.2019104.96 Кб15материал по печ. продуции.doc