2.4. Применение теории размерности
Втех случаях, когда математическое описание изучаемого физического процесса неизвестно, но известен перечень физических величин, влияющих на процесс, для обобщения экспериментальных данных применяют теорию размерности.
Эта теория основана на понятии о размерности физических величин. Величины, численные значения которых зависят от принятых масштабов, а также от системы единиц измерения, называют размерными, или именованными величинами. Величины же, численные значения которых не зависят от применяемой системы единиц измерения, называют без-
размерными или отвлеченными величинами. Различные физические ве-
личины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому, если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин.
Принятые для основных величин единицы измерения основные или первичные, а все остальные единицы измерения производные или вторичные. Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называют размерностью. Формулы, выражающие зависимость единиц измерения производной величины от единиц измерения основных величин, называют формулами размерности.
ВМеждународной системе единиц СИ за основные механические единицы измерения приняты метр L, килограмм-масса М и секунда Т. Размерность всех физических величин, в которые входят эти основные
единицы измерения, будет иметь вид степенного одночлена Ll M m T t .
Например, размерность силы, представляющей собой произведение массы на ускорение, будет
F M 1 L1 T 2 . |
(2.32) |
Если рассматриваемая величина представляет собой отношение нескольких размерных величин, причем все размерные величины сокращаются, ее называют безразмерной величиной. Часто при исследовании движения возможно распределить физические величины таким образом, чтобы в физическом уравнении в качестве переменных фигурировали безразмерные комбинации из размерных величин.
Физическое уравнение можно представить в виде функции размерных величин
f , , ,... 0 . |
(2.33) |
20 |
|
Согласно –теореме, если n переменных могут быть представлены в виде функции m основных величин, то общее уравнение можно выразить как функцию n – m безразмерных –членов и каждый член будет
иметь m + 1 переменных. Таким образом, функция (2.33) |
перейдет в |
Ф 1 , 2 ..., n m 0 . |
(2.34) |
Здесь 1 ,... 2 представляют n–m независимых групп аргументов, …, не имеющих размерности относительно основных единиц. В каждой группе должно быть m +1 переменных, одно из которых может меняться от группы к группе. Зависимость , ... является степен-
ной. Критерием однородности размерностей в уравнении (2.34) служит условие, что все числа, выраженные через размерные величины, должны содержать одинаковые степени соответствующих основных единиц.
Применение –теоремы часто позволяет найти вид зависимости между определяющими явление физическими величинами и связь между моделью и натурой. При помощи –теоремы можно вычислить безразмерные параметры – критерии подобия, о которых шла речь в разделе 2.2.
1) Например, пусть на рассматриваемое гидравлическое явление влияют линейный размер d (размерность L), кинематическая вязкость
L2 T 1 и скорость движения тела или жидкости V L T 1 . Тогда, выражая решение в виде Ф 0 , где из условия однородности раз-
мерностей будем иметь: d x y V z .
Lx L2 T 1 y LT 1 z L0 T 0 .
Принимая z 1 , находим из условия равенства нужное число соответствующих показателей степени:
при |
L |
x 2 y 1 0 ; |
при |
Т |
y 1 0 , |
откуда |
х = 1 ; |
у = - 1 и, следовательно, безразмерная функция |
d 1 1V 1 . Таким образом, явление может быть охарактеризовано
d V |
0 . |
|||
функцией Ф |
|
|
||
|
||||
|
|
|
||
Полученное безразмерное число Re d V представляет собой число
Рейнольдса – критерий подобия в отношении сил вязкости.
2) Если явление характеризуется влиянием линейных размеров (d) скорости (V) и ускорения (j), то подобным же образом
21
Lx L T 1 y LT 2 z L0 T 0 .
Задавая z = 1, из уравнений x y 1 0 |
и y 2 0 находим: |
|
y 2 |
и x 1 , а безразмерная функция |
|
d 1V 2 j 1 .
Таким образом, явление может быть охарактеризовано уравнением
Фd j 0 .
V 2
Для явлений, происходящих под действием сил тяжести j g , ве-
|
d g |
или обратная ей Fr |
V 2 |
|
личины |
|
представляют критерий подо- |
||
V 2 |
||||
|
|
g d |
бия Фруда.
Теория размерности дает более простой, чем теория подобия, метод описания изучаемого процесса. Но слабым местом теории размерности является то, что она не может дать правильных результатов, если число физических величин, влияющих на изучаемый процесс, будет неполным и если из-за сложности процесса некоторые существенные величины будут упущены.
2.5. Лабораторная установка
Для выполнения лабораторных работ по лесосплавному флоту в гидротехнической лаборатории МарГТУ создана экспериментальная установка (рис.2.1), включающая: 1) большой гидравлический лоток, размерами 21,5 1,9 0,7 м; 2) модель водосливного гидротехнического сооружения с напором 0,4 м; 3) модель руслового участка лесосплавной реки шириной 1,9 м, длиной 10 м, глубиной до 0,4 м; 4) модели лесосплавных судов и устройств, регулирующих сооружений, сплавляемых круглых лесоматериалов, пучков, секций и плотов; 5) модели и стенды лесосплавного оборудования, машин и сооружений; 6) измерительные приборы и регистрирующую аппаратуру.
Гидравлическая схема экспериментальной установки приведена на рис. 2.1. Из резервуара 20 большого гидравлического лотка 14 воду подают фекальным насосом 1 по напорному трубопроводу, снабженному задвижкой 2, в напорный бак 5. Задвижкой 6 воду из напорного бака подают на мерный треугольный водослив Томпсона 7, оснащенный водомерным стеклом 3.
22
23
Рис. 2.1. Гидравлическая схема лабораторной установки: |
1 – фекальный насос; 2 |
– задвижка напорного трубопровода; |
3 – водомерный пьезометр; 4 – успокоитель; 5 – напорный бак; |
6 – водосливная задвижка; 7 |
– мерный водослив; 8 – успокоительная |
решетка; 9 – головное устройство; 10 – верхний бьеф плотины; 11 – водослив практического профиля; 12 – нижний бьеф плотины; 13 – мерная штанга; 14 – расчетные створы; 15 – лесосплавное судно; 16 – координатная сетка; 17 – гидравлический затвор; 18 – отводящий туннель; 19 – отводящий трубопровод; 20 – водосборный резервуар
23
Тарировочный график мерного водослива приведен на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Тарировочный график мерного водослива Томпсона
За мерным водосливом установлена успокоительная система 8 головного устройства 9, которая обеспечивает плавный подход водного потока 1 к исследуемому участку 15 лесосплавной реки. Для удобства изучения водного режима речного потока гидравлический лоток 14 разделен на 4 расчетных створа, а дно его размечено координатной сеткой 0,1 0,1 м. В конце гидравлического лотка установлены затвор 17 для регулирования уровня воды в лотке.
На специальной подвижной тележке устанавливаются измерительные приборы 13 (трубка Пито, гидрометрическая вертушка, мерные штанги, гидроэхолот) для измерения уровней и скоростей течения воды в расчетных створах лесосплавной реки. Из гидравлического лотка вода поступает в отводящий тоннель 12 и по трубопроводу 19 – в резервуар 20. Такую систему питания экспериментальной установки называют циркуляционной.
24