Описание установки и метода измерений

Один из наиболее удобных методов определения модуля сдвига – из деформации кручения. При кручении, как и при сдвиге, отдельные слои тела остаются параллельными, расстояние между ними не изменяется, но они поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Деформация кручения представляет собой, таким образом, неоднородный сдвиг.

Установка для определения модуля сдвига из деформации кручения (рисунок 4а) содержит стержень 1 из исследуемого материала, верхний конец которого жестко закреплен. К нижнему концу стержня неподвижно относительно него прикреплен диск 2. По окружности диска закреплены две нити, которые перекинуты через блоки 3 и несут одинаковые грузы 4, массу которых можно менять. Силы натяжения нитей, равные по величине силе тяжести, действующей на грузы, создают в нижнем сечении стержня момент сил

M = 2mgR, (1)

где m – масса каждого из грузов, R – радиус диска 2.

Под действием этого момента сил нижнее сечение стержня поворачивается относительно верхнего на некоторый угол φ. Измерение угла закручивания производится следующим образом. На рычаге 5, расположенном ниже диска 2 (рисунок 4б), имеется цилиндрический выступ 6. На выступ надето «ушко» стержня 7, соединенного с передающим механизмом измерителя малых перемещений ИП-1 8. При деформации стержня «ушко» смещается на некоторое расстояние x и стрелка индикатора прибора ИП-1 отклоняется. Как видно из рисунка 4б, угол закручивания стержня находится как

(2)

где l - расстояние от оси стержня 1 до «ушка».

Так как стержень находится в равновесии, момент сил (1), приложенный к нижнему концу стержня, численно равен моменту упругих сил, возникающих в стержне при деформации кручения. Выразим этот момент силы через параметры деформируемого стержня (рисунок 5).

В нижнем сечении стержня создаётся тангенциальное напряжение τ, величина которого в любом элементарном кольцевом сечении стержня

(3)

где dF – элемент силы, действующей на кольцевой элемент сечения dS исследуемого стержня (на рисунке заштрихован).

Площадь кольца

dS = 2πzdz, (4)

где z – радиус кольца (изменяется от 0 до r), dz – ширина кольца.

Тогда элементарная сила, действующая на расстоянии z от оси стержня,

(5)

Результирующий момент сил, действующих на сечение стержня, равен

(6)

Для малых деформаций справедлив закон Гука, в соответствии с которым тангенциальное напряжение τ равно

τ = Gγ, (7)

где G – модуль сдвига, γ - угол сдвига.

В данном случае величина угла сдвига γ линейно возрастает от нуля на оси стержня до максимального значения на поверхности стержня. Его можно выразить как

(8)