Глава III. Физика слабого взаимодействия 7.11.2003

1. Распадные свойства фундаментальных частиц

1. Слабое взаимодействие, как мы знаем из Гл. I, возникает как результат поглощения и испускания или обмена носителями этого взаимодействияW,Z- бозонами. Оно является более универсальным, чем электромагнитное—только глюоны и фотоны непосредственно не взаимодействуют сW,Z- частицами. В то же время реальный объем физических явлений, относящихся к физики слабого взаимодействия, оказывается намного меньшим объема электродинамических явлений. Это связано с тем, что почти все объекты, которые могли бы сформировать объемную физику слабого взаимодействия, являются нестабильными и в природе не существуют. Поэтому нет, например, физикиW,Z– бозонов, аналогичной физики фотонов, и при рассмотрении слабых взаимодействий приходится ограничиваться изучением только распадных процессов, либо сечний взаимодействия с веществом нейтрино.

2. Для дальнейшего существенно, что константа g_wслабого взаимодействияWбозонов с лептонами является безразмерной и равняется:

g_w = , (3.1)

где – заряд протона и _W– угол Вайнберга или угол смешивания, являющийся одним из основных параметров единой теории элекрослабого взаимодействия. Как следует из экспериментальных данных,Sin²_W= 0.23.

Хотя эта константа имеет порядок электромагнитной, сечения слабых процессов, т.е. процессов, протекающих с испусканием или обменом носителей слабого взаимодействия, оказываются намного порядков меньше электромагнитных. Это делает исследование именно распадных свойств частиц важнейшим разделом физики слабого взаимодействия – нестабильная родившаяся частица уж обязательно должна распасться.

Анализ распадных свойств фундаментальных частиц начнем с распада мюона:

^_+e^+_.

В соответствии со стандартной моделью механизм этого распада изображается диаграммой Фейнмана:

(3.2)

В первом приближении теории возмущений по взаимодействию V, вызывающему этот распад, вероятность распада w_ дается следующей квантово- механической формулой:

w_ = 2 V_fi²d, (3.3)

где V_fi– матричный элемент от взаимодействияVмежду начальным (i) и конечным (f) состояниями, d– зависящая от нормировки мера интегрирования по всем конечным конфигурациям трех конечных частиц ( см. приложение к Гл.I). Важные заключения о w_можно сделать, не зная явных выражений для V_fiи d, которые даются стандартной полевой моделью и просто квантовой теорией.

Действительно, взаимодействие V из-за огромной массы W-частицы (M_W=81 Гэв) является короткодействующим, и в первом приближении его пространственную зависимость можно апроксимировать- функцией, а все взаимодействие представить в виде:

V=G(r₁r₂)V₁, (3.4)

где G – константа (константа “четырех-фермионного взаимодействия”), (r₁r₂) –-функция от разности координат начала и конца W-линии, V₁– зависящий от спинов оператор, обеспечивающий преобразование внутренней структуры частиц (W^ _, W^e_e). Будем считать его безразмерным (тем самым вся размерность отнесена кG). Тогда в силу того, что размерность взаимодействия [V]=см^1(т.е. [V]=[энергия]), размерность G должна быть

[G] = см². (3.5)

В точной теории константа G=G_F (ее часто называют фермиевской константой, отсюда индексF) связана с фундаментальными параметрами стандартной модели соотношением ( разумеется, эту формулу может дать только точная теория):

10.1 , (3.6)

где – постоянная тонкой структуры и М_W.

Таким образом, мы видим, что вероятность должна быть прежде всего пропорциональна G_F²:

w_G_F². (3.7)

С другой стороны, размерность w_равняется см^1(вероятность распада в единицу времени). Поэтому в (3.7) необходимо добавить какие-то другие множители, чтобы создалась нужная размерность w_. Для описания процесса распада мюона в нашем распоряжении помимо G_F²есть еще только одна размерная величина – масса мюона m_(масса электрона и нейтрино в рассматриваемых кинематических условиях практически равняются нулю).

Отсюда следует, что

w_= AG_F²m_⁵, (3.8)

где А – численный множитель, не определяемый из общих соображений. Точный расчет дает:

w_. (3.9)

Учет массы электрона приводит к незначительному поправочному множителю (1).

В соответствии с (3.9) время жизни мюона _должно равняться

_= 1/w_= 210^6c. (3.10)

2. Формула (3.9) с небольшими модификациями переносится на вероятности четырехчастичных распадов таона, с и b кварков.

Тау-мезон может, в соответствии со стандартной моделью, распадаться по каналам:

  _+ ^+ _

_+ e^ +_e (3.11)

_+ d +u

Таон может распадаться также и по каналам _ + s +u,_ + d +c . Однако из- за смешивания кварков ( матрица Кабаяши – Маскава, см. Гл.I) вероятности этих каналов распада должны быть значительно подавлены, и мы ими пренебрегаем. В результате, не учитывая, как и

при выводе (3.9), массы конечных частиц, легко находим, что

w_(3.12)

где фактор 5 возник из-за того, что имеется пять независимых каналов распада – два лептонных и три кварковых (d,u -кварки могут находиться в трех цветовых состояниях). Соответственно, рассчитанное время жизни таона_равняется:

_=2.810^13с (_эксп.= (3.30.4)10^13с) (3.13)

Для b-кварка возможно большое число каналов распада:

u + l +_l

u+ d +u

b  u+ d +c (3.14)

u + s +c

c + l +_l

. . . . . . . . ,

где индекс lобозначает заряженный лептонe,,.

И в распаде b–кварка матрица Кабаяши – Маскава играет очень важную роль. Действительно, вероятность распада только по лептонному каналу равняется:

w_b= 1.610¹⁴с^-1. (3.15)

Соответственно, время жизни b-кварка _b из-за существования других каналов распада должно было бы быть

_b < 1/w_b = 0.610^14c. (3.16)

Между тем, экспериментально это время, определяемое как время жизни В-мезона, оказывается значительно большим:

_b= 10^12с » 10^-14c.

Этот парадокс устраняется за счет того, что вероятности переходов типа bu+d+cоказываются значительно подавленными коэффициентамиV_cb, а наиболее выгодный переход b кварка

b  t + W^

с V_tb1 энергетически запрещен.

4. Рассмотрим теперь коротко вероятность -распада нейтрона. В общем случае-распад нейтрона необходимо анализировать с учетом сложной кварковой структуры нуклонов. Эта структура учитывается введением в вероятность распада формфакторов. Однако при малых энергиях-распада роль формфакторов невелика и мы ими пренебрежем.

В -распаде нейтрона помимо константы G²в нашем распоряжении имеется выделяемая энергияи массы нейтрона и протона. Важным вопросом является следующий: как мы должны “обезразмерить” величину G², несомненно входящую в формулу для вероятности w_n? Представляется почти очевидным, что ни масса протона, ни масса нейтрона в первом приближении не могут входить в формулу для вероятности w_n. Действительно, в-распаде нейтрона малость выделяющейся энергии (1.3 Мэв) позволяет считать массу нуклона “бесконечной”, которая, следовательно, будучи предельно возможной, не может входить в динамические формулы. Мы приходим, таким образом, к выводу, что вероятность-распада нейтрона должна даваться той же формулой

w_nG²⁵, (3.17)

или более точно

w_n=(3.18)

где фактор 0.47 возникает за счет того, что массу электрона 0.51Мэв нельзя положить равной нулю при общей выделяющейся энергии 1.3Мэв.

В этой связи отметим, что в полученную ранее формулу (3.9) должна, вообще говоря, входить не масса исходной частицы, а выделяющаяся энергия , которая в рассмотренных там условиях практически совпадает с массой распадающейся частицы.

Замечательной особенностью рассмотренных -распадов является их сильная зависимость от выделяющейся энергии, как⁵. Это приводит к тому, что b-кварк живет около 10^12с, мюон 10^6с, а нейтрон 10³с!

Еще одна удивительная особенность -распада нейтрона состоит в том, что константыGдля нейтрона и мюона практически совпадают. Это удивительно потому, что непосредственный-распад испытывает не нейтрон в целом, а один из егоd- кварков, который после преобразования должно “вставиться“ в волновую функцию конечного протона. Соответственно матричный элемент, отвечающий такому переходу, не обязан равняться аналогичному матричному элементу при- распаде мюона. Кроме того, испускание электрона может сопрвождаться испусканием и последующим поглощением виртуальных пионов, которое должно перенормировать амплитуду- распада нейтрона. Причина, по которой нейтрон в отношении-распада тем не менее частично ведет себя как лептон, является нетривиальной и называется “сохранение векторного и частичное сохранение аксиального тока“. Эта концепция, выдвинутая на западе Фейнманом и Гелл-маном и у нас Зельдовичем и Герштейном, сыграла большую роль в становлении стандартной модели.

5. W и Z-частицы могут распадаться следующим образом:

W^  l +_l,

 d+ u

………..

(3.19)

Z  l +l,

 q +q,

где q,q кварки и антикварки одного поколения, l –лептон. На диаграммном языке распад, например, W^-бозона выглядит следующим образом:

Из соображений размерности легко понять, что вероятность w_W- распада W-бозона должна быть пропорциональна M_W:

w _W-  M_W  GM_W³ (3.20)

Действительно, константа слабого взаимодействия безразмерна, массы конечных частиц по сравнению с массой W- частицы равны нулю и, следовательно, не могут входить в конечную формулу для вероятности.

Точная формула для w _W- имеет вид:

w _W- = Г _W- == 2.070.06 Гэв. (3.21)

(Г _{W- -“ширина уровня”,которая связана с вероятностью соотношением}

Г _{W- =ħwW- = wW-.)}

Аналогично, вероятность распада Z₀-мезона по , каналу дается формулой:

Г_ =  166 Mэв (3.22)

Полная вероятность (ширина) распада Z⁰-частицы равняется

Г_Z = 3Г_ + 3Г_ee + 6Г_uu + 9Г_dd =2.4900.007 Гэв. (3.23)

Интересно отметить, что время жизни W, Z⁰ -носителей взаимодействия является очень малым:

  ħ/Г_Z 310^25c. (3.24)

Это значит, что мы умеем “засекать” объекты, существующие фантастически малое время.

6. Вероятности распадов лептонов и кварков с и b пропорциональны G_F² и соответственно их времена жизни  относительно велики,  10^-12 с. Между тем, вероятность распада t – кварка должна быть пропорциональна G_F , что приводит к значительному уменьшению его времени жизни. Действительно, пропорциональность вероятности G_F² обусловлена тем, что при распаде лептонов и отмеченных кварков W – частицы являются виртуальными и в амплитуду обязательно входят два акта испускания – поглощения. При распаде же t – кварка W – частица испускается реально:

Поэтому для него справедливы аргументы, приведенные нами при обсуждении вопроса о распаде W – частиц. В результате вероятность w_t распада t – кварка пропорциональна GM_t³. Точная формула имеет вид:

w_t = (3.25)

Соответственно, время жизни t – кварка получается равным

_t  0.410^-24c (  1.55 ГэВ) (3.26)

7. Свойства Z-частицы были использованы для установления числа типов нейтрино и, следовательно, числа поколений фундаментальных фермионов. Идея соответствующего эксперимента состоит в следующем. Эффективное сечение (W) любого процесса типа

e⁺ + e^  ⁺ + ^

 q + q

с полной (инвариантной) энергией W в окрестности резонанса с массой М_Z должно иметь вид (формула Брейта – Вигнера):

(W) (3.27)

здесь Г_eeZ, Г_{Z} – ширины (вероятности) распада Z по каналам e⁺e^, ⁺^, Г_t – полная ширина Z частицы. В эксперименте определяются полная ширина Г_t (ширина резонансной кривой на половине высоты) и сумма парциальных ширин вылета заряженных частиц. Вылетающие нейтрино детекторами не обнаруживаются. Соответственно, соответствующая их испусканию ненаблюдаемая, “невидимая” ширина Г_inv --разность между измеряемой полной шириной и суммой измеряемых пациальных ширин-- должна быть связана с числом нейтрино соотношением:

Г_t  _fГ_f = Г_inv = N_Г_ (3.28)

где N_ – число типов нейтрино.

Для Z⁰ частицы

Г_inv = 0.4980.004 Гэв.

Соответственно

N_ = 0.498/0.166 = 3.090.13. (3.29)