3.1. Преобразование сигналов линейными системами с постоянными параметрами

Анализ физической системы, использующей технику обработки сигналов, часто приводит к схеме, которая представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1

Из рисунка 3.1 следует, что входному сигналу cоответствует выходной Линейность системы означает, что входному сигналу вида

будет соответствовать сигнал на выходе системы

.

Одна из проблем анализа линейной системы заключается в том, как выяснить особенности системы, если возможно измерить сигналы на входе и сигналы на выходе. Чтобы решить эту задачу, необходимо знать, как связаны входной и выходной сигналы с параметрами системы.

3.1.1. Дискретные системы

Дискретная система определяется как однозначное преобразование или оператор, переводящий входную последовательность (вход) в выходную(выход, отклик, или реакция системы). Математически это записывается в виде

, (3.1)

и графически изображается на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 ‒ Дискретная система

Соотношение (3.1) ‒ это правило, или формула, по которому вычисляется реакция системы через отсчеты сигнала, поданного на ее вход. Вид оператора зависит от свойств конкретной системы. Операторопределяет характер математических операций при отображении множества {} в множество {}.

Пример 3.1. Дискретная система, описываемая формулой

, (3.2)

где ‒ натуральное число, называемое задержкой системы. Эта система осуществляет сдвиг входной последовательности отсчетов вправо наинтервалов дискретизации. Для вычисления отсчета отклика используется единственный отсчет входной последовательности. Говорят, что система (3.2) имеет память и относится к системам с запоминанием.

Пример 3.2. Система без запоминания. Систему, -й отсчет реакциикоторой при каждомзависит только от одного отсчета (с тем же индексом) входаназывают системой без запоминания. Например,

3.2. Линейные системы с постоянными параметрами

Во многих приложениях применяется класс линейных систем с постоянными параметрами. Они сравнительно просты в математическом отношении, дают удобный вид обработки сигналов.

Класс линейных систем определяется линейными операциями или принципом суперпозиции. Если и‒ входные последовательности, а‒ выходные последовательности, то при подаче на вход последовательности+систему называют линейной тогда и только тогда, когда выполняется

(3.3)

где произвольные постоянные параметры (константы).

Выражение (3.3) характеризует свойство аддитивности линейной системы, в соответствии с которым реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие. Выражение (3.3) характеризует также свойство однородности линейной системы, в соответствии с которым умножение входной последовательности на постоянный параметр соответствует выходной последовательности, умноженной на тот же параметр, т.е.

(3.4)

Если выражение с линейным оператором описывает систему, то это означает, что в данном преобразовании (отображении) возможны только линейные операции сложения, вычитания и умножения на постоянный параметр и соотношение вход – выход линейной системы описывается линейным уравнением.

Пример 3.3. Система, определяемая уравнением

, (3.5)

называется сумматором, поскольку значение ее реакции в момент времени равно сумме значений предыдущих отсчетов входной последовательности. Покажем, что система линейна.

Решение. Подадим на вход сумматора две последовательности и вычислим соответствующие отклики:

,

.

Сформируем последовательность

Для произвольных параметров иимеем

Таким образом, сумматор удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. является линейной системой.

3.3. Линейные стационарные системы

В обработке сигналов широко используется класс инвариантных к сдвигу во времени систем. Такие системы называются стационарными. В этих системах временной сдвиг (задержка) входной последовательности индуцирует сдвиг выходной последовательности. Если отклик на, тобудет откликом на воздействие, где‒ положительное или отрицательное целое число. Выполняется соотношение

Пример 3.4. Покажем, что сумматор (3.5) это стационарная система.

Решение. Пусть Для доказательства вычислим откликииПо определению сумматора имеем

и

Поменяем в последней сумме индекс суммирования на Напомним, что с изменением индекса суммирования изменяются пределы суммирования.

,

= Таким образом, сумматор является стационарной системой.

3.4. Связь между входным и выходным сигналами в линейной системе

Наличие свойств линейности и стационарности позволяет представлять анализируемую систему в удобном виде. Предположим, на вход системы подан единичный импульс (отсчет) (2.10)

Обычно выход системы является запаздывающей и усиленной или

подавленной версией входа. Отклик системы на этот сигнал обозначим

рисунок 3.3.

Рисунок 3.3

Выход системы, инициированный единичным импульсом, не будет тем же импульсом, а будет меняться со временем, в некоторый момент, достигая максимального значения, например, как показано на рисунке 3.4

Рисунок 3.4 ‒ Входной единичный импульс и

импульсная характеристика системы

Из рисунка видно, что в момент времени 0 выход равен В

момент временивыход равен Вход можно представить импульсом разной амплитуды (мощности). В момент времени подадим на вход системы отсчет высотой. Поскольку входной сигнал увеличился враз, то согласно свойству линейной системы, отклик на этот сигнал также увеличился враз. Тогда выходной сигнал определяется отсчетами

,

.

Пусть теперь на вход подается последовательность импульсов , рисунок 3.5.

Рисунок 3.5

В этом случае на каждое импульсное воздействие формируется отклик, соответствующий импульсной характеристике системы. Выход системы получается из отдельных импульсных откликов, рисунок 3.6.

Рисунок 3.6

Из рисунка видно, что в момент времени 0 выход равен . В следующий момент временивыход состоит из суммы двух компонент: первое слагаемое ‒ это(из-за текущего импульсаи второе слагаемое ‒(из-за запаздывающего влияния входа в момент времени. Выходной сигнал системы в момент времениравен

Последующие выходы запишутся как

Выводы

1. Если система линейна, выход можно записать как линейную сумму влияния предыдущих входов.

2. Выход получается умножением входной последовательности на соответствующие отсчеты, обращенной во времени функции импульсной характеристики.

3. Учитывая свойство линейности и возможность представления любой последовательности в форме линейной комбинации сдвинутых единичных импульсов (2.12), можно утверждать, что линейная стационарная система определяется своей реакцией на единичный импульс или импульсной характеристикой при нулевых начальных условиях.

Замечание – Признаком нулевых начальных условий является отсутствие отклика при отсутствии входной последовательности Если начальный момент времени обозначим, то ему соответствует

Нулевые начальные условия отвечают принципу причинности, в соответствии с которым отклик не может возникнуть раньше воздействия.

Для описания во временной области линейных стационарных дискретных систем широко применяются следующие линейные уравнения (формулы):

‒ свертка, где используется импульсная характеристика;

‒ разностные уравнения, где используются параметры линейных дискретных систем.

4. Представление дискретных систем и сигналов в частотной области

Помимо временной области сигналы и линейные системы могут описываться в областях других независимых переменных. В этом случае соответствующие функции времени преобразуются в функции другого аргумента, например, в функции частоты.

Замечание ‒ следует различать подобные преобразования и преобразования функций одной и той же независимой переменной.