MathCad_Labs

Рис. 6.1. Проверка гипотезы однородности с помощью критерия χ2.

41

6.3Задание к лабораторной работе

а) Было проверено 2 партии теннисных мячей, произведенных на одном заводе. Первая партия состоит из N1 штук, вторая - из N2 штук. Каждый мяч был взвешен, веса мячей из первой партии приведены в файле homo-V-1.txt, второй партии - hom-V-2.txt (V - это номер вашего варианта). Проверить гипотезу однородности двух партий теннисных мячей с уровнем значимости q.

б). В файлах homog-V-1.txt, homog-V-2.txt, homog-V-3.txt

(V - это номер вашего варианта) находятся 3 независимые выборки, описывающих работу 3-х смен на заводе, изготавливающих одинаковые детали на одном и том же оборудовании. Элементы выборок - это количества бракованных деталей, произведенных каждым рабочим смены. В первой смене работало N1 рабочих, во второй - N2, в третьей - N3. Проверить гипотезу однородности для этих выборок с уровнем значимости q.

42

43

Лабораторная работа 7. Проверка гипотезы случайности

7.1Построение критерия для проверки гипотезы случайности

В различных статистических задачах исходные данные X = (X1, . . . , Xn) рассматривают как случайную выборку из некоторого распределения F, т.е. считают компоненты Xi вектора данных X независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Однако, иногда такое предположение нуждается в проверке.

Математически задачу можно сформулировать так: проверить гипотезу H0 = {FX (x) = F (x1) · . . . · F (xn), x = (x1, . . . , xn)}, где

F (x) - некоторая функция распределения, против альтернативной гипотезы H1 = {H0 неверна}.

Критерий для проверки этой гипотезы строится исходя из следующих соображений: если гипотеза случайности действительно имеет место, то компоненты вектора X "равноправны" и поэтому данные не должны быть ни в каком смысле упорядочены. Следовательно, критерий проверки гипотезы H0 можно построить на основании статистик, измеряющих степень беспорядка исходных данных.

Одной из таких статистик является число инверсий в выборке. Говорят, что компонента Xi образует µi инверсий, если в вариационном ряду, построенном по выборке X левее Xi стоит µi элементов выборки с большими номерами.

На рис. 7.1 приведен текст программы, вычисляющей количество инверсий для любого элемента выборки по заданному вариационному ряду.

44

Рис. 7.1. Вычисление количества инверсий, образованных элементом

Xk.

Общее число инверсий для выборки X можно найти по формуле:

Теорема 7.1 При n → ∞ Tn → ξ, где случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение N0,1.

Таким образом, получаем следующий алгоритм проверки гипотезы случайности:

1.По заданной выборке X составляем вариационный ряд.

2.Считаем значение статистик Tn и Tn по формулам (7.1), (7.2).

45

3.Для заданного уровня значимости q определяем Cq из условия Φ(−Cq) = q/2 (см. Приложение Б, таблица 1).

4.Если Tn ≤ Cq, то гипотезу случайности принимаем, в противном случае отклоняем.

7.2Задание к лабораторной работе

В файле rand-V.txt находится некоторая последовательность чисел. Можно ли считать эту последовательность случайной выборкой из некоторого распределения с уровнем значимости q = 0.0V (V - номер вашего варианта)?

46

Лабораторная работа 8. Проверка гипотезы о независимости, вычисление коэффициента корреляции, построение уравнения линейной регрессии

8.1Проверка гипотезы независимости с помощью критерия χ2

Предположим, что в некотором эксперименте наблюдается случайная величина ψ = (ξ, η) с неизвестной функцией распределения Fψ(x, y), и есть основание предполагать, что компоненты ξ и η независимы. В этом случае надо проверить гипотезу независимости H0 = {Fψ(x, y) =

Fξ(x) · Fη(y)}, где Fξ(x) и Fη(y) - некоторые одномерные функции распределения, против альтернативной гипотезы H1 = {H0 неверна}.

Итак, пусть имеется выборка (X, Y) = ((X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn)) из распределения случайной величины ψ = (ξ, η). Простой критерий согласия для проверки гипотезы H0 для этой выборки можно построить, основываясь на методике χ2.

Как известно, эту методику применяют для дискретных моделей с конечным числом исходов, поэтому условимся считать, что случайная величина ξ принимает конечное число s различных значений, которые обозначим u1, u2, . . . , us, а вторая компонента η - k значений v1, v2, . . . , vk.

Если исходная модель имеет другую структуру, то предварительно группируют возможные значения случайных величин отдельно по первой и второй компонентам: множество значений ξ разбивается на

Обозначим через νij число наблюдений пары (ui, vj) (или число эле-

47

ментов выборки, принадлежащих прямоугольнику i ×rj, если данные

sk

P P

группируются), так что νij = n. Результаты наблюдений удобно

i=1 j=1

расположить в виде таблицы сопряженности двух признаков:

Далее вычисляем значение статистики

χ2 → ξ, где случайная величина ξ имеет распределение χ2 с (s−1)(k−1) bn

степенями свободы.

Построим критерий согласия для проверки гипотезы независимости:

На рис. 8.1 приведен текст программы, реализующей проверку гипотезы независимости по критерию χ2 в среде Mathcad.

48

Рис. 8.1. Проверка гипотезы независимости с помощью критерия χ2.

49

8.2Выборочный коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Как известно из курса теории вероятностей, коэффициент корреляции

M(ξη) − M(ξ)M(η)

r =

σ(ξ)σ(η)

характеризует наличие (или отсутствие) линейной зависимости между двумя случайными величинами ξ и η.

При r 6= 0 случайные величины ξ и η называются коррелированными, а при r = 0 – некоррелированными.

Необходимо помнить, что в общем случае некоррелированность случайных величин еще не означает их независимости.

Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству

−1 ≤ r ≤ 1,

и если r = ±1, то ξ и η связаны линейной функциональной зависимо-

чайной величины (ξ, η).

Исходя из определения коэффициента корреляции и точечных оценок для математического ожидания и среднеквадратического отклонения, дадим определение выборочного коэффициента корреляции rB:

где X и Y - выборочные средние для выборок X и Y, а s0(X) и s0(Y ) - соотвествующие несмещенные выборочные средние квадратические отклонения.

rB является точечной оценкой коэффициента корреляции случайных величин ξ и η.

Разумеется, из того, что найденный по выборке rB 6= 0 не следует, что коэффициент корреляции генеральной совокупности r 6= 0. В связи с этим проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции

50