MathCad_Labs

16.X - выборка из нормального распределения Na,σ2 , где a = −5,

σ= 2.

17.X - выборка из распределения Фишера Fk,m, где параметрами k = 6, m = 4.

18.X - выборка из распределения Стьюдента Tk, где k = 10.

19.X - выборка из логнормального распределения с параметрами a = −5, σ = 3.

20.X - выборка из бета-распределения βm,n, где m = 5, n = 5.

11

Лабораторная работа 2. Точечное оценивание

Пусть имеется выборка X = (X1, . . . , Xn) из параметрического семейства распределения Fθ с неизвестным параметром θ Θ (этот параметр может быть как скалярной так и векторной величиной). Необходимо получить оценку параметра θ - величину θ .

2.1Метод моментов

Метод моментов заключается в следующем - любой момент случайной величины ξ зависит, часто функционально, от параметра распределения θ. Но тогда и параметр θ может оказаться функцией от теоретического момента k - го порядка. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического момента его выборочный аналог, получим вместо параметра θ оценку θ .

Так, например, можно оценить параметры a и σ нормального распределения следующим образом:

Известно, что для нормального распределения математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

Eξ = a, Dξ = σ2.

Вычислив по заданной выборке X из нормального распределения выборочные аналоги математического ожидания и дисперсии (выборочное среднее X и выборочную дисперсию s2), получаем следующие точечные оценки a и σ:

√

a = X, σ = s2.

12

2.2Метод максимального правдоподобия

Этот метод заключается в том, что в качестве "наиболее правдоподобной" оценки параметра θ берут значение, максимизирующее вероятность получить при n опытах данную выборку X = (X1, . . . , Xn).

Обозначим

(

fθ(x) =

плотность fθ(x) распределения Fθ, если оно абс. непрерывно, Pθ(X = x), если распределение Fθ дискретно.

Функцией правдоподобия называется функция

f(X, θ) = fθ(X1) · ... · fθ(Xn).

Логарифмической функцией правдоподобия назовем

L(X, θ) = ln f(X, θ).

Оценкой максимального правдоподобия θ неизвестного параметра θ называется такое значение θ, на котором f(X, θ) достигает максимума.

Заметим, что функции f(X, θ) и L(X, θ) достигают максимума в одних и тех же точках, поэтому в качестве оценки максимального правдоподобия можно брать и точку максимума функции L(X, θ). Зачастую удобнее максимизировать именно логарифмическую функцию правдоподобия.

Приведем пример построения точечной оценки методом максимального правдоподобия.

Пусть имеется выборка объема n = 200 из нормального распределения Na,σ с известным среднеквадратическим отклонением σ = 3. Требуется методом максимального правдоподобия оценить параметр a. На рис. 2.1 приведен текст программы, реализующей метод максимального правдоподобия для данной задачи в среде Mathcad.

13

Рис. 2.1. Нахождение точечной оценки параметра a для распределения Na,σ методом максимального правдоподобия

2.3Задание к лабораторной работе

Сгенерировать выборку из 100 элементов, имеющих указанное в вашем варианте распределение (см. Приложение А). Считая один из параметров распределения неизвестным, найти его точечную оценку:

а) методом моментов (c помощью указанных в задании моментов); б) методом максимального правдоподобия.

Построить график функции правдоподобия и убедиться, что найденная с помощью метода максимального правдоподобия оценка действительно является точкой максимума функции правдоподобия.

14

Сравнить полученные точечные оценки с истинным значением параметра распределения.

Указания: при реализации метода максимального правдоподобия можно пользоваться встроенными функциями для решения нелинейных уравнений (блок Given/Minerr, Given/Find). При этом начальные значения определять по графику функции правдоподобия или логарифмической функции правдоподобия.

Варианты заданий

1.X - выборка из показательного распределения Eλ, где λ = 2. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядка.

2.X - выборка из биномиального распределения Bpn, где p = 0.6, n = 50. Найти оценку параметра p, считая его неизвестным. Метод мо-

ментов реализовать с помощью момента 1-го порядка.

3.X - выборка из распределения Фишера Fk,m, где k = 2, m = 10. Найти оценку параметра k, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью момента 2-го порядка.

4.X - выборка из распределения Пуассона Πλ, где λ = 3. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядков.

5.X - выборка из биномиального распределения Bpn, где p = 0.7, n = 40. Методом моментов найти оценку параметра n, считая его неизвест-

ным. Реализовать этот метод с помощью моментов 1-го и 2-го порядков. Методом максимального правдоподобия найти оценку параметра p, считая его неизвестным.

6.X - выборка из бета-распределения βm,n, где m = 2, n = 3. Найти оценку параметра m, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядка.

7.X - выборка из геометрического распределения Gp с параметром p = 0.6. Найти оценку параметра p, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью момента 1-го порядка.

8.X - выборка из гамма-распределения 1,λ, где λ = 5. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядков.

9.X - выборка из показательного распределения Eλ, где λ = 4. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализо-

15

вать с помощью моментов 1-го и 2-го порядка.

10.X - выборка из биномиального распределения Bpn, где p = 0.9, n = 30. Найти оценку параметра p, считая его неизвестным. Метод мо-

ментов реализовать с помощью момента 1-го порядка.

11.X - выборка из распределения Фишера Fk,m, где k = 3, m = 5. Найти оценку параметра m, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью момента 1-го порядка.

12.X - выборка из распределения Пуассона Πλ, где λ = 2. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядков.

13.X - выборка из биномиального распределения Bpn, где p = 0.8, n = 50. Методом моментов найти оценку параметра n, считая его неизвест-

ным. Реализовать этот метод с помощью моментов 1-го и 2-го порядков. Методом максимального правдоподобия найти оценку параметра p, считая его неизвестным.

14.X - выборка из распределения χ2k, где k = 3. Найти оценку параметра k, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помо-

щью моментов 1-го и 2-го порядков.

15.X - выборка из геометрического распределения Gp с параметром p = 0.2. Найти оценку параметра p, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью момента 1-го порядка.

16.X - выборка из гамма-распределения 1,λ, где λ = 0.7. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядков.

17.X - выборка из бета-распределения βm,n, где m = 4, n = 5. Найти оценку параметра n, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядка.

18.X - выборка из выборка из показательного распределения Eλ, где

λ= 3. Найти оценку параметра λ, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью моментов 1-го и 2-го порядка.

19.X - выборка из распределения Фишера Fk,m, где k = 4, m = 4. Найти оценку параметра k, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помощью момента 2-го порядка.

20.X - выборка из распределения χ2k, где k = 5. Найти оценку параметра k, считая его неизвестным. Метод моментов реализовать с помо-

щью моментов 1-го и 2-го порядков.

16

Лабораторная работа 3. Интервальное оценивание

3.1Понятие доверительного интервала

Пусть имеется выборка X = (X1, . . . , Xn) из распределения Fθ с неизвестным параметром θ Θ R. Задача интервального оценивания заключается в том, чтобы найти интервал, который накрывает оцениваемый параметр с заданной наперед вероятностью.

Интервал (θ−, θ+) называется доверительным интервалом для параметра θ уровня доверия 1 − ε, если для любого θ Θ

Если в соотношении (3.1) вероятность в точности равна 1 − ε (или стремится к 1 − ε), то интервал называют точным (или асимптотически точным) доверительным интервалом уровня доверия 1 − ε.

3.2Построение точных доверительных интервалов для параметров нормального распределения

Пусть X = (X1, . . . , Xn) - выборка объема n из нормального распределения Na,σ2 . Рассмотрим возможные задачи интервального оценивания:

1.Пусть известно σ2, а a R - неизвестный параметр. Требуется построить точный доверительный интервал для параметра a.

где τ1−ε/2 - квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения (см. Приложение Б, таблица 1).

17

2.Пусть известен параметр a, требуется построить доверительный интервал для σ2.

!

n · s2 n · s2

Pa,σ2 g2 1 < σ2 < g1 1 = 1 − ε, (3.3)

где s21 - выборочная дисперсия, g1 и g2 - квантили распределения "хи-

квадрат" с n степенями свободы (χ2α,n) уровня α = ε/2 и α = 1−ε/2 соответственно (см. Приложение Б, таблица 3).

где s20 - несмещенная выборочная дисперсия.

4. Доверительный интервал для a при неизвестном σ2:

где t1−ε/2,n−1 - квантиль распределения Стьюдента с n − 1 степенью свободы уровня 1 − ε/2 (см. Приложение Б, таблица 2).

Приведем пример построения доверительного интервала.

Пусть имеется выборка объема N из нормального распределения, для которого известен параметр σ2 = 4, а параметр a неизвестен. Требуется построить точный доверительный интервал для параметра a. На рис. 3.1 приведен текст программы, реализующей метод построения доверительного интервала в среде Mathcad.

18

Рис. 3.1. Построение доверительного интервала для параметра a нормального распределения при известном σ.

3.3Задание к лабораторной работе

Даны две выборки одной случайной величины с нормальным распределением Na,σ2 объема n1 и n2 соответственно.

Для вариантов с нечетным номером:

1. Для обеих выборок построить точный доверительный интервал уровня доверия q0 для параметра a, считая:

а) σ неизвестным, б) σ известным и равным σ0.

19

2. В одной системе координат построить графики зависимости длины доверительного интервала от уровня доверия q для всех четырех случаев (объем выборки равен n1, σ неизвестно; объем выборки равен n1, σ известно; объем выборки равен n2, σ неизвестно; объем выборки равен n2, σ известно). При этом q придать минимум 50 разных значений через равные промежутки.

Проанализировать взаимное расположение полученных графиков и объяснить его.

Для вариантов с четным номером:

1.Для обеих выборок построить точный доверительный интервал уровня доверия q0 для параметра σ2, считая:

а) a неизвестным,

б) a известным и равным a0.

2.В одной системе координат построить графики зависимости длины доверительного интервала от уровня доверия q для всех четырех случаев (объем выборки равен n1, a неизвестно; объем выборки равен n1, a известно; объем выборки равен n2, a неизвестно; объем выборки равен n2, a известно). При этом q придать минимум 50 разных значений через равные промежутки.

Проанализировать взаимное расположение полученных графиков и объяснить его.

Указания: Выборки необходимо считать с двух текcтовых файлов - "di-V.txt"и "di-V-1.txt"(V - номер вашего варианта).

Для написания программы можно пользоваться следующими встроенными функциями: функцией length(x) для определения объема выборки, функциями для нахождения значений квантилей распределений - qnorm(p, a, σ) (возвращает значение квантиля нормального распределения N, a, σ2 уровня p), qchisq(p, d) (возвращает значение квантиля распределения "хи-квадрат" c d степенями свободы уровня p), qt(p, d) (возвращает значение квантиля распределения Стьюдента с d степенями свободы уровня p). Остальные статистические функции должны быть запрограммированы.

Варианты заданий

1.σ0 = 2, q0 = 0.9

2.a0 = 0, q0 = 0.8

3.σ0 = 3, q0 = 0.7

20