Глава 1

Основные правила работы в Maple. Элементарная математика

Окно Maple имеет обычный вид для предложения Windows:

Раскладка клавиатуры в Maple английская (En). Все вычисления выполняются в рабочем документе(так называемом “worksheet”). Работа производится по секциям, каждая секция обозначается левой квадратной скобкой, объединяющей строку ввода(командную) и полученный результат. Правила редактирований командной строки стандартные, как в любом текстовом редакторе.

Работа в Maple проходит в режиме сессии– пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple. Рабочее поле разделяется на три части:

1)область ввода - состоит из командных строк. Каждая командная строка начинается с символа > и имеет красный цвет;

2)область вывода - содержит результаты обработки введенных команд в виде аналитических выражений, графических объектов или сообщений об ошибке, результаты автоматически выравниваются по центру и окрашиваются в синий цвет;

3)область текстовых комментариевсодержит любую текстовую

Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку

5

Обнаружив ошибку, Maple печатает в следующей строке сообщение о ней. Если ошибка синтаксическая, то первый неправильный символ отмечается символом “^”. Самый распространенный вид ошибки – отсутствие скобки; в этом случае после нажатия<Enter> курсор останавливается перед оператором вывода результата(;), в остальных – перед неверным символом.

Результаты работы могут быть сохранены в файлах различных форматов. По умолчанию все результаты работы(области ввода и вывода, комментарии) сохраняются в файле с расширением‘ms’. Если задан режим сохранения сессии(‘Save Kernel’), то в файле с расширением‘m’ сохранятся значения переменных и коды введенных процедур. При записи в файлы с другим расширением сохраняются только области ввода и тексты комментариев.

Оператор “;” (точка с запятой) – оператор вывода результата на рабочий лист. При его наличии после нажатия клавиши<Enter> (в каком бы месте строки не находился курсор) или щелчка левой кнопки мыши по

кнопке на панели инструментов проводятся вычисления и результат выводится на рабочий лист. Например:

> 8+2;

10

> x:=2;(x^3-x^2)/2;

x:= 2 2

> cos(Pi/2);

0

Последний, предпоследний и предпредпоследний результаты Maple сохраняет под именами %, %% и %%% соответственно. Действительно:

> %+%%+%%%;

4

Особое внимание необходимо обратить на, что система различает строчное и заглавное написание букв.

Команда restart очищает память, то есть все определенные до этого переменные и другие объекты уничтожаются. Но внешний вид окна редактора не меняется, операторы и процедуры остаются неизменными. Пример:

> z:=(x+3-sin(x^2));

z := x + 3 - sin( x2 )

> restart; z;

6

z

Maple выдает в качестве результата имя самой переменной, т. . идентификатору z не присвоено никакое значение.

Переменная Digits устанавливает количество значащих цифр (точность), которыми будет оперировать Maple при работе. По умолчанию значение этой переменной равно 10. Пример:

> evalf(Pi);

3.141592654

> Digits:=40:evalf(Pi);evalf(Pi,20);

3.14159265358979323846264338327950288419

3.1415926535897932385

Вычисление числовых выражений производится при помощи стандартной функции evalf(x,n), где x – числовое выражение, n – необязательный параметр, его значение определяется переменной Digits.

Комплексное число записывается в алгебраической форме z=x+iy, и в командной строке такая запись должна выглядеть так:

> z:=x+I*y;

z := x + y I

Если z=x+iy, то комплексно сопряженное ему выражениеw=z*=x– iy можно найти с помощью команды conjugate(z):

> w:=conjugate(z);

w := ( x + y I )

Константы, арифметические операции и функции

Для записи выражений используются следующие математические константы:

Знаки арифметических операций:

“+” - сложение; “–” - вычитание; “*” - умножение; “/” - деление; “^” , “**” - возведение в степень; “!” – факториал, “:=” - присваивание. Пример:

> y:=4!/((x^2+5*x-12)**(x-5));

24

y :=

( x - 5 )

( x 2 + 5 x - 12 )

В частности при помощи оператора присваивания определяются функции. Самый простой способ задания функцииf:=<аналитическое выражение>. Но этот способ неудобен тем, что при таком заданииMaple игнорирует запись f(a) и значение f(a) приходится вычислять встроенной функцией подстановки subs(x=a,f) – подставить х=а в f:

> f:=x^2+2*x+1;

f := x2 + 2 x + 1

> subs(x=2,f);

9

Более длинный способ, не имеющий этого недостатка и называемый основным, выглядит так:

> f:=x->x^2+2*x+1;

f := x ® x2 + 2 x + 1

> f(2);

9

Присваивание отменяется при помощи оператораf:=’f’, а все

способом:

>y:=proc(x)

>x^2+2*x+1

>end;

y := proc (x) x^2 + 2´x + 1 end proc

> y(2);

9

Для ввода функций, заданных несколькими аналитическими выражениями, можно использовать оператор условного переходаif, применяемый в следующих видах:

1) if <условие> then <следствие> fi;

Если выполнено условие, то выполняется следствие, в противном случае ничего не выполняется.

2) if <условие1> then <следствие1>

| elif <условие2> then <следствие2>| | else <следствие3>|

end if;

Если выполнено условие1, то выполняется следствие1, в противном случае проверяется условие2. Если условие2 истинно, то выполняется следствие2, иначе выполняется следствие3. Необходимо отметить, что эта конструкция включает в себя первую, т.к. текст в прямых скобках можно опустить.

3) `if`( условие, следствие1, следствие2);

Если выполнено условие1, то выполняется следствие1, иначе – следствие2. Это задание условного оператора в компактном виде.

Пример. Пусть необходимо задать функцию:

ìx2 , x £ 0,

f (x )= ïí2x, 0<x £ 1,

ïî1, x > 1.

Конструкция вида 3) по ее описанию будет иметь вид: > f:=`if`(x<=0,x^2,`if`(x>1,1,2*x));

f := if( x £ 0, x 2, if( 1 < x, 1, 2 x ) )

> subs(x=0.5,f);

if( 0.5 £ 0, 0.25, if( 1 < 0.5, 1, 1.0 ) )

> evalf(%);

1.0

Тот же принцип конструкции вида3) используется во встроенной функции piecewise:

> f:=piecewise(x<=0,x^2,x<=1,2*x,x>1,1);

В Maple используется общепринятые в математике названия для основных функций, но есть и некоторые исключения:

выражений evalc(z). Например:

> z:=ln(1-I*sqrt(3))^2;

z := ln( 1 - 3 I )2

> evalc(Re(z)); evalc(Im(z));

ln( 2 )2 - p2 9

2

-3 ln( 2 ) p

С полным списком математических функций, входящих в Maple, можно ознакомиться при помощи справки. Для этого достаточно набрать inifcn , выделить и нажать <F1>.

Встроенные функции в Maple делятся на внутренние (они входят в ядро системы и загружаются при запускеMaple) и внешние (хранящиеся на жестком диске). Встроенные делятся на исполняемые и инертные(или функции прямого и отложенного исполнения). Первые возвращают пользователю результат, они всегда начинаются со строчной буквы. Инертные начинаются с заглавной буквы и используются чаще всего для ввода в текст комментариев.

Для ввода греческих букв, математических символов, работы с матрицами и векторами также можно использовать специальные панели, которые вызываются последовательным раскрытием пунктов меню(View /

10

Palettes / Symbol Palette), (View / Palettes / Expression Palette), (View / Palettes / Matrix Palette), (View / Palettes / Vector Palette) соответственно.

Например, панель для ввода математических символов имеет вид:

команды находятся в стандартной библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командойreadlib(command), где command – имя вызываемой команды. Остальная часть процедурMaple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами. Пакеты необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих библиотек. Имеется два способа вызова команды из пакета:

1.можно загрузить весь пакет командойwith(package) где package – имя пакета;

2.вызов какой-нибудь одной командыcommand из любого пакета package можно осуществить, если набрать команду в специальном формате:

>package[command](options);

где вначале записывается название пакетаpackage, из которого надо вызвать команду, а затем в квадратных скобках набирается имя самой команды command, и после чего в круглых скобках следуют параметры options данной команды.

> x!$x=1..4;

1, 2, 6, 24

Эту же последовательность можно задать при помощи команды

seq:

> seq(x!,x=1..4);

значение равно 1). Пример:

> for n from 1 by 3 to 8 do 3*n od;

3

12

21

Также можно использовать циклы “while”: > for n from 1 while n<=3 do 3*n od;

3

6

9

происходит упрощение. Установив курсор (или выделив слово) и нажав <F1>, можно получить справку, по которой можно ознакомиться с соответствующим списком параметров и подробными примерами, которые в некоторой степени компенсируют изложение содержимого на английском языке.

13

> simplify(3*x/sqrt(x^2),assume(x<0));

-3

Приведенные встроенные функции хорошо упрощают алгебраические выражения с целыми степенями, но в случае рациональных степеней они, как правило, возвращают заданное выражение:

>simplify((x^3-y^3)/(x-y));

x2 + y x + y2

>simplify((x-y)/(sqrt(x)+sqrt(y)));

x- y

x + y

Поэтому перед упрощением дробного выражения, содержащего степени с дробными показателями, необходимо при помощи функцииsubs (подстановка) перейти к алгебраическому выражению, содержащему целые показатели:

>f:=(x-y)/(sqrt(x)+sqrt(y));

x- y

f :=

x+ y

>g:=subs(sqrt(x)=a,x=a^2,sqrt(y)=b,y=b^2,f);

x- y

x+ y

> series(%,x);

-y + x

ВMaple заложены основные тригонометрические формулы,

например:

>expand(cos(2*x));

2cos ( x ) 2 - 1

>combine(sin(x)*sin(y));

14