Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функ. анализ (задачник)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

433.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

10.	Доказать сепарабельность пространства	`p	(см. лаб. р. № 8,
	задача 2a).	{k}
	задача 2a).
11.	Доказать несепарабельность пространства	`∞	(см. лаб. р. № 8,
	задача 2e).

10. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определения непрерывного оператора, сжимающего оператора, неподвижной точки оператора.

2.Сформулировать принцип сжимающих отображений и его обобщение.

3.Какое уравнение называется интегральным уравнением Вольтерра? Фредгольма?

ЗАДАЧИ

1. Являются ли непрерывными операторы:

t
a) (Ax)(t) = R0	x2(s) ds, A : C[0, 1] → C[0, 1] ;

b)(Ax)(t) = x0(t), A : C(1)[0, 2] → C[0, 2] ;

c)(Ax)(t) = x0(t), A : C(1)[0, 2] → C[0, 2],

причём расстояние в C(1)[0, 2] определено так же, как в C[0, 2].

Проверьте, что функция

f(x) = √

, определённая на [0, +∞),

1 + x2

удовлетворяет условию

|f(x) − f(y)| < |x − y| при x 6= y, однако

уравнение x = f(x) не имеет решений.

+ 2

Покажите, что отображение

f(x) =

является сжимающим

на отрезке [1, 2]. Вычислите несколько итераций по формуле x0 = 1,

xk+1 = f(xk), k = 0, 1, . . . , и сравните их с табличным значением

√

(решение уравнения

x = f(x), лежащее на отрезке [1, 2] ).

Пусть

f(x) =

+ x − arctg x, x R1. Доказать, что для любых x,

y R1

найдется постоянная

α < 1 такая, что

| f(x) − f(y) |6 α | x − y |,

но f не имеет неподвижных точек. Почему это не противоречит принципу сжимающих отображений?

5.При каких λ и β отображение (Ax)(t) = λ · x(tβ) является сжимающим в C[0, 1] ? В L2(0, 1) ?

		∞
6. Доказать, что если	sup i=1 \|aij\| < 1,			то бесконечная система линей-
	j>1
ных алгебраических уравненийP
	∞
	Xj
xi =		aijxj + bi		(i = 1, 2, . . .),
	=1
имеет единственное решение x =1			(x1, x2, . . .) `1 для любой после-
довательности b = (b1, b2, . . .) ` .
		∞
7. Доказать, что если	sup P \|aij\| < 1,			то утверждение задачи 6 верно

i>1 j=1

в пространстве `∞.

8.Проверить, что интегральное уравнение Вольтерра

x(t) = R0

K(t, s)x(s) ds,

где

e−1+1/t2 , если

0 6 s 6 t

e1−1/t2 ,

K(t, s) = (

если

e1−1/t2

имеет бесконечно много решений x(t) = ct . Почему это не противоречит теореме о существовании и единственности решения уравнения Вольтерра?

9. При каких λ применим принцип сжимающих отображений в пространствах L2(a, b) и C[a, b] к уравнению Фредгольма 2-го рода

x(t) = λ K(t, s)x(s) ds + y(t) ?

Найти точное решение уравнения. Для нахождения приближенного решения составить программу. В программе предусмотреть:

a) табулирование точного решения с шагом h = b2−na ;

b)вычисление номера L итерации, обеспечивающей точность 0, 01 в метрике C[a, b], когда за первое приближение берется x1(t) ≡ y(t). Заметим, что L определяется из неравенства

θL−1

1 − θ · ρ(x1, x2) < 0, 01 ,

где θ коэффициент сжатия;

c) сравнение точного решения с приближенным, т.е. вычисление

величины

max

x(t )

x(t

)

|, где

x(t )

значения

= 06k62n |

−

точного решения,

(tk) значения приближенного решения.

Для вычисления

(tk)

разбиваем промежуток [a, b]

на

2n частей

с помощью точек

tk = a + kh . Тогда

x(tk) = λ Za

K(tk, s)x(s)ds + y(tk),

k = 0, 1, . . . , 2n.

С помощью формулы Симпсона заменим интегралы на приближенные значения. Получим:

λh

x(tk) = 3 K(tk, s0)x(s0) + K(tk, s2n)x(s2n)+

+4 m=1 K(tk, s2m−1)x(s2m−1) + 2 m=1 K(tk, s2m)x(s2m)#		+ y(tk) ,
n	n−1
X	X

k = 0, 1, . . . , 2n. Полученная система линейных алгебраических уравнений решается методом итераций.

Задания приведены в таблице № 2. В отчете показать совокупность значений λ, допускающих применение принципа сжатых отображений в пространствах L2[a, b], C[a, b], точное решение уравнения, значения чисел L и R, а также привести программу и заполненную таблицу № 1.

Таблица №1.

		k	0	1	2	. . .	2n
x(tk)
		(tk)
	x	(tk)

Таблица №2.

№№	K(t, s)		y(t)	a	b	λ	n
1.	t2s	cos 3t		0	1	1	8
2.	t2s	cos 3t		0	1	1	10
3.	ts		et	-1	1	0,5	10
4.	ts		et	0,5	1,5	0,5	10
5.	t2s2	sin t		0,3	1,2	0,6	9

			t
6.	et−s		t	0,1	0,9	0,5	8
6.	et−s	1		0,1	0,9	0,5	8
7.	et−s		t	0,1	0,8	0,5	7
8.	cos π(t − s)	1		0	1	0,5	10
9.	cos t sin s	1		0	2	0,25	10
10.	sin t cos s	1		-0,5	0,5	0,25	5
11.	e2t cos s	sin t		0	0,5	0,6	5
12.	e2t sin s	cos t		0	0,5	0,4	10
13.	et cos s	2 sin t		0	0,9	0,5	8
14.	et sin s	2 cos t		0	0,8	0,5	8
15.	t sin s		et	0,2	0,8	0,4	6
16.	t cos s		e−t	0,1	0,9	0,3	8
17.	t2es		t	-2	-1	2	6

11. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определения линейного пространства, нормы, нормированного пространства, банахова пространства.

2.Дать определение эквивалентных норм.

3.Какая система элементов линейного пространства называется линейно независимой? Дать определение размерности линейного пространства. Привести примеры.

ЗАДАЧИ

1.Доказать, что аксиома треугольника в определении нормы эквивалентна выпуклости единичного шара.

2.Можно ли в пространстве s ввести норму, определяющую известную метрику?

t [a,b]

3.	Доказать, что нормированное пространство X является банаховым
	∞					∞
	∞					kP
	пространством тогда и только тогда, когда всякий ряд					xk , для
	kP					=1
	kP		p	q
	которого	kxkk < ∞, сходится в X.
	=1
4.	Доказать, что		`	`	при p < q.
5.	Доказать, что		Lp(a, b) Lq(a, b) при p < q.
6.	Можно ли в	C(1)[a, b]			ввести нормы по формулам:

a)kxk = max |x0(t)| ;

b)kxk = |x(b) − x(a)| + max |x0(t)| ;

c)kxk = |x(a)| + max |x0(t)| ;

a6t6b

d) kxk = R |x(t)| dt + max |x0(t)| .

aa6t6b

Доказать, что нормы

и k

k = a6t6b |

x(t)

max

не эквивалентны на

C[a, b].

Доказать, что

C[a, b]

с нормой

kxk =

| x(t) |

не полно.

Показать, что нормы

max (kx1k, kx2k) ,

kx1k + kx2k ,

kx1k2 + kx2k2

эквивалентны на E × E,

где

k . k норма в

10.Доказать, что конечномерное подпространство нормированного пространства всегда замкнуто.

11.Если L подпространство нормированного пространства E, то для

любого α < 1 существует y E, kyk = 1, такой, что ρ(y, L) > α. Доказать.

12.В бесконечномерном нормированном пространстве существует бесконечное ограниченное множество, элементы которого удалены друг от друга на расстояние 0,5 . Доказать.

Указание. Использовать задачу 11.

13. Показать на примере

E = C[−1, 1],

L = x(t) C[−1, 1] :

Z x(t) dt = Z x(t) dt ,

−1

что постоянную

в задаче 11 нельзя заменить на 1.

14. В пространстве

с нормой

kxk = max{| ξ1 |, | ξ2 |}

найти под-

пространство L и точку

x0 такие, что ближайший элемент в L до

не единственный.

{

} 1/2

15. Доказать, что множество

не является

∞

замкнутым множеством в `2, если

kxk2 = k=1 | ξk |

16. Доказать, что множество

M = { x C(1)[−1, 1] :

kxk1 6 1 } не

является замкнутым в

[−1

1] c

k =

max

x(t)

| ,

где

1 |

= max

x(t)

+ max

x0(t)

| .

1 |

xn(t) = 3 · r

Указание. Рассмотреть

t2 + n2

17.Доказать, что замкнутый единичный шар пространства `1 замкнутое множество пространства `2.

18.Является ли пространство c всех сходящихся к конечному пределу числовых последовательностей банаховым пространством, если

kxk = sup | ξk | ?

k>1

12. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определение гильбертова пространства.

2.Дать определение ортогонального дополнения множества.

3.Сформулировать теорему о проекциях.

4.Какая система элементов называется ортогональной, ортонормированной, полной, замкнутой?

ЗАДАЧИ

	∞
1.	Доказать, что формула (x, y) =	αk ξk	η	k ,	0 < αk 6 1, опреде-
	=1
	ляет скалярное произведение в `2.kP
2.	Доказать равенство параллелограмма:
	kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2,				x, y H.

3.Доказать, что пространства `p и Lp(a, b) являются гильбертовыми тогда и только тогда, когда p = 2.

4.Доказать, что пространство C[0, π] не является гильбертовым.

5.Доказать поляризационное тождество:

4(x, y) = kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2.

6.Доказать, что для любого M H множество M является замкнутым подпространством.

7.	Доказать, что если M, N замкнутые подпространства в H и
	M N, то	M + N также замкнутое подпространство.
8.	Доказать, что
	M =	x `2 : x = ξ1 ,	ξ1	, ξ3 ,	ξ3	, ξ5 ,	ξ5	, . . . ,
			1		3		5
	N =	n x `2 : x = (ξ1, 0, ξ3, 0, ξ5, 0, . . .)o

являются замкнутыми подпространствами, но M + N не является замкнутым подпространством в `2.

	Указание. Проверить, что						M + N	= `2,		M + N 6= `2.
9.	Пусть {ek}		ортонормированная система в H. Положим
	1			1
	xk = cos		e2k +	sin		e2k+1 . Доказать, что множество L +
		k			k
	M не замкнуто, где L замкнутое подпространство, порожденное
	системой {e2k}, а			M замкнутое подпространство, порожденное
	системой {xk}.
10.	Для функции et			найти многочлены					pn(t)	степени n = 0, 1, 2
	такие, что		ket − pn(t)k минимальна в						L2(−1, 1).

11.	Для функции			t3	найти многочлены				pn(t)	степени n = 0, 1, 2
	такие, что		kt3 − pn(t)k минимальна в						L2(−1, 1).
12.	Доказать, что результатом процесса ортогонализации системы эле-
	ментов {	tn	∞	в	пространстве		L2(	−	1, 1)	является система мно-
	ментов {		}n=0	в		dn		−
	гочленов Лежандра pn(t) = cn						[(t2 − 1)n]. Чему равны коэффици-
	гочленов Лежандра pn(t) = cn					dtn	[(t2 − 1)n]. Чему равны коэффици-
	енты cn?
13.	Пусть

k + 1

xn(t) = (−1)k, t

, n = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . . , 2n − 1,

в концах этих интервалов

xn(t) = 0. Показать, что эта система (си-

стема Радемахера) ортонормальна в L2(0, 1), но не является базисом.

Указание. Проверить, что функция

x(t) = t(t − 1) +

ортого-

нальна всем

xn(t)

L2(0, 1).

∞

14. Проверить, что система

(

sin nt)

ортонормальный базис

n=1

и не является базисом.

в L2(0, π), но она не нормирована в L2(−π, π)

15. Доказать , что система {xn(t) = sin µnt},

где

µn положительные

корни уравнения

tg µ = µ,

ортогональна, не нормирована и не

образует базис в

L2(0, 1).

16. Найти

если:

a) H = `2,

M = {(1, 1, 0, 0, . . .)};

H = L2(−π, π),

M = {sin nt}n∞=1 ;

H = L2(−π, π),

M = {cos nt}n∞=0 .

17. Пусть

M = n x = (ξ1, ξ2, . . .) `2 :

∞

= 20 o. Доказать, что M

i=1 ξi

линейное многообразие, всюду плотное в

, то есть

= θ .

{ }

13. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определения однородного, аддитивного, линейного функционалов.

2.Дать определения ограниченного, непрерывного функционалов. Какова связь между непрерывностью и ограниченностью линейного функционала?

3.Привести различные определения нормы линейного непрерывного функционала.

ЗАДАЧИ

1.Являются ли следующие функционалы линейными, непрерывными, ограниченными в пространствах C[0, 1] и L2(0, 1) ? Найти нормы функционалов, если они линейны и непрерывны.

	1
a) F (x) = R01 x(t) · sin t dt ;							dt ;
b) F (x) =	0	x(t) · sign t − 2					dt ;
	R	1
		1
c) F (x) = x				;
c) F (x) = x			2	;
	1
d) F (x) = R x(t2)√						dt ;
d) F (x) = R x(t2)√					t	dt ;
	0
	1
e) F (x) = R01 x2(t) dt ;
f) F (x) = R0		\| x(t) \| dt ;

g)	F (x) = max x(t) ;
	06t61
h)	1/2	1	x(t) dt .
	F (x) = R	x(t) dt − R

01/2

2.Найти нормы функционалов, если они линейны и непрерывны:

a) F (x) = ξ1 ,			F : `2 → C ;
∞	ξk
b) F (x) =		,	F : `3 → C ;
b) F (x) =	2k	,	F : `3 → C ;
kP
=1
∞	ξk
c) F (x) =		,	F : `1 → C ;
c) F (x) =	k	,	F : `1 → C ;
kP
=1
∞	ξk
d) F (x) =		,	F : `2 → C ;
d) F (x) =	k	,	F : `2 → C ;
kP
=1

∞	\| ξk \|3,			F : `3 → C ;
e) F (x) =	\| ξk \|3,			F : `3 → C ;
kP
=1
∞			ξk
f) F (x) =	(−1)k	·		, F : `3 → C .
f) F (x) =	(−1)k	·	k	, F : `3 → C .
kP
=1

3. Вычислить норму функционала

F (x) = Za	b
F (x) = Za	p(t)x(t) dt ,	F : C[a, b] → R1,

где p(t) C[a, b] фиксированная функция.

Указание. Воспользоваться тем, что непрерывная функция есть равномерный предел кусочно-постоянных функций.

4.Доказать, что F (x) = x0(0)+x(0) является линейным непрерывным функционалом в пространстве C(1)[0, 2] , если

kxk = max | x(t) | + max | x0(t) | , но не является непрерывным,

06t62

если kxk = max | x(t) |.

06t62

14. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определение линейного оператора.

2.Дать определения непрерывного и ограниченного оператора. Как связаны понятия непрерывности и ограниченности для линейного оператора?

3.Привести различные определения нормы линейного непрерывного оператора.

ЗАДАЧИ

1.Найти общий вид линейного оператора A : Rn → Rn. Показать, что он ограничен.

2.Проверить линейность, ограниченность, непрерывность следующих операторов. Найти их нормы, если они линейны и ограничены.

t
a) (Ax)(t) = R0	x(ξ) dξ , A : C[0, 1] → C[0, 1] ;

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.20151.04 Mб98ФП учебник.docx
#
17.09.201942.88 Кб6фп.docx
#
23.11.2018200.19 Кб6ФПЕ (Садыкова А[1].Г.).doc
#
17.05.201564.57 Кб60фразеологизмы1.docx
#
18.03.20161.54 Mб34Фролов С.С. - Социология. Учебник. Для высших учебных заведений. М., Наука, 1994 - 256 с._ (2).doc
#
17.05.2015433.1 Кб58Функ. анализ (задачник).pdf
#
25.11.201842.36 Кб3функция слуха.docx
#
17.09.2019248.32 Кб8Фя 22-28 =).doc
#
25.04.201993.3 Кб7характеристики видов служебок.docx
#
30.11.2018198.14 Кб7Характеристики урока.doc
#
25.11.201914.61 Mб780химия мономеров.doc