§3. Работа силэлектростатического поля. Потенциал. Связь между напряженностью и потенциалом

Назовем пробным зарядомточечный зарядq₀, величина которого мала настолько, что можно пренебречь механическим возмущением рассматриваемой зарядовой системы при его перемещении.

Рассмотрим работу dA, совершаемую силами электростатического поляE(r) при элементарном перемещении в нем пробного зарядаq₀на бесконечно малое расстояниеdl

dA = Fdl = q₀E(r)dl = q₀E(r)dlcos, (3.1)

где - угол между векторамиЕиdl.

При конечном перемещении вдоль некоторой кривой из точки «1» в точку «2» работа равна сумме элементарных работ и может быть представлена криволинейным интегралом

. (3.2)

Если поле создано точечным зарядомq, то, используя формулу (1.6), получим

. (3.3)

Так как (rdl)/rпредставляет собой проекцию вектора элементарного перемещенияdl на направление вектораr, т.е. приращениеdrмодуля вектораr, работа (3.3) на элементарном перемещении зависит только от изменения расстояния до заряда

. (3.4)

Интегрируя, найдем работу при конечном перемещении из точки r₁в точкуr₂

. (3.5)

Очень существенным фактом является то, что А_1-2не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а определяется только его начальным и конечным положениями. РаботуА_1-2можно представить в виде:

, где. (3.6)

Соотношение (3.5) получено для работы в поле точечного заряда, но, учитывая что любое распределение зарядов можно представить как совокупность точечных, и пользуясь принципом суперпозиции можно придти к следующему выводу.

Работа сил электростатического поля определяется только начальным и конечным состояниями системы и не зависит от способа перехода из начального состояния в конечное.

Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

Разностью потенциаловмежду двумя точками электростатического поля называется работа, которая совершается силами электростатического поля при переносе единичного положительного заряда из первой точки во вторую.

. (3.7)

Если в результате какого-либо процесса система возвращается в исходное состояния, то работа равна нулю. Поэтому условие потенциальности электростатического поля можно представить в виде (3.8)

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией.

В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться тем, что циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Потенциальный характер электростатического поля позволяет каждой его точке приписать энергетическую характеристику –потенциал.

Потенциал измеряется работой, совершаемой силами электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в некоторую точку, потенциал которой принят равным нулю.

,.

Физический смысл имеет разность потенциалов между рассматриваемыми точками, а не значения потенциалов сами по себе, поэтому точку с нулевым потенциалом можно выбирать из соображений удобства. Во многих случаях удобно считать равным нулю потенциал на бесконечности

.

Тогда потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом qна расстоянииrот него равен

. (3.9)

Из принципа суперпозиции следует аддитивность потенциала, т.е. потенциал поля, создаваемого несколькими зарядами в какой-либо точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Рассмотрим теперь потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Вспомним, что потенциальной энергией W называется функция координат, изменение которой при перемещении тел, равно взятой с противоположным знаком работе dA, совершенной силами потенциального поля, для которого эта энергия вводится.

dW =  dA

Найдем потенциальную энергию взаимодействия точечных зарядов q₁иq₂, находящихся на расстоянииrдруг от друга. Для этого вычислим работу, совершаемую силами электростатического поля при изменении расстояния между зарядами наdr. Согласно соотношению (3.4) эта работа равна:

,

откуда следует .

Интегрируя, получим . (3.10)

Используя выражение для потенциала точечного заряда (3.9) энергию Wможно представить в виде

. (3.11)

Для последующего обобщения на случай nвзаимодействующих зарядов, эту энергию удобно записать в симметричном виде:

, (3.12)

где– потенциал, который создаёт второй заряд в точке, где находится первый, а, соответственно,₂потенциал, который создаёт первый заряд в точке, где находится второй.

Энергия взаимодействия nточечных зарядов выражается аналогично (3.12)

, (3.13)

где _i– потенциал в точке, где находится зарядq_i, создаваемый остальными зарядами.

При этом энергия i-того заряда (точнее, энергия взаимодействияi-того заряда со всеми остальными) равна

W_i = q_i._i (3.14)

Следует заметить, что, согласно определению (3.7), разность потенциалов ₁₂между точками «1» и «2» равна взятому с противоположным знаком изменению потенциала=₂₁.

Изменение потенциала при бесконечно малом перемещении dlможно связать с напряженностьюЕ

. (3.15)

Таким образом, компоненты вектора напряженности выражаются через производные потенциала

. (3.16)

Напряженность поля равна взятому с противоположным знаком градиенту потенциала:

. (3.17)

Напомним, что векторный оператор «набла»

.

Наряду с линиями напряженности, электростатическое поле можно характеризоватьэквипотенциальными поверхностями ,на которых потенциал остается постоянным. При перемещении вдоль такой поверхности наdlизменение потенциалаd= 0, следовательно, в соответствии с (3.15) напряженностьЕперпендикулярна эквипотенциальной поверхности.

Силовые линии в каждой точке поля ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

В однородном поле эквипотенциальные поверхности (см. рис.) представляют собой параллельные плоскости, перпендикулярные параллельным линиям напряженности. Если напряженность равна Е, то разность потенциалов₁₂между плоскостями, отстоящими наlравна

₁₂=El.