3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений

Рассмотрим реализацию двух этапов их решения.

1. Программа должна сначала выдать таблицу значений y =f(x) (отделений корней).

2. Далее делается запрос на ввод начального приближения (это ,или (+)/2) и точности решения.

Расчет функции и вычислительный алгоритм обычно выполняются в виде отдельных подпрограмм.

Примерный алгоритм данных процедур может иметь следующий вид:

Значение mвыбираем по усмотрению, но с соблюдением принципа «половинного деления», рассмотренного выше.

Раздел 4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Постановка задачи

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений с nнеизвестными:

(1)

В отличие от линейных систем прямых методов их решения нет за исключением систем второго порядка, когда одно неизвестное может быть выражено через другое.

Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.

4.2. Метод простой итерации

Система (1) должна быть представлена в следующем виде:

(2)

где называются итерирующими функциями.

Алгоритм решения аналогичен алгоритму Зейделя или простой итерации для решения систем линейных уравнений.

Пусть известен начальный вектор решения: x_i =a_i,i= 1,2,…,n, тогда

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станет меньше заданного значения .

Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Стоит проблема их отыскания (т.е. условий сходимости). В случае расходимости (несходимости) в блок-схеме алгоритма срабатывает механизм ограничения числа итераций.

4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида

(3)

Нужно найти действительные корни xиyс заданной степенью точности.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (3) нужно привести к виду:

, (4)

где ₁и₂– итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде:

,n= 0,1,2,… (5)

где при n= 0,x₀ иy₀ – начальные приближения.

Имеет место утверждение: пусть в некоторой замкнутой областиR(axA;byB) имеется одно и только одно единственное решениеx=;y=, тогда:

1) если ₁(x,y) и₂(x,y) определены и непрерывно дифференцируемы вR;

2) если начальное решение x₀,y₀ и все последующие решенияx_n,y_n также принадлежатR;

3) если в Rвыполняются неравенства:

(6)

или равносильные неравенства:

(6`)

то тогда итерационный процесс (5) сходится к определенным решениям, т.е.

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством:

,

где М– наибольшее из чиселq₁илиq₂в соотношениях (6) и (6`). Сходимость считается хорошей, еслиМ<1/2 . Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность= 10^–3.

Пример. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Запишем систему в виде (4)

Рассмотрим квадрат 0 x 1; 0y 1. Если возьмемх₀ иу₀из этого квадрата, тогда мы имеем:

Из анализа вида ₁и₂определим область нахождения их компонент прих=у=1, в заданном квадрате.

Для ₁(х,у):, а для₂(х,у): –<, то при любом выборе (x₀,y₀) последовательность (x_k,y_k ) останется в прямоугольнике:

;;

так как 1/3+1/2=5/6, 1/3–1/6=1/6, 1/3+1/6=1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

;

;

– условия удовлетворяются, и система может быть решена по методу простых итераций.

Полагаем х₀ = 1/2,у₀ = 1/2, тогда

х_{1 = ;}у₁=.

Вторая итерация: ;; …

х₃=0,533;у₃=0,351. Вычисляем дальшех₄ = 0,533;у₄ = 0,351эти значения и являются ответом.