Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz_tipovik

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

559.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Задача. Сформулировать следующие определения

1. lim f(x) = b,			2.	lim f(x) = + ,						3. lim f(x) =	,
x	→−∞		x	+	∞			∞		x	∞
	→−∞			→	∞					→−∞
	4.	lim				5.	lim f(x) = + .
	4.	x a f(x) = −∞,				5.	x	→	a	∞
		→						→

1.2. Основные теоремы о пределах

Приводимые ниже теоремы справедливы для случаев когда a

число и когда a = ±∞.

Теорема 1.1 lim C = C,ãäå C постоянная (C const)

x→a

ÂÌ

Теорема 1.2 lim[f(x)

g(x)] = lim f(x)

МИРЭА

lim g(x)

x a

± x a

→

Теорема 1.3 lim[f(x)

g(x)] = lim f(x)

lim g(x)

x a

→

x a

→

Теорема 1.4 lim[C

f(x)] = C

lim f(x),ãäå C постоянная

x a

Кафедра

→

f(x)

lim f(x)

Теорема 1.5 lim

g(x)

x→a

, åñëè lim g(x) = 0

x a

lim g(x)

→

x→a

Теорема 1.6 lim

f(x)

∞

, åñëè lim f(x) = C = 0, lim g(x) = 0

x a

g(x)

x a

→

ÌÃÒÓ

→

Теорема 1.7 lim

f(x)

= 0, åñëè

f(x)

< C, lim g(x) =

∞

x a

g(x)

x a

→

Теорема 1.8 lim f(x)g(x)

lim g(x)

lim f(x)

x→a

[x→a

)

]

функция и a принадлежит

(

Теорема 1.9 lim f(x)

lim x

, åñëè f(x)

элементарная

x→a

области определения функции

Теорема 1.10 Пусть lim g(x) = b, lim f(x) = f(b).

x→a

y→b

Тогда lim f(g(x)) = f(b)

x→a

1.3. Элементарные методы вычисления предела

Пример 1.1. Вычисление предела функции подстановкой (если соответствующая подстановка не приводит к неопределенности):

lim	5x + 1	=	5 · 2 + 1	=		11	.
lim	3x + 2	=		=	8		.
x→2	3x + 2	3 · 2 + 2			8			(	0)
Раскрытие неопределенностей вида								(	0)
									0

Пример 1.2. Вычислить предел функции: lim

x2 −

5x + 6

x→2

−

22x

МИРЭА

Решение:

Непосредственная подстановка в числитель и знаме-

натель предельного значения аргумента x = 2 обращает их в 0 и

приводит к неопределенному выражению вида

(

Разложим числитель и знаменатель на множители (при этом

Решение:КафедраИмеем неопределенность вида

(00). Для раскрытия

выделяется множитель (x − 2)):

ÂÌ

lim

x2 − 5x + 6

= lim

(x − 2)(x − 3)

= lim

x − 3

x→2

x2 − 2x

x→2

(x − 2)x

x→2

В результате непосредственной подстановки в полученное вы-

ражение предельного значения аргумента получаем:

√

ÌÃÒÓ√ 2

√

lim

− 5x + 6

= lim

− 3

−

x→2

x2 − 2x

√

x→2

Пример 1.3. Вычислить lim

− 5

x→4

x − 4

этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на вы-

ражение, сопряженное числителю:

lim

x + 9 − 5

= lim

x + 9 − 5

x + 9 + 5

→

−

→

(

−

(

)

)x( + 9 + 5

√

= lim

− 16

= lim

x + 4

4 + 4

→

(x − 4) (

+ 9 + 5)

→

+ 9 + 5

5 + 5 5

√

Пример 1.4. Вычислить lim

1 + 3x − 1

x→0

Решение:

В данном примере имеем неопределенность (

знаменатель

на неполный квадрат суммы,

Умножим числитель√3 2

√3

. В результате получим

òî åñòü íà3

( 1

)

1 + 3x + 1

+ 3x

√

lim

1 + 3x − 1

= lim

1 + 3x − 1

[( 31 + 3x )

+ 1 + 3x-+ 1]

→

→ x

ïåíü x

√3

ÂÌ

x 0

√3

2 2

= x→0 (√3 1 + 3x2) + √3 1 + 3x2 + 1 = 1

lim

Кафедра

(

∞)

Раскрытие неопределенностей вида

∞

Пример 1.5. Вычислить предел функции: lim

x2 − 5x + 1

x→∞

3x2 + 7

Решение:

Делим числитель и знаменатель на наибольшую сте-

ÌÃÒÓ

lim

x2 − 5x + 1

= lim

−

1 − 0 + 0

x→∞

3x2 + 7

x→∞

3x2

3 + 0

Здесь используются теоремы об арифметических свойствах

предела и теорема 7, из которой следует, что

lim

= 0, lim

= 0.

x→∞ x

x→∞ x2

Раскрытие неопределенностей вида (∞ − ∞)

Решение: Имеем

(

√

(

))

Пример 1.6. Вычислить lim

+ 3x + 1 − x .

x +

→ ∞

∞ − ∞

. Умножим и

неопределенность вида

поделим на сопряженное выражение

lim

(√x

+ 3x + 1 − x) =

x→+∞

√

− x

√

+ x

lim

x2 + 3x + 1

= x→+∞ (

(3x + 1

)

√x2 + 3)x(+ 1 + x

)

= x→+∞ √x2 + 3x + 1 + x =

lim

[делим

числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя]=

3 +

Кафедра→ →

lim

x +

→

∞ √1 +

+ 1ÂÌ

1.4. Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел .

МИРЭА

ÌÃÒÓ

lim

sin x

= 1

x→0

Пример 1.7. lim

sin 5x

= lim

sin 5x

= 1

x 0

· 3

→

sin αx

→

sin αx

Пример 1.8. lim

= lim

cos βx =

tg βx

0 sin βx

lim

sin αx

βx

αx

· sin βx

· βx

· cos βx =

β · 1 =

= x

→

0 αx

Второй замечательный предел (неопределенность вида 1∞).

lim(1 +

1=x = e,

ãäå

e ≈

2.718,

→

или, эквивалентно,

lim (1 + 1 )x = e.

x→∞ x

При раскрытии неопределенностей вида 1∞ (т.е. если предел основания равен 1, а показатель стремится к бесконечности) нужно записать основание в виде 1 + α(x), а в показателе выделить

множитель

2e5

1 + 5

x = lim

1 + 5

Пример 1.9. lim

α(x)

x→∞ (

)

x→∞ (

)

]

x→a

[x→a

МИРЭА

x + 1

Пример 1.10. lim

= lim

x→∞

(x − 1)

x→∞ (1 + x − 1 − 1) =

Кафедра

ÂÌ

x − 1

= lim

1 +

= lim

1 +

−

= e2.

−

x→∞ (

x 1)

x→∞

x 1)

(

Замечание

. Здесь используется теорема 8:

→

ÌÃÒÓa

lim f(x)g(x) =

lim g(x)

lim f(x) x→a

Пример 1.11. lim(1

2x)1=x

= lim

2x)

1=(2x)

−2

= e

x→0

−

x→0

(

−

)

−

1.5. Бесконечно малые функции

Определение 1.4 Функция α(x) называется бесконечно малой

ïðè x

a, åñëè lim α(x) = 0.

→

Пример 1.12. α(x) = sin x бесконечно малая при x → 0.

Пример 1.13. α(x) = (x − 5)2 бесконечно малая при x → 5.

Пример 1.14. α(x) = √x бесконечно малая при x → +∞.

Определение 1.5 Функция f(x) называется ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки a, åñëè M > 0 такое, что при некотором δ > 0 äëÿ âñåõ x (a − δ, a) (a, a + δ),

т.е. удовлетворяющих неравенству 0 <									2
т.е. удовлетворяющих неравенству 0 <								\|x−a\| < δ, выполняется
неравенство \|f(x)\| < M.								-
								МИРЭА
Основные свойства бесконечно малых функций
1. Сумма (или разность) бесконечно малых функций беско-
нечно малая функция.
2. Произведение бесконечно малых функций есть бесконечно
Кафедра								ÂÌ
малая функция.								ÂÌ
Теорема 1.11 Если lim f(x) = C = 0 è α(x) бесконечно малая
	x		a				̸
		→
функция при x → a, α(x) ̸= 0 в некоторой проколотой окрест-
ности точки	, òî lim			f(x)	=	∞	.
a	x	→	a α(x)			∞
	ÌÃÒÓ

Теорема 1.12 Если |f(x)| < M, òî åñòü f(x) ограниченная функция, α(x) бесконечно малая при x → a, то произведение f(x)α(x) бесконечно малая функция при x → a.

1.6. Эквивалентные бесконечно малые функции

Определение 1.6 Бесконечно малые при x → a функции α(x) è β(x) называются эквивалентными, если

lim α(x) = 1

x→a β(x)

(предполагается, что β(x) ≠ 0 в некоторой проколотой окрестности точки a).

Для обозначения эквивалентных бесконечно малых функций используют следующую символику α(x) β(x) ïðè x → a.

Пример 1.15. sin x x ïðè x → 0 (первый замечательный пре-

äåë).

Пример 1.16. 5x2 + 2x 2x ïðè x → 0 . Это следует из того,

÷òî

5x2 + 2x

lim

= lim

= 1

(

2 · x + 1)

x→0

ÂÌ

МИРЭА

Пример 1.17. √25x2 + 3x + 1

ïðè x → +∞ (проверить

самостоятельно).

При вычислении пределов полезны следующие теоремы о замене бесконечно малой функции на эквивалентную в произведении и частном.

Теорема 1.13 Пусть α(x) β(x) ïðè x → a è f(x) произ-

вольная функция, определенная в некоторой проколотой окрест-

ности точки a. Тогда lim (f(x)α(x)) = lim (f(x)β(x)).

x→a x→a

Теорема 1.14 Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить на эквивалентные функции.

Пример 1.18. lim				sin 5x	= lim	5x		=	5

			x→0 sin 3x		x→0	3x			3

Удобно ввести следующее определение.
	Кафедра
Определение 1.7 Функция f(x) называется бесконечно боль-
øîé ïðè	x → a	, åñëè lim f(x) =				∞	.
				x a

	→
Теорема 1.15 ФункцияÌÃÒÓf(x) бесконечно большая при x → a
1	бесконечно малая функция при x → a.
f(x)

Основные эквивалентности (при x → 0 )

Таблицу основных эквивалентностей удобно переписать в более общем виде.

			1		sin x x			2	tg x x
			3		arcsin x x			4	arctg x x
			5		1 − cos x	x2		6	ex − 1 x
			5		1 − cos x	2		6	ex − 1 x		2
			7		ax − 1 x ln a			8	ln(1 + x) x
							x
			9	loga(1 + x)				10	(1 + x)a − 1 ax-
			9	loga(1 + x)			ln a	10	(1 + x)a − 1 ax-

Пусть α(x)									МИРЭА
Пусть α(x)					- бесконечно малая функция при x					→ a. Тогда
			Кафедраα(x)
имеют место следующие эквивалентности приÂÌx → a.
	1		sin (α(x)) α(x)					2	tg (α(x)) α(x)
3			arcsin (α(x)) α(x)					4	arctg (α(x)) α(x)
					(α(x))2				e (x) − 1 α(x)
5		1 − cos (α(x))				2		6	e (x) − 1 α(x)
7			b (x) − 1 α(x) ln b					8	ln(1 + α(x)) α(x)
9		logb(1 + α(x)) ln b						10 (1 + α(x))b − 1 bα(x)
					1	1

Пример 1.19. sinÌÃÒÓ√x √x ïðè x → ∞

Пример 1.20. tg(x − 2) x − 2 ïðè x → 2

1.7. Применение таблицы эквивалентностей к вычислению пределов

Приведем примеры использования теорем о замене бесконечно малой функции на эквивалентную в произведении и частном при вычислении пределов.

В следующих примерах вычислим пределы функций, используя таблицу основных эквивалентностей.

arctg

Пример 1.21. lim

= lim

-2

x→0

e2x

−

x→0

−

МИРЭА

−

(ò.ê. arctg

, e2x −

1 2x ïðè x → 0).

sin2 3x

(3x)2

Пример 1.22. lim

= lim

(2x)

x→0 ln (1 + 2x)

x→0

(ò.ê. sin 3x 3x, ln(1 + 2x) 2x ïðè x → 0).

Кафедра

ÂÌ· ln 5 =

Пример 1.23. lim

5tg 3x

− 1

= lim

tg(3x)

3x · ln 5

x→0

arcsin x

x→0

= lim

= 3 ln 5

x→0

(2x)2

Пример 1.24. lim

1 − cos 2x

= lim

−2x2

−

x 0 ln (1 3x2)

x 0

3x2

x 0

3x2

ÌÃÒÓ

→

Пример 1.25. lim

e x − e x

x→0 sin αx − sin βx

= lim

e x

e( − )x − 1

= lim

(α − β)x

= 1

x→0

(α

(β)x

(α)+ β)x

x→0

(·α

β)x

2 sin

−

cos

−

Пример 1.26. lim

ln(cos x)

= lim

ln[1 − (1 − cos x)]

x→0 (1 + x2)3

−

x→0

(1 + x2)3

x−2

ln 1

2 sin

= lim

−

2 ) = lim −

2 = lim

(

2 )

(

−

→

(1 + x )

− 1

x 0

→

Пример 1.27. lim

cos 4x − cos 2x

= lim

−2 sin 3x · sin x

x→0

arctg2 x

x→0

arctg2 x

−2 · 3x · x

= lim

−

→

√3

x3 + 7x4

Пример 1.28. lim

lim

, òàê êàê

+ 7x

x 0

ln(1 + 5x) = x

0 5x

→

x3, ln(1 + 5x) 5x ïðè x → 0.

Пример 1.29. lim

2x3 − 7x6 + sin 5x

= lim

. Здесь ис-

x→0

10x 2x4

x→0 10x

что имеют место−эквивалентности

пользуем то,

−7x +sin 5x

5x , 10x − 2x

10x ïðè x → 0 (проверить самостоятельно)2.

ÂÌ

МИРЭА

2. Непрерывность функции

Кафедра

2.1. Определение непрерывности функции. Свойства

непрерывных функций

Определение 2.1 Функция f(x) называется непрерывной в

точке x0, åñëè f(x) определена в окрестности точки x0 è

lim f(x) = f(x0).

x→x0

ÌÃÒÓ

Определение 2.2 Функция f(x) называется непрерывной на

множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема 2.1 Все элементарные функции непрерывны в области определения.

Теорема 2.2 Пусть f(x) è g(x) непрерывные в точке x0 ôóíê- ции. Тогда f(x) ±g(x), f(x) ·g(x) также непрерывные в точке

f(x)

x0 функции. Если g(x0) ≠ 0, òî g(x) - непрерывная в точке x0 функция.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019412.16 Кб9MapReduce.doc
#
10.05.201552.22 Кб210Marketing_testy_s_otvetami_1 (1).doc
#
10.05.2015175.62 Кб15Matan.doc
#
16.04.20195.07 Mб32matan.doc
#
10.05.20156.91 Mб24matan4_bel.pdf
#
10.05.2015559.27 Кб71mat_analiz_tipovik.pdf
#
13.08.2019891.39 Кб31medicina-katastrof.doc
#
10.05.2015374.73 Кб11metod1k.pdf
#
10.05.2015553.47 Кб8metodichka_Arkh_EVM_k_rabota_2011g.doc
#
10.05.2015697.34 Кб14Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
12.11.2019702.98 Кб4Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc