Гусев_сопротивление_материалов
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Строим |
результирующие |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
эпюры продольных сил N (рис. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15.4 а), поперечных сил Q (рис. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15.4 б) и изгибающих моментов |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Mz (рис. 15.4 в). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Делаем проверку правиль- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ности расчѐта. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Статическая |
проверка. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Вырезаем узел С (тройник), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
прикладываем к нему внутренние |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
силы (N, Q и Mz |
на рис. 15.5) и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
записываем |
|
уравнения |
равно- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
весия: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣХ = 0: 4ql - 4ql ≡ 0 |
|
||||||
Рис. 15.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
42 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ΣY = 0: |
ql |
ql 6ql = 0 |
||||||||
|
|
|
|
13 |
13 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0; |
|
|
||||
ΣMC = 0: |
72 |
ql 2 |
|
20 |
ql 2 |
|
92 |
ql 2 |
= 0 |
0 = 0. |
|
||||
13 |
13 |
13 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 15.5
Тождества свидетельствуют – узел С находится в равновесии, статическая проверка выполняется.
б) Деформационная проверка. Перемножаем грузовую эпюру Mz на единичную эпюру M z (рис. 15.6) по правилу Верещагина. Получаем
71
|
1 |
|
1 |
2l |
72 |
|
2 |
|
2 |
2l |
1 |
2l |
20 |
|
2 |
|
2 |
2l |
1 |
2l 8ql |
2 |
|
1 |
|
0. |
|
|
|
|
ql |
|
|
|
|
ql |
|
|
|
|
|
2l |
||||||||||
EIz |
2 |
13 |
|
3 |
2 |
13 |
|
3 |
2 |
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть перемещения в направлении отброшенных абсолютно жестких связей равняются нулю. Следовательно, деформационная проверка выполняется. Задача решена правильно.
Рис. 15.6
УСТОЙЧИВОСТЬ
Формула Эйлера
|
|
|
2EImin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Pкр |
|
|
|
|
|
при |
|
E |
|
. |
||||
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
Пс |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формула Ясинского |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ркр = А (а - b + c 2) |
|
|
при |
|
E |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пс |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
, |
i |
|
|
Imin |
, |
|
|
N |
. |
||||
|
imin |
|
|
min |
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь Ркр – критическая сила, Е – модуль упругости, Imin – минимальный осевой момент инерции площади поперечного сечения, imin – минимальный радиус инерции, А – площадь поперечного сечения, l – длина стержня, - коэффициент приведения длины, - гибкость стержня, Пс – предел пропорциональности материала при сжатии, - коэффициент уменьшения допускаемых напряжений, [ ] – допускаемое напряжение.
72
ЗАДАНИЕ 16
Для стержня, схема которого изображена на рис. 16.1, определить размеры поперечного сечения из расчѐтов на прочность и устойчивость по допускаемым напряжениям на сжатие [ ] = 160 МПа. Для расчета на устойчивость воспользоваться методом последовательных приближений. На первой итерации принять коэффициент снижения допускаемого напряжения 1 = 0,5.
Вычислить критическую силу Pкр и коэффициент запаса
устойчивости |
nу |
|
Pкр . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
P |
|
|
|
Данные взять из табл. 16. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Таблица 16 |
|
|
|
|
|
||
Форма поперечного |
Номер строки |
P, |
L, |
Расчетная |
||
сечения |
|
|
|
кН |
м |
схема |
1 |
|
|
0 |
100 |
1,5 |
А |
2 |
|
|
1 |
110 |
2 |
Б |
3 |
|
|
2 |
120 |
1,8 |
В |
4 |
|
|
3 |
140 |
1,9 |
Г |
5 |
|
|
4 |
80 |
1,8 |
А |
6 |
|
|
5 |
120 |
2 |
Б |
7 |
|
|
6 |
150 |
1,7 |
В |
8 |
|
|
7 |
200 |
2,2 |
Г |
9 |
|
|
8 |
700 |
1,9 |
А |
0 |
|
|
9 |
140 |
2,1 |
Б |
Коэффициенты для малоуглеродистой стали представлены в табл. 16а.
Таблица 16а
Гибкость |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
70 |
|
80 |
|
90 |
|
100 |
|
110 |
|||||
|
0,94 |
0,92 |
0,89 |
0,86 |
|
0,81 |
|
0,75 |
|
0,69 |
|
0,6 |
|
0,52 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Гибкость |
120 |
|
130 |
|
140 |
|
150 |
|
|
160 |
|
170 |
|
180 |
|
190 |
|||
|
0,45 |
|
0,4 |
|
0,36 |
|
0,32 |
|
|
0,29 |
|
0,26 |
|
0,23 |
|
0,21 |
|||
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поперечные сечения
ПримерРис. 1616.
74
Пример 16
Дано: l = 2 м, Р = 160 кН, [ ] = 160 МПа, Материал – Ст.3: Е = =200ГПа
Определить: b = ? Ркр = ? nу = ? Решение:
1. Геометрические характеристики поперечного сечения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = 2b 2 |
- b 0,8b = 2,34b2; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I z |
|
2b 4 |
|
b 0,8b 3 |
|
= 0,743b4; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I y |
|
2b 4 |
|
0,8b b3 |
|
= 0,719b4; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Рис. 16.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,719b4 |
|
|
|
||||||
Imin = Iy = 0,719b4; |
|
|
|
i |
|
|
|
Imin |
|
|
0,554b. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
A |
|
|
|
|
2,34b2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Расчет на прочность. Условие прочности на сжатие |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
P |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2,34b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
160 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P |
|
|
2,07 10 2 м (2,07 см). |
||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2,34 |
|
2,34 160 106 |
|
|||||||||||||||||||||||
3.Расчет на устойчивость. Метод последовательных приближений
1 шаг (итерация) |
1 = 0,5 |
Условие устойчивости
|
|
|
|
|
|
N |
|
P |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
2,34b2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
160 103 |
|
|
|||
|
|
P |
|
|
|
2,92 10 2 м (2,92 см). |
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
2,34 1 |
|
2,34 0,5 160 106 |
||||||||||
Гибкость стержня
75
|
l |
|
l |
|
1 2 |
= 124. |
|
imin |
0,554b |
0,554 2,92 10 2 |
|||||
|
|
|
|
Из табл. 16а находим коэффициенты уменьшения допускаемых нап-
ряжений: |
|
120 = ( = 120) = 0,45; |
130 = ( = 130) = 0,4. |
Используя линейную интерполяцию, запишем |
|
* |
|
120 |
130 |
130 124 0,4 |
0,45 0,4 |
6 = 0,43. |
|
|
|
||||||
1 |
124 |
130 |
130 |
120 |
10 |
|
|
|
|
|
|
||||
То есть решение взято "в вилку", следующий (второй) шаг берѐтся по середине интервала [ 1, *1].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
0,5 0,43 |
|
|
|
|
|||||||
2 шаг (итерация) |
|
2 = 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= 0,465. |
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,03 10 2 м (3,03 см). |
|||||||||||
|
2,34 2 |
|
|
2,34 0,465 160 106 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
= 119. |
|
|||||
|
|
|
|
|
imin |
0,554b |
0,554 3,03 10 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
* |
|
|
|
110 |
120 120 119 0,45 |
0,52 0,45 |
1 = 0,457. |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
119 |
120 |
|
|
|
120 110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Относительное отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,465 0,457 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 *2 |
100% |
|
100% 1,72%. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,465 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В виду того, что < 3%, процедуру итераций можно завершить и принять b 3,03 см.
4. Расчет критической силы. Поскольку гибкость стержня = 119 >
100, используем обобщенную формулу Эйлера |
|
||||||||||
P |
2EI |
min |
2E 0,719b4 |
2 2 108 0,719 3,03 10 2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 299 кН. |
||
кр |
l 2 |
l 2 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Коэффициент запаса устойчивости |
|
|
|||||||||
|
|
|
nу |
|
Pкр |
|
|
299 |
|
1,87 . |
|
|
|
|
Р |
|
160 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Как правило, сжатые элементы конструкций имеют большие размеры сечений, чем растянутые. Дело в том, что при увеличении
76
длины l размеры сечений стержней, работающих на растяжение, не изменяются; размеры сечений стержней, работающих на сжатие, увеличиваются.
УДАР
|
|
k |
|
, |
|
|
k |
|
, |
k |
|
1 1 |
2h |
|
2h |
. |
д |
ст |
д |
ст |
д |
|
|
||||||||||
|
д |
|
|
д |
|
|
|
fст |
|
fст |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь д и д - динамические напряжения и перемещения; ст и ст - их статические аналоги; kд - коэффициент динамичности; h - высота
падения груза; fст – прогиб сечения балки под грузом Q, приложенного статически (перемещение "места" удара в направлении удара).
Задание 17
Из условия прочности по нормальным напряжениям рассчитать допускаемую высоту падения груза весом Q на балку, расчетная схема которой представлена на рис. 17.1. Предусмотрены два варианта конструкций:
Материал - Ст. 3 ( т=240 МПа, nт=2).
Материал - Древесина ( в=240 МПа, nв=2)
Для расчета динамического коэффициента использовать приближенную формулу
kд |
2h |
, |
|
||
|
fCT |
|
где fCT - прогиб сечения балки под грузом Q, соответствующий стати-
ческому приложению нагрузки.
Определить величину динамического прогиба сечения балки под грузом Q.
Правую абсолютно жесткую опору балки заменить упругим элементом (пружиной) с податливостью 11=4 10-6 м/Н, где 11 – статическое перемещение (осадка пружины) от силы, равной 1Н. Сопоставить величины наибольших нормальных напряжений: для балки на абсолютно жестких опорах и для балки с податливой правой опорой. Массой балки пренебречь. Данные взять из табл. 17.
77
Древесина
Древесина
Древесина
Древесина
Рис. 17.1
78
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Номер схемы |
|
Номер строки |
|
Q, |
|
|
|
|
a, |
|
|
|
|
|
|
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
КН |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
4 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
5 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
6 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
7 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
8 |
|
|
7 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
9 |
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
0 |
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: Q = 0,5 кН; |
h = 0,5 м; a = 0,4 м; |
|
b = 0,05 м; |
E = 200 ГПа; |
||||||||||||||||
11 = 4 10-6 м/Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить: дmax = ? |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Напряжения статические |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
максимальные |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
М zmax |
|
|
Qa 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
Wz |
|
|
b3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 10 3 0,4 3 |
4,8МПа. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,053 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Упругие |
|
перемещения, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
обусловленные изгибом балки, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(определяются |
|
|
по |
правилу |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Верещагина) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рис. 17.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
fст* |
Qa3 |
|
6Qa3 |
|
|
6 0,5 10 3 0,43 |
= 1,536 10-2 см. |
|
|
|||||||||||
EIz |
Eb4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 105 0,054 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Упругие перемещения, обусловленные податливостью пружины, находятся из подобия треугольников (рис. 17.2 б )
fст** |
3 |
|
3 |
|
3 |
Q 11 |
|
9 0,5 103 4 10 6 |
||||
|
|
|
|
|
|
= 0,45 см. |
||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь = R 11 - осадка пружины, R = |
3 |
Q - реакция пружины (опреде- |
||||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ляется из уравнения равновесия).
4.Коэффициенты динамичности:
Схема а
kд |
|
2h |
|
|
2 50 |
|
= 80,7. |
|
fст* |
1,536 10 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Схема б
kд |
|
|
2h |
|
|
|
2 50 |
|
= 14,7. |
|
|
|
|
|
|||||||
fст* |
fст** |
0,01536 0,45 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5.Напряжения динамические максимальные:
Схема а
дmax kд дmax = 80,7 4,8 = 387 МПа.
Схема б
дmax kд дmax = 14,7 4,8 = 70,6 МПа.
Таким образом, замена правой абсолютно жесткой опоры на податливую опору (пружину) позволяет понизить уровень динамических напряжений при ударном приложении нагрузки почти в 5,5 раза. При статическом приложении нагрузки уровень напряжений не зависит от жѐсткости опорной конструкции. Последнее утверждение касается исключительно статически определимых систем.
80