Математика ч
.2.pdf
Составляя интегральную сумму, получим
|
b |
ϕ2 |
( x) |
|
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫dx |
|
∫ f (x; y)dy . |
(1.1) |
|
D |
a |
ϕ1 ( x) |
|
|
ϕ2 ( x)
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла ∫ f (x; y)dy , переменная x счи-
тается постоянной. |
|
|
ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
|
|
Если область интегрирования D является правильной в направлении оси |
||||
Ox , т. е. ограничена прямыми y = c, |
y = d и кривыми x = g1 ( y), |
x = g2 ( y) , |
||
g2 (x) ≥ g1(x) , то двойной интеграл вычисляется по формуле |
|
|||
|
d |
g 2 |
( y) |
|
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫dy |
|
∫ f (x; y)dx . |
(1.2) |
|
D |
c |
g1 ( y) |
|
|
Пример. Вычислить двойной интеграл ∫∫x y2dxdy , если область D огра- |
||||
|
|
|
D |
|
ничена линиями x = 0, x = 3, y = x, |
y = |
x2 |
|
|
8 |
. |
|
||
Решение. Строим область D (рис. 3). |
|
|
||
|
|
|
||
Рис. 3
41
Заштрихованная область D правильная в направлении оси Oy .
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
x |
|
3 |
|
( |
x) |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
||
∫∫x y2dxdy = ∫dx |
|
∫ |
x y2dy |
= |
∫dx |
(x |
|
) |
|
2 |
|
= ∫ x |
|
|
− 1 |
x |
|
|
dx = |
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
2 |
8 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1 |
3 |
|
5 / 2 |
− |
x7 |
|
|
|
1 |
|
2x7 / 2 |
− |
x8 |
|
3 |
= |
221184 |
3 − |
45927 |
≈3,92. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∫ |
x |
|
3 |
dx = |
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
0 |
|
|
|
8 |
|
|
|
3 |
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
86016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Приложения двойного интеграла
Площадь плоской фигуры. Рассмотрим фигуру D на плоскости, ог-
раниченную графиками функций y =ϕ1 (x) , y =ϕ2 (x) , причем ϕ1(x) ≤ϕ2 (x) , x = a, y = b . Тогда площадь полученной фигуры можно вычислить с помо-
щью двойного интеграла:
|
b |
ϕ2 ( x) |
|
S = ∫∫dxdy = ∫dx |
∫dy . |
(2.1) |
|
D |
a |
ϕ1 ( x) |
|
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
y = sin x , |
||
x =π
2 , y = 0. Сделать чертеж.
Решение. Строим область, ограниченную данными линиями. На рис. 4 область заштрихуем.
Рис. 4
Найдем координаты точек пересечения линий: A(0;0), B(π 2;0), C(π 2;1) .
42
Область интегрирования является правильной в направлении оси Ox . Тогда согласно (2.1) площадь фигуры равна
|
π 2 |
sin x |
π 2 |
π 2 |
π0 |
2 = |
S = ∫∫dxdy = ∫dx |
∫dy = ∫ (sin x − 0)dx = ∫sin xdx = −cos x |
|||||
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
= −(cos π |
−cos 0) = −(0 −1) =1 кв. ед. |
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Объем цилиндрического |
тела. Рассмотрим |
тело, ограниченное |
||||
сверху поверхностью z = f (x, y) ≥ 0 , снизу – замкнутое областью D , с боков цилиндрической поверхностью, перпендикулярной плоскости xOy . Такое тело называется цилиндрическим. Найдем объем этого тела. Разобьем область D произвольным образом на n областей Di , площади которых равны Si . Рассмотрим полученные цилиндрические столбики, у которых в основании область Di , а сверху кусок поверхности z = f (x, y). Обозначим объем такого цилиндрического тела Vi . Очевидно, что в своей совокупности они составляют
n
объем всего цилиндрического тела: V = ∑ Vi . Объем части данного тела при-
i=1
ближенно равен произведению площади основания на высоту, т. е. Vi ≈ f (xi ; yi ) Si , где (xi ; yi ) – произвольная точка, рассмотренная в области
Di с площадью Si .
Тогда объем всего цилиндрического тела равен сумме объемов всех ма-
n |
n |
леньких цилиндрических столбиков V = ∑ |
Vi ≈ ∑ f (xi ; yi ) Si . |
i=1 |
i=1 |
Равенство будет более точным, если количество разбиений области D на кусочки Di будет увеличиваться. Предположим, что количество разбиений
увеличивается n → ∞, |
а каждая Di |
стягивается в точку, |
тогда объем |
||
V = |
n |
Si , или по определению равен двойному интегралу: |
|||
lim ∑ f (xi ; yi ) |
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
max di →0 i=1 |
|
|
|
|
|
|
V = ∫∫ f (x; y)dxdy . |
(2.2) |
||
|
|
D |
|
|
|
( di – «диаметр» области Di ). |
|
|
|
||
|
Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 =8, |
||||
x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 4 . |
|
|
|
||
|
Решение. Графиком x2 + y2 =8 , |
z R |
является цилиндр. При z = 0 по- |
||
лучается окружность с центром в точке (0;0) |
и радиусом R = 2 |
2 . Графиком |
|||
x + y + z = 4 является плоскость. Найдем точки пересечения цилиндра и плоскости, решив систему уравнений:
43
x2 + y2 =8;x + y + z = 4;
z = 0.
Данная система имеет единственное решение: M (2;2;0) . Строим тело, ограниченное этими поверхностями.
|
Рис. 5 |
Область D – это четверть круга: |
x2 + y2 =8, где 0 ≤ x ≤ 2 2 . Для удобства |
и наглядности построим область интегрирования отдельно.
Рис. 6.
Найдем объем тела.
44
V = ∫∫ f (x; y)dxdy = |
2 2 |
|
8−x2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
∫dx |
|
∫(4 − x − y)dy = |
∫dx(4 y − xy − y |
|
) |
8 − x |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
= |
2 2 |
(4 8 |
− x2 − x |
8 − x2 |
− |
8 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
+ |
|||||||
∫ |
|
|
2 |
|
)dx = 16arcsin |
|
|
|
+8sin(2arcsin |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
0 |
|
|
||||
+ |
1 |
|
2(8 − x2 )3 / 2 |
2 |
2 |
+ |
(−4x |
+ |
x3 |
) |
2 |
2 |
=8π − |
32 |
|
2 |
(куб.ед.). |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
3 |
0 |
|
6 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задания для контрольной работы № 4
221–230. Найти область определения функции. Изобразить решение на координатной плоскости.
221. |
z = |
2 + x − y ln(1 + x). |
226. |
z = ln x + ln( y − 2x +1) . |
|||
222. |
z = |
3 + x − y ln(1 + y). |
227. |
z = ln(x2 + y2 −1). |
|||
223. |
z = |
x + ln(x − y) . |
228. |
z = x2 + y2 −16 . |
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
224. |
z = |
2 + x − y ln(x2 + y) . |
229. |
z = |
xy + |
1 |
. |
|
z = ln(9 − x2 − y2 ) . |
|
|
|
x +1 |
|
|
225. |
230. |
z = |
x + ln(x + y) . |
||||
231–240. |
Найти частные производные z′x |
и z′y |
функции двух переменных |
||||
z = f (x; y): |
|
|
|
|
|
||
231. z = (x + 2)3 + ln y .
232. z = sin(xy) + y2 .
233. z = (x + y2 ) ex .
234. z = cosx + yy .
235. z = x2 + ex . y
236. |
z = |
|
|
y2 |
. |
|
|
x + y |
|
||||||
|
|
|
|
||||
237. |
z = |
|
|
xy |
. |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
− y |
|
|
|||
238. |
z = |
ln(x + y) |
. |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
x − y |
|||
239.z = ex + y .
3 − y
240.z = xy + ey .
45
241–250. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в данной точке M 0 (x0 ; y0 ; z0 ).
241. |
z = x2 |
+ y2 |
− 4, |
M 0 (−2;1;1). |
246. |
z = 3 − x2 −( y −1)2 , M 0 (1;2;1) . |
|||
242. |
z = x2 |
+ y2 |
− 2, |
M 0 (1;2;3) . |
247. |
z = x2 + y2 + |
3, |
M0 (1;−2;8) . |
|
243. |
z = (x +1)2 + ( y −1)2 , |
M 0 (1;2;5). |
248. |
z = x2 + y2 + |
1, |
M 0 |
(−1;2;6) . |
||
244. |
z = 4 − x2 − y2 , |
M 0 (1;1;2) . |
249. |
z = (x − 2)2 + y2 , |
M 0 |
(3;−2;5). |
|||
245. |
z = x2 |
+ y2 |
−1, |
M 0 (2;2;7) . |
250. |
z = 2x2 + y2 , |
|
M 0 (−1;2;6) . |
|
251–260. Исследовать функцию двух переменных z = f (x; y) на экстремум.
251. |
z = x3 − 2 y2 −3x + 6 y +1. |
256. |
z = x3 − 4 y2 −3x +12y −1. |
|||
252. |
z = x2 − 4 y3 − 2x +12 y . |
257. |
z = x3 + 3y3 −3x −9 y2 +16. |
|||
253. |
z = 2x3 + 2 y3 −6xy +5 . |
258. |
z = −x2 + xy − y2 −9x + 3y − 20 . |
|||
254. |
z = x3 +3xy2 −15x −12 y +1. |
259. |
z =12xy − x2 y − xy2 . |
|
||
255. |
z = −3x2 −3y2 + 6(x − y) . |
260. |
z = x3 +8y3 −6xy +1. |
|
||
261–270. Найти градиент функции z = f (x; y) в точке M 0 (x0 ; y0 ) . |
|
|||||
261. |
z = x2 |
− 2xy − y2 , M 0 (1;2) . |
266. |
z = x2 + xy + y2 +3 , |
M 0 (3;0). |
|
262. |
z = x3 |
− xy + y2 + 4 , |
M 0 (2;1) . |
267. |
z = 2x3 − x2 + y3 − y , |
M 0 (−1;2) . |
263. |
z = x2 |
+ xy − y3 , |
M 0 (0;−3) . |
268. |
z = x2 − xy2 + y2 , |
M 0 (1;1) . |
264. |
z = x4 |
+ x2 y + y3 , |
M 0 (2;−1) . |
269. |
z = x3 − x2 y2 + 4 y3 , |
M 0 (1;1) . |
265. |
z = 2x2 + 4xy −3y3 , |
M 0 (−3;1) . |
270. |
z = −x2 −5xy + 2 y2 , |
M 0 (1;−3) . |
|
271–280. При помощи двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.
271. |
y = x |
2 |
, |
y = |
|
x2 |
, 0 ≤ x ≤ 2 . |
|||||
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
272. |
y = x, |
|
y = |
, |
|
x = 4. |
||||||
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
273. |
x + y = 5, |
y = |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
x
y = x3 , x + y = 2, y = 0. x = ( y −1)2 −1, x = 3 .
276. |
y = x3 , |
y = 4x, |
x ≥ 0 . |
||
277. |
y = x, |
y = −x, |
y = 2 . |
||
278. |
y =1, |
y = 6, y = |
1 |
, x = 0 . |
|
|
|||||
|
y = (x +1)2 −1, |
|
x |
||
279. |
y = 0 . |
||||
280. |
y2 = x, |
x + y = 2, |
|
x = 0 . |
|
46
281–290. Найти объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж.
281. |
2x + 3y + 2z − 6 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 . |
282. |
x2 + y2 =16, x + y = 4 . |
283. |
x2 + y2 =9, z = y, z = 0 . |
284.z = x − y +1, x = 0, y = 0, z = 0 .
285.x2 + y2 =18, x + y = 6 .
286. x2 + y2 =1, z = y, z = 0 .
287.z = 2x + y + 2, x = 0, y = 0, z = 0.
288.x2 + y2 = 6, x + y = 4 .
289. |
x2 + y2 = 4, z = y, z = 0 . |
290. |
x + 2 y − z − 4 = 0, x = 0, y = 0, z = 0. |
Вопросы к экзамену
1.Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4.Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
5.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда.
6.Гармонический и обобщенный гармонический ряды.
7.Признаки сравнения числовых рядов.
8.Признак Даламбера.
9.Функциональный ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
10.Применение функциональных рядов в приближенных вычислениях.
11.Функция двух переменных: область определения, множество значений.
12.Понятие частных производных функции двух переменных.
13.Нахождение частных производных от функции двух переменных, заданной неявно.
14.Определение дифференциала функции двух переменных.
15.Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности, заданной в виде F (x; y; z) = 0 .
16.Нахождение экстремума функции двух переменных.
17.Определение градиента функции двух переменных и его вычисление.
18.Понятие двойного интеграла.
19.Способ вычисления двойного интеграла.
20.Нахождение площади фигуры с помощью двойного интеграла.
21.Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла.
47
Библиографический список
1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учеб. для вузов. – М. : Рольф, 2001. – 280 с.
2.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в уп-
ражнениях и задачах. : учеб. пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб.
идоп. – М. : Высш. шк., 2003. – Ч. 2. – 379 с.
3.Филиппов А. В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : учеб. пособие для студентов втузов. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176 с.
_______________
48
Учебное издание
Татьяна Владимировна Величко Татьяна Викторовна Завьялова Ирина Николаевна Пирогова
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ II
Учебно-методическое пособие для студентов технических специальностей заочного отделения, обучающихся по ускоренной программе
Издание второе, исправленное и дополненное
Редактор В. П. Вовчек
Подписано в печать 20.05.2009 г. Формат 60 × 84 / 16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,3
Тираж 250 экз. Заказ № 160
Издательство УрГУПС 623034, Екатеринбург, ул. Колмогорова 66
49
50