лаб. раб. сопротивление_материалов

41

G – вес стержня;

EJz – жесткость поперечного сечения на изгиб.

Подставляя в (1) числовые значения параметров системы и придавая силе F значения: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 кг, вычисляем соответствующие прогибы верхнего конца стержня. Значения силы и прогибов заносим в таблицу (см. журнал лабораторных работ, лабораторная работа № 16).

С.П.Тимошенко предложил приближенный метод решения задачи о продольно-поперечном изгибе гибкого стержня. Согласно этому методу, прогиб верхнего конца стержня определяется по формуле

где fП – прогиб верхнего конца, вызванный моментом Fa, который может быть определен любым известным способом;

FЭ = π2ЕJz/4L2 – эйлерова критическая сила.

Подставляя в (2) числовые значения fП и FЭ и придавая силе F значения: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 кг, вычисляем прогибы верхнего конца стержня. Значения силы и прогибов заносим в таблицу. По данным таблицы

строим графики зависимостей f1( T ) от F и f2( T ) от F. По графикам

видно, что зависимость прогиба от силы F нелинейная и по мере приближения силы F к критическому значению прогиб быстро возрастает, что является недопустимым для реальных конструкций.

Экспериментальная часть работы заключается в проверке полученных теоретических результатов опытным путем. Эксперимент проводится на специальной настольной установке, принципиальная схема которой показана на рис. 16.3.

Основной частью установки является внецентренно сжатый гибкий стержень 1. Внецентренная сжимающая сила реализуется с помощью грузов 2. Отсчет прогибов ведется с помощью стрелки 3 по шкале 4.

Сила, сжимающая стержень, растет ступенями (0,1; 0,2; 0,3; 0,4 кг). При каждом значении силы определяется величина прогиба верхнего конца стержня. Значения силы и прогибов заносятся в таблицу и строится график зависимости f (Э) от F.

В конце работы для максимального значения нагрузки сравнивают результаты расчетов и эксперимента и подсчитывается процент расхождения.

42

Рис. 16.3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17

Исследование устойчивости плоской формы изгиба

Принципиальная схема экспериментальной установки показана на рисунке. Основная часть установки – стальная полоса 1 с узким поперечным сечением. Один конец полосы жестко защемлен, а на другом конце имеется выступ 2 для подвешивания грузов 3. Выступ расположен посередине высоты поперечного сечения.

Перед экспериментом с помощью регулировочных винтов полосу выставляют так, чтобы ее ось заняла горизонтальное положение, а плоскость полосы была бы вертикальной. Затем к выступу полосы прикладывают нагрузку посредством подвешивания грузов 3. Полоса при этом испытывает деформацию поперечного изгиба и имеет плоскую форму. Пока нагрузка мала, плоская форма равновесия полосы устойчива. Это можно легко проверить, если вывести полосу из плоской формы равновесия и предоставить самой себе. Полоса при этом будет совершать за-

43

тухающие изгибно-крутильные колебания около плоской формы равновесия и через некоторое время примет первоначальную

плоскую форму. Если нагрузку увеличивать, то при некотором значении нагрузки плоская форма равновесия становится неустойчивой, полоса начинает изгибаться в плоскости наименьшей жесткости и одновременно закручиваться, принимая другую устойчивую форму равновесия 4. При этом она ложится на специальные ограничители. На этом эксперимент заканчивается. После снятия нагрузки полоса должна принять первоначальную плоскую форму, что свидетельствует о том, что испытание проводилось в пределах упругости. Подсчитывая общий вес груза, определяем величину критической силы.

Теоретическая величина критической силы рассчитывается по формуле:

F( Т ) 4,01 C C ,

кр L2 1 2

где L – длина полосы; C1 = EJmin – минимальная жесткость поперечного

сечения на изгиб; C2 = GJк – жесткость поперечного сечения на круче-

ние; Jmin = bh3/12; Jк = bh3/3.

В конце работы результаты эксперимента и расчета сравнивают и определяют процент расхождения.

44

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18

Исследование свободных и установившихся вынужденных колебаний упругой системы с одной степенью свободы

Экспериментальная часть работы проводится на установке, принципиальная схема которой показана на рис. 18.1.

Установка состоит из стальной балки 1 с прямоугольным поперечным сечением, шарнирно опертой по концам. Посередине балки установлен электродвигатель 2. К среднему сечению балки прикреплен подпружиненный карандаш 3, острие которого прижато к поверхности барабана 4 с вертикальной осью вращения. К поверхности барабана крепится бумага, на которой вычерчивается график колебаний. Существенными элементами установки являются два эксцентрика 5, расположенные симметрично относительно плоскости XOY, с эксцентриситетом r относительно оси вращения. При работе электродвигателя возникает центробежная сила инерции Fин. Ее вертикальная составляющая Fин sin Ωt и вызывает вынужденные изгибные колебания балки вокруг положения статического равновесия. Ω – угловая скорость вращения ротора электродвигателя, или круговая частота вынужденных колебаний (число колебаний за 2π секунды). Число оборотов электродвигателя изменяется с помощью реостата.

Рис. 18.1

Введем следующие обозначения: F – вес балки, F1 – вес электродвигателя с эксцентриками, F2 – вес эксцентриков.

В первой части работы исследуются свободные колебания системы. Балка с установленным на ней электродвигателем (электродвигатель не работает) толчком руки выводится из равновесия, включается электро-

45

двигатель вращения барабана и записывается график свободных колебаний (рис. 18.2). На графике берется участок произвольной длины S. Время прохождения этого участка определяется по формуле t = S/V,

V = 1 см/с – скорость точки на поверхности барабана. Круговая частота колебаний рассчитывается по формуле:

0( Э ) 2 Nt ,

где N – число колебаний на участке длиной S.

Рис. 18.2

При теоретическом расчете балка с электродвигателем рассматривается как система с одной степенью свободы и круговая частота свободных колебаний определяется по формуле:

0( T ) 1/ 11m ,

где δ11 = L3/48EJz – упругая податливость балки,

m = (F1 + 0,5F)/q – масса электродвигателя и приведенная к среднему сечению масса балки.

По графику (рис. 18.2) видно, что свободные колебания носят затухающий характер. Скорость затухания оценивается величиной логарифмического декремента колебаний

( Э ) 1 ln A0 , N Aк

где А0, Ак – величины амплитуд в начале и конце расчетного участка;

N – число периодов (число колебаний) на расчетном участке. Чем больше δ(Э), тем быстрее затухают колебания.

Период колебаний и коэффициент затухания (коэффициент демпфирования) рассчитываются по формулам:

46

Во второй части лабораторной работы исследуются установившиеся вынужденные колебания и демонстрируется явление резонанса. Для этого включается электродвигатель, а затем мотор вращения барабана и записывается график вынужденных колебаний (рис. 18.3).

Рис. 18.3

По графику измеряем величину амплитуды А(Э) и определяем круго-

вую частоту вынужденных колебаний по формуле 2 Nt , также как

и при исследовании свободных колебаний. Далее определяется центробежная сила инерции и статический прогиб от наибольшей величины возмущающей силы:

Коэффициент динамического усиления, или просто динамический коэффициент, и амплитуда рассчитываются по формулам:

Динамический коэффициент показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше прогиба, вызванного максимальной величиной возмущающей силы, приложенной статически.

Для демонстрации резонанса медленно увеличиваем число оборотов электродвигателя. При Ω << w0, β ≈ 1 и А = fст. При Ω = w0 динамический коэффициент принимает очень большие значения, амплитуда колебаний начинает быстро увеличиваться, что может привести к поломке экспериментальной установки. Поэтому область резонанса должна быть пройдена очень быстро. При Ω >> w0 динамический коэффициент мал и А ≈ 0.

47

В конце лабораторной работы расчетные и экспериментальные значения o( T ) , o( Э ) , А(Т), А(Э) сравнивают и определяют процент расхождения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19

Определение динамического коэффициента при ударном приложении нагрузки

Опытное определение величины динамического коэффициента осуществляется на установке, схема которой показана на рисунке. Основная деталь установки – стальная балка 1, шарнирно опертая по концам. К среднему сечению А балки крепится подпружиненный карандаш 3, острие которого упирается в плоский экран 4.

Перед испытанием на экране карандашом делается нулевая отметка. Затем среднее сечение балки плавно нагружается грузом 2. Балка изгибается и карандаш отмечает на экране величину статического переме-

щения (прогиба) среднего сечения ( ст( А) ). Для определения перемеще-

ния при ударном нагружении груз 2 поднимают по направляющей 5 на определенную высоту (высота подъема измеряется линейкой) и отпускают. Груз падает, ударяет по среднему сечению балки и карандаш от-

мечает на экране величину динамического перемещения ( д( А) ). Динамический коэффициент определяется по формуле

Эксперимент на статическое и динамическое нагружение балки повторяют несколько раз, записывая результаты в таблицу наблюдений. По результатам наблюдений определяют среднее значение динамического коэффициента.

48

При теоретическом расчете сначала любым известным способом определяют статический прогиб среднего сечения балки от веса груза 2. Динамический коэффициент определяют по приближенной формуле (без учета массы балки)

kд(Т1 ) 1 1 2H / fст(Т )

и по уточненной формуле (с учетом массы балки)

где fст(Т ) – статический прогиб среднего сечения балки, Н – высота

подъема груза.

В заключение динамические коэффициенты, найденные опытным и теоретическим путем, сравнивают и определяют процент расхождения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20

Демонстрация поляризационно-оптического метода исследования напряжений

Поляризационно-оптический метод относится к числу основных экспериментальных методов исследования напряженного состояния деталей машин и сооружений. Он отличается большой наглядностью, позволяет получить полную картину распределения напряжений, выявить наиболее напряженные области и определить величину и направление главных напряжений. Применение поляризационно-оптического метода особенно эффективно при исследовании плоского напряженного состояния.

Сущность метода состоит в том, что прозрачная модель исследуемой детали, выполненная из специального оптически активного материала, просвечивается лучом поляризованного света. Изображение модели проектируется на экран, где наблюдатель видит его покрытым системой полос, цвет и расположение которых находятся в прямой зависимости от действующих в модели напряжений. Определив по картине полос напряжение в прозрачной модели, можно утверждать, что такие же напряжения будут действовать и в металлической детали, при условии соблюдения подобия по форме и схеме нагружения. Такое утверждение основано на том, что распределение напряжений при упругой деформа-

49

ции не зависит от модуля упругости материала, а только от нагрузки, размеров и формы детали.

Исследования напряжений на плоских моделях проводят на специальном приборе, называемом полярископом, схема которого показана на рис. 20.1.

Рис. 20.1

Луч света от источника 1 проходит через поляризатор 2. В качестве поляризатора используется поляроид – прозрачная пленка, покрытая кристаллами вещества «геропатит», способного поляризовать свет. Поляризованный луч встречает на своем пути вторую поляроизную пленку 3, называемую анализатором. Оптическая ось 5 поляроида - анализатора расположена перпендикулярно оптической оси 6 поляризатора, поэтому луч, прошедший через поляризатор, гасится поляроидом - анализатором и наблюдатель видит на экране 4 сплошное темное пятно.

При помещении между поляризатором и анализатором напряженной прозрачной модели происходит следующее.

Поляризованный луч, падающий на напряженную модель, разделяется в материале модели на две составляющие, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Плоскости поляризации этих составляющих совпадают с направлениями главных напряжений в модели. Скорости распространения двух составляющих луча в материале модели не одинаковы, поэтому одна составляющая опережает другую на некоторую величину, называемую разностью хода « ». Это явление называется в оптике явлением двойного лучепреломления. Зависимость между разностью хода, толщиной модели и разностью главных напряжений в плоскости модели устанавливается законом упругости. Согласно этому закону, разность хода прямо пропорциональна разности главных напряжений ( 1 - 2) и толщине модели b:

50

=C b( 1 - 2),

где С – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала модели.

По выходе из модели две составляющие луча, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, распространяются с одинаковой скоростью, но остаются сдвинутыми друг относительно друга на величину разности хода . При прохождении через поляроид - анализатор из каждой составляющей выделяется часть, поляризованная в плоскости, совпадающей с оптической осью анализатора. В результате получаются два луча, поляризованные в одной плоскости, сдвинутые друг относительно друга на величину . Эти лучи, интерферируя друг с другом, дают результирующий луч, яркость которого зависит от отношения разности хода к длине световой волны . Если разность хода кратна длине волны света ( = n ), то лучи, суммируясь, дают результирующий луч, с амплитудой, равной сумме амплитуд составляющих лучей. Если же лучи будут сдвинуты по фазе друг относительно друга на половину длины волны, т.е. если разность хода будет равна

n 12 , то амплитуда суммарного луча будет равна разности ам-

плитуд. При равенстве амплитуд лучи погасят друг друга.

Если напряженное состояние модели однородное (величины и направления главных напряжений во всех точках одинаковы), то изображение модели на экране получает однородную окраску. Цвет изображения зависит от разности хода лучей и, следовательно, от разности главных напряжений. При постепенном увеличении разности главных напряжений цвета чередуются сериями в следующей последовательности: