10

Конспект лекций по общей физике, раздел «Электричество и магнетизм» (2 курс, осенний семестр, 2010-2011 г)

§1. Электрические заряды и электрическое поле. Закон Кулона.

Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции

Электрический заряд и электрическое поле это фундаментальные понятия, которым невозможно дать строгие определения через какие-либо другие, более простые понятия. Можно только описывать их свойства.

Из опыта известно, что электрические заряды бывают двух типов, которые условно названы положительными и отрицательными. Тела, имеющие заряды одного знака, отталкиваются друг от друга, а разноименно заряженные тела притягиваются. Заряд какого либо объекта определяется суммарным зарядом элементарных частиц, из которых этот объект состоит. Зарядить макроскопическое тело можно, только изменив число содержащихся в нем заряженных элементарных частиц. Электрический заряд дискретен. Абсолютная величина заряда всех заряженных элементарных частиц одинакова и равна элементарному зарядуе= 1,6010^19Кл. Элементарный заряд весьма мал, так что величину макроскопических зарядов, как правило, можно считать меняющейся непрерывно. Положительный заряд имеют протоны, отрицательный – электроны. Электрический заряд не зависит от состояния движения частицы, ее взаимодействия с другими объектами, и не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой.

В результате обобщения опытных данных был установленфундаментальный закон природы – закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой изолированной системы сохраняется, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы. В системемогут образовываться или исчезать электрически заряженные частицы, однако при этом одновременно рождаются или исчезают частицы,заряды которых противоположны по знаку и в сумме равны нулю.

Во многих задачах электродинамики пользуются моделью точечного электрического заряда. Точечный электрический заряд– это заряженное тело, размерами и формой которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Например, при рассмотрении электростатического взаимодействия двух заряженных тел, их можно считать точечными зарядами, если размеры этих тел много меньше расстояния между ними.

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов экспериментально установлен в 1785 г. французским физиком Ш. Кулоном. Поэтому силы электростатического взаимодействия часто называют кулоновскими силами.

Закон Кулонаформулируется следующим образом:сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой.

На основании закона Кулона модуль Fсилы взаимодействия точечных зарядовq₁иq₂, находящихся на расстоянииr₁₂друг от друга, записывается в виде

, (1.1)

где k-коэффициентпропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Вектор силы F₂, действующей на зарядq₂со стороны зарядаq₁, можно представить в виде:

, (1.2)

где вектор r₁₂направлен от зарядаq₁к зарядуq₂.

Соответственно, сила F₁, действующая на зарядq₁со стороны зарядаq₂, равна

(1.3)

где вектор r₂₁направлен от зарядаq₂к зарядуq₁.

Так как r₂₁=r₁₂, из формул (1.2) и (1.3) следуетF₁=F₂, т.е. кулоновские силы подчиняются третьему закону Ньютона.

В системе СИ коэффициент пропорциональности kв законе Кулона принято записывать в виде:Нм²/Кл², где₀= 8,85410^12Кл²/(Нм²)электрическая постоянная.

Единица заряда кулон (Кл) в системе СИ является производной. Она выражается через основную единицу – ампер (А). Один кулон равен заряду, протекающему через поперечное сечение проводника за одну секунду при силе тока один ампер (1 Кл = 1 А 1 с).

Наряду с системой СИ в физике, особенно в теоретической физике, используется система СГС (гауссова система). Гауссова система с физической точки зрения является значительно более естественной, нежели СИ. В дальнейшем мы сможем в этом неоднократно убедиться. Преимущество СИ чисто инженерное, т.к. при расчетах численные результаты сразу получаются в привычных для электротехники единицах – амперах, вольтах, омах и т.д.

В системе СГС основными единицами являются сантиметр, грамм, секунда. Единица заряда в этой системе (обозначаемая СГСЭ_q) вводится так, чтобы коэффициент пропорциональностиkв законе Кулона (1.1) был равен единице. Два точечных заряда, каждый из которых равен 1 СГСЭ_q, находясь на расстоянии 1 см друг от друга, взаимодействуют с силой в 1 дину. Дина – это единица силы в системе СГС. Она равна силе, которая телу массой 1 г сообщает ускорение 1 см/с².

Электрические заряды создают в окружающем их пространстве электрическое поле, посредством которого и осуществляется взаимодействие зарядов. Основной характеристикой электрического поля в какой-либо точке пространства является напряженность.

Напряженность электрического поляE–это векторная величина, равная отношению силыF,действующей на электрический заряд q, помещенный в данную точку, к величине этого заряда

. (1.4)

Используя напряженность, соотношения (1.2) и (1.3) можно записать в виде

F₂=q₂E(q₁),F₁ = q₁E(q₂), (1.5)

где E(q₁)напряженность, создаваемая зарядомq₁в точке, где находится зарядq₂, аE(q₂)напряженность, создаваемая зарядомq₂в точке, где находится зарядq₁.

Сравнивая формулы (1.1-3) и (1.5), найдем выражения для напряженности поля, создаваемого точечным зарядом qв точке, находящейся на расстоянииrот заряда

в системе СИ (1.6)

в гауссовой системе . (1.7)

В системе СИ единица напряженности поля вольт на метр (В/м). Из (1.4) следует 1 В/м = (1 Н)/(1 Кл). Определение вольта будет дано позднее. Надо сказать, что логика наименований и связей между единицами в системе СИ весьма своеобразна, поэтому иногда придется употреблять обозначения, выраженные через единицы, которых мы еще не вводили.

Электрическое поле удобно графически изображать с помощью так называемых силовых линий, илилиний напряженности. Они представляют собой кривые, направление касательной к которым в любой точке совпадает с направлением вектораЕ в этой точке. Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично распределенные радиальные прямые, исходящие из точки, где расположен заряд. Проведем мысленно достаточно много таких линий и обозначим их полное число черезN. Так как линии напряженности в пространстве между зарядами непрерывны, то число линий, выходящих наружу из любой замкнутой поверхности, охватывающей заряд, равноN.

Тогда густота линий на расстоянии rот заряда, т.е. число линий, пересекающих единицу площади поверхности сферы радиусаr, равнаN/(4r²). Сравнивая это с выражением (1.6-7) для напряженности поля точечного заряда, можно убедиться, что густота линий и абсолютная величина напряженности пропорциональны друг другу.

Напряженность однородного поля(создаваемого, например, равномерно заряженной протяженной пластиной) во всех точках одинакова по величине и направлению, поэтому его силовыми линиями являются параллельные прямые.

Эксперименты показывают, что сила взаимодействия двух зарядов не изменяется при наличии третьего заряда. Сколько бы зарядов ни входило в систему, закон Кулона (уравнения (1.1-3)) можно использовать для вычисления сил взаимодействия каждой пары.

Отсюда следует принцип суперпозиции: напряженность поля Е, создаваемая несколькими зарядами q_i, равна векторной сумме напряженностей полей Е_i, создаваемых каждым i-тым зарядом в отдельности

. (1.7)

Принцип суперпозиции означает, что присутствие других зарядов не сказывается на электрическом поле, создаваемом данным зарядом.

Рис. 1.1 иллюстрирует применение принципа суперпозиции при нахождении напряженности поля Е, создаваемого положительным зарядомQ₁ и отрицательным зарядомQ₂ в точке, находящейся на расстоянииr₁ от первого заряда и наr₂ от второго:

Рис. 1.1 Е=Е₁+Е₂,

где Е₁иЕ₂– напряженности полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Используя теорему косинусов, найдем модуль Е.

.