Математика ч

Итак, k = 0 <1, следовательно, по признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Замечание. Кроме знакоположительных существуют еще знакопеременные ряды. В данном пособии мы приведем только общие понятия знакопеременных рядов, без примеров.

Ряд вида

где un > 0 , называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т. е. u1 >u2 >u3 >K>un >K.

2. Общий член ряда стремится к нулю: lim un = 0 .

n→∞

При этом сумма S ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам 0 < S <u1.

Знакочередующийся ряд ∞ − n+1 называется абсолютно сходящим-

∑( 1) u n

n=1

ся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакочередую-

щийся ряд ∞ − n+1 называется условно сходящимся, если сам он сходит-

∑( 1) u n

n=1

ся, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

21

3. Функциональные ряды

функции аргумента x , определенные на некотором множестве D, называется

функциональным рядом.

Если в этот ряд подставлять определенные значения x0 D , то будут по-

лучаться различные числовые ряды.

Значение x0 , при подстановке которого получается сходящийся числовой

ряд, называется точкой сходимости функционального ряда.

Если при x = x0 ряд расходится, то точка x0 называется точкой расходи-

мости функционального ряда.

Совокупность точек сходимости функционального ряда называется его

областью сходимости.

Из всех функциональных рядов мы будем рассматривать только ряды, чле-

нами которых являются степенные функции аргумента x .

Степенным рядом называется ряд вида

x < x0 .

Следствие. Если ряд расходится при x = x0 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих неравенству x > x0 .

Если x0 таково, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x < x0 ,

22

Графически это можно представить так:

Следовательно, ряд сходится при −3 < x + 2 < 3, или −5 < x <1.

Замечание. Чтобы найти область сходимости степенного ряда нужно:

1)определить его радиус сходимости по формуле (3.1);

2)исследовать сходимость этого ряда на концах интервала. Для этого нужно подставить сначала левое значение радиуса в исходный ряд, а потом – правое. Полученные ряды являются числовыми;

3)исследовать полученные числовые ряды на сходимость.

4.Применение рядов в приближённых вычислениях

Вматематике существует определенный круг задач, для решения которых сложно или невозможно применить стандартные методы решения. Например, существуют «неберущиеся» интегралы, сложные дифференциальные уравнения

ит. д. В таких ситуациях нашли своё применение числовые и функциональные

23

ряды, которые широко применяют в приближённых вычислениях определённых интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

В этом разделе рассмотрим некоторые примеры применения рядов. Ряд вида

Следует отметить, что ряд Тейлора (как видно, это степенной ряд) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции, но ряд необязательно будет сходящимся.

Для применения рядов Тейлора и Маклорена в приближённых вычислениях используются следующие стандартные разложения элементарных функ-

Справа указана область сходимости каждого ряда.

24

Пользуясь этими разложениями, можно записывать разложения для более сложных функций. Например:

Приближённое вычисление интегралов с помощью степенных рядов

b

Для приближенного вычисления определенного интеграла ∫ f (x)dx с за-

a

данной точностью, нужно разложить подынтегральную функцию y = f (x) в

степенной ряд, пользуясь стандартными разложениями элементарных функций

25

= 0,002 − 0 − 0,0004 + 0 + 0,00000106 − 0 −K .

Количество слагаемых в разложении подынтегральной функции бесконечно. Заданная точность позволяет рассматривать такое количество слагаемых, которое учитывает лишь несколько первых из них. Необходимо отбросить такие слагаемые, которые меньше заданной точности (по абсолютной величине).

В данном примере уже второе слагаемое оказалось меньше заданной точности, поэтому отбрасываем остальные члены ряда, округляем, учитывая за-

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

y′ = xy + x2 y − y , удовлетворяющего начальным условиям y(0) =1.

Решение. Решение данного уравнения ищем в виде

26

Согласно начальным условиям y0 =1. Тогда, подставив начальные условия в уравнение, найдем y′(0) = 0 1 + 02 1 −1 = −1, т. е. y0′ = −1. Находим y′′, продифференцировав исходное уравнение:

y′′ = (xy + x2 y − y)′ = (xy)′+ (x2 y)′− y′ =

= x′y + y′x + (x2 )′y + x2 y′− y′ = y + y′x + 2xy + x2 y′− y′.

Подставив значения x0 , y0 и y0′ , получим: y′′(0) =1 −1 0 + 2 0 1 + 02 (−1) +1 = 2 ,

y′′′= ( y + y′x + 2xy + x2 y′− y′)′= 2 y′+ y′′x + 2 y + 4xy′+ x2 y′′− y′′, y′′′(0) = 2 (−1) + 2 0 + 2 1 + 4 0 (−1) + 02 2 − 2 = −2 .

Подставим в разложение:

y(x) = y0 + y1!0′ x + y20′!′ x2 + y30′!′′ x3 +K=1 + −11 x + 22! x2 + −3!2 x3 +K .

Окончательно: y(x) =1 − x + x2 − 13 x3 +K .

Задания для контрольной работы № 3

141–150. Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

27

151–160. Найти общее решение дифференциального уравнения.

161–170. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

171–180. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

28

191–200. Найти интервал сходимости ряда.

201–210. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

211–220. Для дифференциального уравнения y′ = f (x, y) с заданными начальными условиями y(x0 ) = y0 записать приближенное решение в виде суммы первых четырех отличных от нуля членов степенного ряда.

29

ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Основные понятия

Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой упорядоченной паре чисел (x; y) из некоторого множества пар D по определенному правилу поставлено в соответствие единственное значение переменной z. При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – функцией. Обозначение функциональной зависимости между x, y и z имеет вид: z = f (x; y) . Множество D = D( f ) всех пар

(x, y) называется областью определения функции двух переменных, а множе-

ство значений, принимаемых z в области определения, называется множест-

вом значений функции.

Графиком функции двух переменных называется множество точек пространства, координаты которых имеют вид (x; y; f (x, y)), где (x, y) D( f ) .

Впрямоугольной декартовой системе координат Oxyz графиком является

вобщем случае поверхность.

Некоторые примеры поверхностей

1. Плоскость, задается уравнением Ax + By +Cz + D = 0, где A, B, C, D – некоторые числа (рис. 1).

Рис. 1

30