Геодезические основы карт лекции
.pdf
2.Геодезический способ. Состоит в том, что из астрономических наблюдений находят прямоугольные координаты отдельных пунктов системы. Остальные пункты связывают с ними путем выполнения измерений на земной поверхности.
3.Спутниковый способ. Основан на определении координат точек из обработки наблюдений искусственных спутников Земли.
Различают государственные геодезические сети, сети сгущения на отдельных конкретных участках, съемочные сети для топографических работ, специальные геодезические сети. Государственные геодезические сети делятся на плановые, высотные и гравиметрические.
Плановые геодезические сети создают методами триангуляции, трилатерации, полигонометрии и их сочетаниями.
2.3. Замена эллипсоида шаром. Отображение шара на шар
Во всех случаях, когда точность позволяет, эллипсоид или его часть заменяют поверхностью шара.
При проектировании эллипсоида на шар возникает задача выбора радиуса шара и способа перехода от широт B и долгот L эллипсоида к широтам φ и долготам λ шара. Обычно эллипсоид совмещают с шаром так, чтобы совпадали их центры, оси вращения и плоскости начальных меридианов. В этом случае долготы остаются неизменными и преобразованию подлежат только широты. Значения сферических широт и выбор радиуса шара определяются способом отображения эллипсоида на шар.
1. Сферическое отображение. Сферические и геодезические широты принимаются равными друг другу:
φ = B
При замене всей планеты шаром ее радиус вычисляют как среднее арифметическое из трех значений: радиуса шара, равного среднему из трех полуосей эллипсоида; радиуса шара, площадь поверхности которого равна площади поверхности эллипсоида; радиуса шара, объем которого равен объему эллипсоида.
2. Равноугольное отображение. Углы с эллипсоида переносятся на шар без искажений. Радиус шара приравнивается большой полуоси эллипсоида. Широты вычисляются по формулам:
;
; 
11
3. Равновеликое отображение. Площади объектов на шаре равны соответствующим площадям на эллипсоиде. Сферические широты вычисляются по формулам:
;
; 
Радиус шара вычисляется по формуле:
)
4. Равнопромежуточное отображение. Проектирование может быть выполнено двояко: с сохранением длин меридианов или с сохранением длин параллелей.
Если длины меридианов на шаре остаются равными их значениям S на эллипсоиде, то сферические широты и радиус шара вычисляются по формулам:
φ = S/R;
; 
Если длины параллелей на шаре равняются длинам соответствующих параллелей на эллипсоиде, то радиус шара приравнивается большой полуоси эллипсоида, а сферические координаты вычисляются по формуле:
В некоторых случаях конструирования картографических проекций прибегают к отображению исходного шара на другой промежуточный шар.
Примером может служить способ Гильберта. Весь земной шар при условии равноугольности спроектирован на одно полушарие новой сферы. При этом широты и долготы вычисляются по формулам, где штрихом обозначены координаты точек нового шара:
;
2.4. Координатная система
Под системами отсчета понимают совокупность систем координат и систем измерения времени.
Координаты - это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве относительно принятой системы координат. Система координат устанавливает начальные точки, поверхности или линии
12
отсчета необходимых величин – начало отсчета координат, единицы их исчисления.
Вгеодезии применяются системы географических, геодезических, пространственных прямоугольных, плоских прямоугольных и полярных координат.
Различают общеземную и референцную геодезические системы координат. Общеземная система координат используется для решения и картографирования глобальных задач.
Референцные системы координат устанавливают в отдельных регионах и государствах с помощью референц-эллипсоидов, которые лучше соответствуют им.
На поверхности Земли координатные системы закрепляют пункты геодезических сетей.
ВРоссии с 1946 г. принят эллипсоид Крассовского, начальный пункт – Пулково, в котором превышение геоида над референц-эллипсоидом равно нулю. Была введена система координат 1942 года (СК-42). С первого июля 2002 года в России введена новая система координат 1995 года (СК-95) с целью обеспечения геодезических и картографических работ.
ВРоссии независимо от других стран мира создана общеземная геоцентрическая система координат ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 года), закрепленная пунктами космической геодезии. Она используется для обеспечения навигации космических аппаратов.
2.5. Географические координаты
Географические координаты ввел во II веке до н.э. греческий ученый Гиппарх. Географическими координатами являются угловые величины, называемые широтой и долготой, определяющие положение точки земной поверхности относительно экватора и начального меридиана.
В качестве начального меридиана выбран меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию.
Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, во втором – геодезическими.
Астрономическая широта (φа) – это угол образованный отвесной линией в данной точке и плоскостью, перпендикулярной к оси вращения Земли, а астрономическая долгота (λа)– это двугранный угол между плоскостями астрономических меридианов данной точки и начального меридиана.
13
Геодезическая широта (B) – это угол между нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора, а геодезическая долгота
(L) – это двугранный угол между плоскостями меридианов на поверхности эллипсоида данной точки и начального меридиана.
В настоящее время географические координаты рассматриваются как обобщенное понятие об астрономических и геодезических координатах.
Рис.2. Географические координаты (G – начальный меридиан)
2.6. Переход от реальной (физической) поверхности к поверхности эллипсоида
Астрономические долготы и широты получают из прямых наблюдений небесных светил, а геодезические связаны с размерами и ориентированием конкретного референц-эллипсоида и могут быть только вычислены.
Геодезические координаты относятся к нормали к поверхности эллипсоида, а географические – к отвесной линии.
Угол между отвесной линией и нормалью к поверхности эллипсоида называют уклонением отвесной линии. Из-за несовпадения отвесной линии с нормалью различия в астрономических и геодезических координатах могут колебаться от сотни метров до километра и более. Учет этих различий при расчетах обязателен для всех топографических карт.
Для математической обработки геодезических измерений необходимо перейти с реальной земной поверхности на референц-эллипсоид. При этом необходимо результаты натурных измерений редуцировать на поверхность референц-эллипсоида путем введения соответствующих поправок.
Необходимо выбрать некоторую поверхность относимости. Редуцирование натурных измерений на поверхность относимости приводит к искажению длин линий (Рис.3).
14
Рис.3. Редуцирование линии на поверхность относимости
D – длина линии, непосредственно измеренная между точками 1 и 2, D0 – горизонтальное проложение, S – длина линии D на поверхности эллипсоида, которую нужно определить.
Найдем D0:
D0 = D – (H 2 – H 1)2/(2D),
где Нi – геодезическая высота (расстояние по нормали от поверхности Земли до поверхности эллипсоида).
Но удобнее решить через угол наклона ν.
D0 = Dcosν = D(1-2sin2(ν/2))
D – D 0 = 2Dsin2(ν/2), где 2Dsin2(ν/2) - поправка Находим S:
S = D0 – (H срD0)/R
2.7. Прямоугольные координаты
Астрономические и геодезические координатные системы трудно применять на практике для обоснования инженерных работ. Поэтому в практику геодезических и географических работ была введена система плоских прямоугольных координат.
Плоскими прямоугольными геодезическими координатами называются линейные величины – абсцисса и ордината, - определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений в качестве которых служат две взаимно перпендикулярные линии с началом отсчета в точке их пересечения (Рис.4).
15
Рис.4. Прямоугольная система координат
В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Четверти системы нумеруются по ходу часовой стрелки.
2.8. Полярные сферические координаты
На шаре вместо географических полюса, экватора и географической сетки меридианов и параллелей в ряде случаев удобно использовать сферические полярные координаты.
На сфере выбирается точка, которая принимается за полюс полярной системы координат (условный полюс). Относительно этого полюса строится новая сетка координатных линий.
Теперь положение любой точки на сфере можно определить новыми сферическими координатами: условной широтой φ’ и условной долготой λ’. Вместо условной широты используется также ее дополнение до прямого угла,
которое называется зенитным расстоянием (Z).
Широта и зенитное расстояние всегда дополняют друг друга до прямого угла:
φ + Z = π/2
Каждая условная параллель (альмукантарат) соответствует постоянному значению зенитного расстояния. Каждый условный меридиан (вертикал) исходит из условного полюса под некоторым азимутом (a). Этот азимут можно интерпретировать как условную долготу или как величину, ее определяющую.
В зависимости от широты расположения условного полюса различают несколько систем координат:
-нормальная система координат;
-поперечная система координат;
-косая система координат.
16
Вычисления условной широты и зенитного расстояния текущей точки по ее географическим координатам, когда широта условного полюса φ0, а также азимута текущего вертикала выполняются по формулам:
sinφ’ = sinφ0sinφ + cosφ0cosφcosλ; Z = π/2 – φ’;
tga = cosφsinλ/(cosφ0sinφ – sin φ0cosφcosλ).
При вычислении азимута следует пользоваться следующими правилами:
Знак |
|
Азимут |
|
|
|
|
|
числителя |
|
знаменателя |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
arctg a |
|
|
|
|
+ |
|
- |
π + arctg a |
|
|
|
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
2π + arctg a |
|
|
|
|
2.9. Связь плоской прямоугольной и полярной систем координат
Простота полярной системы координат и возможность ее построения относительно любой точки местности, принимаемой за полюс, обусловили ее широкое применение в топографии. Чтобы связать воедино полярные системы отдельных точек местности, необходимо перейти к определению положения последних в прямоугольной системе координат.
Связь между двумя системами устанавливается решением прямой и обратной геодезических задач.
Прямая геодезическая задача формулируется так: заданы плоские прямоугольные координаты точки А (xA и yA), измерено непосредственно в натуре расстояние S между точками и угол положения α. Необходимо найти координаты точки B.
Находим приращение координат:
xAB = Scosα; yAB = Ssinα.
Получаем координаты точки B:
xB = xA + xAB, yB = yA + yAB
Обратная геодезическая задача формулируется так: даны координаты точек A и B. Следует найти угол положения и расстояние SAB.
;
;
17
2.10. Использование проекции Гаусса-Крюгера в геодезии
Геометрическая интерпретация проекции Гаусса-Крюгера выглядит следующим образом: поверхность земного эллипсоида условно делят меридианами на зоны, соответствующие 6º по долготе. Средний меридиан зоны называется осевым. Затем эллипсоид вписывается в поперечно расположенный цилиндр так, чтобы плоскость его экватора совместилась с осью цилиндра, а один из осевых меридианов оказался касательной к его боковой поверхности. Эту зону, а затем и последующие проектируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра. После этого цилиндр разворачивают в плоскость.
Зоны соприкасаются между собой в точках, расположенных по линии экватора (Рис.5).
Рис.5. Деление поверхности Земли на зоны
Вся поверхность Земли разбивается на 60 зон, считая от начального меридиана (0º). Через каждую зону проходит прямолинейный осевой меридиан зон. Долгота осевого меридиана n-й зоны равна (6n – 3)º.
Нумерация зон идет с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. В пределах каждой зоны плоская координатная система располагается самостоятельно.
Оси x и y размещаются по осевому меридиану зоны и экватору, начало отсчета координат в их пересечении. Для удобства, чтобы избежать отрицательных значений y начало отсчета ординат искусственно сдвигают на запад на 500 км.
Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении y указывается также номер зоны.
В ряде случаев возникает необходимость перевычисления координат пунктов из одной зоны в другую, чтобы получить координаты всех пунктов в
18
системе координат одной зоны. Обычно перевычисление выполняют в ту зону, в которой число пунктов сети больше.
Существует несколько способов преобразования координат из одной зоны в другую:
-перевычисление координат с предварительным переходом к геодезическим координатам;
-перевычисление координат путем редуцирования горизонтальных направлений;
-перевычисление координат пунктов с помощью специальных таблиц.
2.11. Ориентирование линий
Ориентированием линий называется определение их направлений относительно другого направления, принятого за исходное.
В геодезии ориентирование линий осуществляется относительно геодезического и астрономического (истинного) меридианов, магнитного меридиана и осевого меридиана зоны.
Ориентирными углами направлений являются: азимуты
(геодезический, астрономический, магнитный), дирекционный угол и румб. Геодезический азимут Ar – горизонтальный угол в данной точке,
отсчитанный по часовой стрелке, между северным направлением геодезического меридиана и заданным направлением.
Астрономический азимут – двугранный угол, отсчитываемый по направлению часовой стрелки, от плоскости астрономического меридиана точки наблюдения до вертикальной плоскости, проходящей через заданное направление.
Магнитный азимут АМ – двугранный угол между направлением на северный магнитный полюс и направлением на точку наблюдения.
Дирекционный угол α – угол между северным направлением координатной линии, параллельной осевому меридиану зоны, и направлением на точку наблюдения.
Азимуты и дирекционный угол отсчитываются по часовой стрелке от 0
до 360º.
Румб r – угол, отсчитываемый от ближайшего конца линии, параллельной осевому меридиану зоны и проходящей через точку стояния.
Величина румба может быть в пределах от 0 до 90º. Румб должен быть обозначен по четверти круга, к которому он принадлежит: СЗ, ЮЗ, СВ или ЮВ (Рис.6).
19
Рис.6. Отсчет румбов по четвертям круга
Азимуты и дирекционный угол имеют прямое и обратное значение. Прямой и обратный геодезические азимуты различаются между собой на
180º и на величину γ, называемую сближением меридианов.
Между азимутом и дирекционным углом существует следующая зависимость:
АИ = α + γ Так как географический и магнитный полюса не совпадают, между
геодезическим и магнитным меридианами образуется угол δ, называемый
магнитным склонением.
Аr = AM + δ
20