Метод трапеций
.docМетод трапеций
Подынтегральную функцию заменим на участке [хj, хj + h] полиномом первой степени P1(х). Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 5.6). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции
(5.20)
Формула интегрирования для метода трапеций имеет вид:
(5.20а)
Рис. 5.6. Метод трапеций
Априорную погрешность Ri метода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки хj
(5.21)
и интеграл
(5.22)
С помощью разложения (5.21) вычислим подынтегральную функцию в точке xj+h
откуда
(5.23)
Подставляя произведение (5.23) в выражение (5.22), получим
Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет
(5.24)
Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [x0, хn] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (8.24)
(5.25)
Отсюда мы видим, что метод трапеций имеет второй порядок интегрирования. Это ожидаемый результат.
С другой стороны, метод средних прямоугольников также имеет второй порядок интегрирования. И как видно, из формул (5.7) и (5.25) погрешность метода трапеций даже больше в два раза больше по абсолютной величине по сравнению с методом средних прямоугольников, хотя аппроксимация подынтегральной функции проводилась полиномом первой, а не нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппроксимации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погрешностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса методов (п. 5.8)
Поскольку метод трапеций и метод средних прямоугольников имеют одинаковый порядок интегрирования, то если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности.