mat_analiz_tipovik

111

предел существует (k < ∞) , то затем вычисляется b. Если какой-

либо из этих двух пределов не существует, то нет и наклонной асимптоты.

ïðè x → +∞ (вычислить коэффициенты k è b самостоятельно).

112

Первый этап - элементарное исследование функции.

Пусть дана функция f(x). Е¼ элементарное исследование вклю- чает следующие процедуры.

ции в окрестности этих точек.

113

5.Выяснить поведение функции в окрестности граничных то- чек, включая и несобственные точки −∞ è +∞.

6.Найти асимптоты.

Результатом элементарного исследования функции является построение эскиза графика функции.

Второй этап исследование функции с помощью первой про-

график.

Решение: Первый этап - элементарное исследование функции.

114

1.Область определения функции: x ≠ 2.

2.Функция не является ни четной, ни нечетной; не является периодической; не является знакопостоянной.

3.Пересечение с осью Ox: x = −1; y = 0; ñ îñüþ Oy: x = 0;

Таким образом, левая наклонная асимптота совпадает с правой: y = x + 7.

115

Второй этап исследование функции с помощью первой производной.

1. Найдем первую производную заданной функции f(x):

Третий этап - исследование функции с помощью второй про-

116

изводной.

1. Найдем вторую производную заданной функции:

f′′(x) = 54(x + 1) (x − 2)4

2. Вторая производная равна нулю при x = −1.

3. Участки выпуклости и вогнутости графика функции, точки

Ðèñ. 24.

117

Пример 7.2. Исследовать функцию y = xex и построить ее гра- ôèê.

Решение: Исследование функции будем проводить по схеме, описанной в предыдущем примере.

6.В данномКафедраслучае функция бесконечно дифференцируемая. Для определения точек локального экстремума найдем стационарные точки, т.е. те точки, в которых первая производная равна нулю. f(x) = xex f′(x) = ex + xex = (x + 1)ex, f′(x) = 0 ïðè x = −1. Это и есть стационарная точка. Производная f′(x) < 0 ïðè x < −1 è f′(x) > 0 ïðè x > −1,

следовательно, x = −1 точка локального минимума.

7.Для определения промежутков выпуклости и вогнутости найдем точки, в которых вторая производная равна нулю.МИРЭАВертикальных асимптот нет.

118

f(x) = xex f′(x) = (x+1)ex f′′(x) = (x+2)ex, f′′(x) = 0

ïðè x = −2.

Результаты исследований занесем в таблицу.

Ðèñ. 25.

Пример 7.3. Исследовать функцию y = 2x3 − 3x2 + x + 5 è

119

построить ее график. Решение:

1. Область определения функции: x (−∞; +∞).

2. Функция не является ни четной, ни нечетной; не является периодической

3. Пересечение с осями: график пересекает ось Oy в точке x = 0,

Вертикальных асимптот нет (почему?).

Дальнейшее исследование и построение графика предлагается