Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функ. анализ (задачник)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

433.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

3. Вычислить полную вариацию функции

Φ(x) =	1 x,		при	0 < x < 1 ,
	−	0,	при	x = 0 .


		5,	при	x = 1

на отрезке [0, 1].

4.a) Чему равна полная вариация функции

Φ(x) =		−10,	при	x = 1 ,
	x	1,		x < 1 ,

		2	при
			при
		x ,	при	x > 1

на отрезке [0, 2] ?

b)Если изменить значение Φ(x) в точке разрыва x = 1, то вариация функции изменится. Как изменить значение этой функции в точке x = 1, чтобы вариация стала наименьшей?

5.Доказать что функция

Φ(x) =

0,2

при

x = 0,

cos

при

x 6= 0

[0, 1];

имеет

ограниченную вариацию на отрезке

Φ(x) =

0,2

при,

x = 0,

sin

при

x = 0

имеет неограниченную вариацию на отрезке

6. Вычислить интеграл

(−

x dΦ(x),

Φ(x) =

при

1, 2),

где

при

x =

−

−1,

при

x [2, 3].

7. Пусть Φ(x) C(1)[a, b]. Доказать, что

f(x) dΦ(x) = f(x)Φ0(x) dx.

8. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса

2			−0,			при	x	[1/2 , 2/3),
x2 dΦ(x),					1,	при	x		[0, 1/2),
x2 dΦ(x),		Φ(x) =
					2,		x = 2/3,
Z					2,		x = 2/3,
Z						при
0	где
	где					при
				−	2,	при	x		(2/3, 2].
				−

9.Докажите, что если Φ функция ограниченной вариации, а функция f интегрируема по Φ, то

	b	6	sup \|f(x)\| · Varab	(Φ).
	f(x) dΦ(x)	6	sup \|f(x)\| · Varab	(Φ).
Z

			x [a,b]
a

10. Доказать, что если функция f непрерывна, то интеграл Римана-

Стилтьеса f(x) dΦ(x) не зависит от значений, принимаемых функ-

цией Φ в точках разрыва, лежащих внутри (a, b).

11.Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция Φ(x)

имеет на [a, b] всюду, кроме конечного числа точек c1 , . . . , ck , суммируемую по Риману производную Φ0(x). Доказать, что при этих

условиях существует интеграл Римана-Стилтьеса	b
	f dΦ, и что он
выражается формулой	a
	R

f dΦ = f(x)Φ0(x) dx + f(a) · [Φ(a + 0) − Φ(a)]+

+f(b) · [Φ(b) − Φ(b − 0)] + f(cm) · [Φ(cm + 0) − Φ(cm − 0)] .

m=1

12. Вычислить интегралы

	2					2		2
	I1 = Z	x dΦ(x) , I2 = 2 Z x2 dΦ(x) , I3 = Z (x3 + 1) dΦ(x) ,
	−2					−2		−2
	Φ(x) =				2,	при	x	(−1, 0),
где			x + 2,			при	x	[ 2, −1],
где						при		−

				2	+ 3,	при	x [0, 2].
			x		+ 3,	при	x [0, 2].

6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определение топологии и топологического пространства.

2.Какое отображение называют непрерывным?

3.Какое множество называют замкнутым?

4.Дать определение линейного топологического пространства.

5.Когда говорят, что одна топология сильнее другой?

6.Дать определение дискретной и антидискретной топологии.

	ЗАДАЧИ
1. Пусть на множестве X заданы две топологии τ1 и		τ2 . Пусть
U1(x) τ1 U2(x) τ2 , такая, что U2(x) U1(x).		Какая из
топологий сильнее?

2. Докажите, что для всякого отображения f из множества X в топологическое пространство (Y, τY ) существует слабейшая из топологий

в X, при которой f непрерывно.

3.Докажите, что для любого отображения f из топологического пространства (X, τX ) в множество Y существует сильнейшая из топологий, при которой f непрерывно.

4. Привести пример двух топологий τ1					и τ2 на множестве X та-
ких, что τ1	слабее	τ2	, τ1	6= τ2 ,	и при этом топологические
пространства	(X, τ1)	и	(X, τ2)	гомеоморфны.

5. Пусть f : X −→ (Y, τY ), X = R, Y = R; τY естественная топология. Дать описание слабейшей из топологий на X, при которой

fнепрерывна, если:

a)f(x) = x2;

b)f(x) = sign x;

c) f(x) = (	0,	если	x / Q .
	1,	если	x Q,

6. Какую сходимость определяет в пространстве C[a, b] задание топологии с помощью фундаментальной системы окрестностей вида:

a)	Uε(x0) = n x C[a, b] : \|x(t) − x0(t)\| < ε t [a, b] o ,
	где x0(t) C[a, b] фиксированная функция;
b)	Uε,F (x0) = n x C[a, b] : \|x(t) − x0(t)\| < ε, t F o,
	где x0(t) C[a, b] фиксированная функция, а F фикси-
	рованное конечное множество из [a, b].

7.Какая из топологий, определенных в предыдущем номере, сильнее?

8.На пространстве функций, определенных на [a, b] ввести фундаментальные системы окрестностей, определяющие сходимости

a)по мере;

b)почти всюду.

9.Построить слабейшую из топологий на R, содержащих все множества B вида

B = (a, b) : a, b R ;

B =

[a, b] : a, b R ;

B =

(a, b] : a, b

;

[a, b) : a, b

;

(a, + ) : a, b

R ;

;

B =

[a, +∞) : a, b

( , a) : a, b

;

B =

(a, b) : a, b R, a

0 ;

−∞

[n, m] : n, m Z .

, b >

10.Найти пересечения топологий, построенных в задачах 9c и 9d.

11.Найти пересечения топологий, построенных в задачах 9e и 9g.

12.Сравнить топологии, построенные в задачах 9a и 9c.

13.	Пусть {τn}n∞=1 последовательность топологий на X, причем τ1
		∞
		nS
	τ2 . . . . Будет ли топологией	=1 τn на X ?
		1		∞
14.	Сходится ли последовательность			n=1	в топологиях, построен-
14.	Сходится ли последовательность		n	n=1	в топологиях, построен-
	ных в задачах 9a, 9b, 9c, 9d, 9h ?
				1)n	∞
15.	Сходится ли последовательность			(−	n=1	в топологиях, по-
15.	Сходится ли последовательность			n	n=1	в топологиях, по-

строенных в задачах 9a, 9b, 9c, 9d, 9h, 9i ?

16.Сходится ли последовательность {(−1)n}∞n=1 в топологиях, построенных в задачах 9a, 9d, 9e, 9h, 9i ?

17. Сходится ли последовательность {n · (−1)n}∞n=1 в топологиях, построенных в задачах 9e, 9f, 9g, 9h ?

18.Описать сходящиеся последовательности топологического пространства (X, τ), если

a)τ слабейшая топология;

b)τ сильнейшая топология.

19.Описать сходящиеся последовательности топологического пространства R c каждой из топологий, построенных в задачах 9a, 9c, 9e, 9f.

7. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определение метрического пространства.

2. Как определяется метрика в пространствах Rn, C[a, b], C(m)[a, b],

`p, Lp(a, b), L∞(a, b), `∞ = m, s ?

3.Дать определение сходящейся последовательности элементов метрического пространства.

4.Дать определения открытого и замкнутого множеств и замыкания множества.

ЗАДАЧИ

1. Какие из нижеприведенных формул определяют метрику в X :

x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

X = C[0; 2]

;

(

t 1 |

6 6

ρ(x, y) = cos2(x − y),

X = R1;

ρ(x, y) = | arctg x − arctg y|,

X = R1;

ρ(x, y) =

sin(x

X =

;

−

−2 2 ;

ρ(x, y) =

|ξk − ηk|,

X = Rn,

где x = (ξ1, . . . , ξn) Rn,

y = (η1, . . . , ηn) Rn;

ρ(x, y) = k=1 |ξk − ηk|2,

X = Rn;

ρ(x, y) =

|ξk − ηk|,

X = `∞;

X =

;

ρ(x, y) = arctg |x − y|,

∞

1/p

ρ(x, y) =

k=1 |ξk − ηk|p

X = `p,

0 < p < 1;

1/p

ρ(x, y) =

ab |x(t) − y(t)|p dt

, X = Lp(a, b), 0 < p < 1;

x0(t)

−

y0(t)

X = C

(1)

[0, 2]

ρ(x, y) = max

t 2 |

2.Выяснить, сходится ли в метрическом пространстве X последовательность {xn}∞n=1 . Найти предел, если сходится.

X = C[0, 1],

xn(t) = tn ;

X = C[0, 1],

xn(t) = tn − tn+1 ;

X = `2,

x(n)

, 0

, 0, . . . ,

0, 1, 0, 0, . . . ;

(n)

n 2

}

= 1, 0

−

, 0, . . . ;

X = ,

, . . . , 0,

X = L2(0, 1),

n 2

xn(t)|={ztn }

t2n ;

−

X = L2(0, 1)

x (t) =

если

1 − nt,

если

, 1

;

g) X = C[0, 2],	xn(t) = e−t/n ;
		tn+1		tn+2
h) X = C(1)[0, 1],	xn(t) =		−		;
		n + 1		n + 2
i) X = L1(0, 3),	xn(t) = ne−nt ;

j)X = s, x(n) = 1, 2, 3, . . . , n, 0, 0, . . . .

3.В каком из пространств `p, `∞, s и при каком фиксированном α сходится последовательность

x(n) =	nα ,	nα , . . . ,		nα , 0, 0, . . .		?
	1	1		1
	\|		{z		}
			n

4.Доказать, что для любых четырех точек x, y, z, t метрического пространства справедливо „неравенство четыр¨ехугольника“

	\|ρ(x, z) − ρ(y, t)\| 6 ρ(x, y) + ρ(z, t) .
5.	Доказать, что ρ(x, A) = 0 тогда и только тогда, когда x		, где
		A
	A подмножество метрического пространства X.
6.	Доказать, непрерывность функции f(x) = ρ(x, A).

7.Доказать, что множество M = множество N = { x : ρ(x, A) 6

Указание. Доказать, что M =

{ x	: ρ(x, A) < ε } открыто, а
ε }	замкнуто.

B(y, ε). Использовать задачу 6.

y A

8.Приведите пример последовательности дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, которая сходится в пространстве C[a, b], но не сходится в пространстве C(2)[a, b].

8.ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

ПОПОЛНЕНИЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определения фундаментальной последовательности и полного метрического пространства.

2.Привести примеры полных и неполных метрических пространств.

3.Сформулировать принцип вложенных шаров.

4.Дать определение пополнения метрического пространства.

ЗАДАЧИ

1. На множестве

введены метрики

ρ(x, y) =| x − y | ,

ρ1(x, y) = | arctg x − arctg y|.

Показать, что в пространствах

(R1, ρ)

и (R1, ρ1)

сходящиеся по-

следовательности одни и те же, а фундаментальные различны.

2. Доказать полноту следующих метрических пространств:

∞

`{k} = x = (ξ1, ξ2, . . .) : ξk C,

k=1 k|ξk|p < ∞ ,

∞

1/p

ρ(x, y) =

k=1 k|ξk − ηk |p

1 6 p < ∞ ;

C(m) a, b

ρ(x, y) =

max

x(k)

y(k)

[

] ,

[a,b]

( ) −

( ) | ;

=0 t

C∞[a, b] ,

∞

max

x(k)(t)

−

y(k)

) |

[a,b] |

(

ρ(x, y) =

2k ·

t [a,b]

x(k)(t)

−

y(k)

(t)

k=0

1 + max

;

C(R1) ,

∞

x(t)

−

y(t)

max

ρ(x, y) =

2k ·

|t|6k |

x(t)

−

y(t)

k=1

1 + max

;

e) ∞

1 2

k C

n>1

k=1

∞ ,

x = (ξ , ξ , . . .)

sup

( ) = n>1 k=1

k −

;

ρ x, y

sup

(ξ

η )

x = (ξ1, ξ2, . . .)

: ξk

ξk

→

при

k −

| ;

→ ∞o

x, y

) =

max

(

k>1

при | t |→ ∞o ,

g) X = nx C(R1)

x(t) → 0

x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

| ;

(

t R

= {

(0) = 0},

x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

| .

(

0 t

1 |

6 6

3.	Доказать полноту пространства				N с метрикой
	ρ(n, m) =		0,		1		если	n = m,
			1 +				, если	n = m.

				n + m				6
						1

4.	Доказать, что шары	B	n, 1 +				пространства N (см. зада-
4.	Доказать, что шары	B	n, 1 +			2n	пространства N (см. зада-
						2n

чу 3) замкнуты и вложены, но не имеют общей точки. Почему это не противоречит принципу вложенных шаров?

5.Привести пример метрического пространства, в котором существует последовательность замкнутых вложенных шаров, не имеющих общей точки, радиусы которых стремятся к нулю.

6.Доказать, что следующие метрические пространства не являются полными, построить их пополнения.

a) C[0, 1],

ρ(x, y) = R0

| x(t) − y(t) | dt ;

при k > k0(x)o,

b) `0∞ = nx = (ξ1, ξ2, . . .) :

ξk C, ξk = 0

x, y

) =

max

k −

k | ;

(

k>1

| t |> t0(x)o,

c) C0(R1) = nx(t) C(R1)

: x(t) ≡ 0 при

x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

| ;

(

t R

d)R1, ρ(x, y) = | arctg x − arctg y|;

e)Z, ρ(p, q) =| eip − eiq | ;

f)X = {x C∞[0, 1] : x(k)(0) = x(k)(1) = 0 k > 0};

x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

| ;

(

t 1

ρ x, y

) =

max

x(t)

−

y(t)

| .

[0 1],

(

06t61

(t) =

если

0 6 t 6 n2 ,

если

t >

Указание. Рассмотреть

√t

См. также задачу 2h.

9. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определение счетного множества, множества мощности континуума. Приведите примеры.

2.Определите плотные, всюду плотные, нигде не плотные множества.

3.Дать определение сепарабельного метрического пространства. Привести примеры.

ЗАДАЧИ

1.Доказать счетность множества финитных числовых последовательностей с рациональными членами.

2.Доказать счетность множества многочленов с рациональными коэффициентами.

3.	Доказать, что множество A = { z = ein : n Z } плотно в множе-
	стве E = { z C : \|z\| = 1 }.
4.	Доказать, что множество

B = { x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, 0, 0, . . .) : ξk C }

нигде не плотно в `p (n фиксировано).

5.Доказать, что пространства Rn, C[a, b], `p, s, C(m)[a, b], Lp(a, b) сепарабельны (1 6 p < ∞).

6.Доказать, что `∞ не является сепарабельным.

7. Доказать, что пространство M[a, b] ограниченных на [a, b] функ-

ций с метрикой ρ(x, y) = sup |x(t) − y(t)| не является сепарабель-

a6t6b

ным.

8.Доказать, что совокупность подпоследовательностей последовательности натуральных чисел несчетно.

9.Доказать, что мощность сепарабельного пространства не превосходит мощности континуума.

Указание. Использовать задачу 8.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.20151.04 Mб98ФП учебник.docx
#
17.09.201942.88 Кб6фп.docx
#
23.11.2018200.19 Кб6ФПЕ (Садыкова А[1].Г.).doc
#
17.05.201564.57 Кб60фразеологизмы1.docx
#
18.03.20161.54 Mб34Фролов С.С. - Социология. Учебник. Для высших учебных заведений. М., Наука, 1994 - 256 с._ (2).doc
#
17.05.2015433.1 Кб58Функ. анализ (задачник).pdf
#
25.11.201842.36 Кб3функция слуха.docx
#
17.09.2019248.32 Кб8Фя 22-28 =).doc
#
25.04.201993.3 Кб7характеристики видов служебок.docx
#
30.11.2018198.14 Кб7Характеристики урока.doc
#
25.11.201914.61 Mб779химия мономеров.doc