posobie_tau

угол , если его начало, т. е. корень si, расположен слева от мнимой оси,

и на угол – , если корень расположен справа от мнимой оси

(рис. 4.9).

Рис. 4.9. Геометрическая трактовка принципа приращения аргумента вектора D(j )

Предположим, что полином D(s) имеет k правых корней и (n – k) левых.

Тогда при изменении от - до + изменение (приращение) аргумента D(jω), равное сумме углов поворотов векторов (jω – si), равно:

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до + , изменение (приращение) аргумента вектора D(jω) будет вдвое меньше:

В основу частотных критериев устойчивости положены выражения (4.12) либо (4.13), формализующие «принцип аргумента» из теории функций комплексного переменного.

4.3.2 Критерий устойчивости систем автоматического управления Михайлова

Этот критерий устойчивости, сформулированный в 1938 г. советским ученым Михайловым А.В., является, по существу, геометрической интерпретацией принципа аргумента и позволяет судить об устойчивости систем на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой

111

кривой Михайлова. Исходным материалом является дифференциальное уравнение, передаточная функция, либо АФЧХ замкнутой системы.

Полином левой части дифференциального уравнения замкнутой системы, либо знаменатель передаточной функции замкнутой системы есть исходный характеристический полином замкнутой системы:

Если подставить в этот полином чисто мнимое значение s = jω, то получим комплексный полином, называемый полиномом Михайлова:

вещественная и мнимая функции Михайлова соответственно.

Функции D(ω) и φ(ω) представляют собой модуль и фазу (аргумент) вектора D(jω).

При изменении частоты ω вектор D(jω), изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

Согласно принципу аргумента, угол поворота вектора D(jω) вокруг начала координат при изменении частоты ω от 0 до + равен:

Из (4.17) следует, что число правых корней k будет равно нулю при условии:

Условие (4.18) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней характеристического уравнения замкнутой САУ были левыми, иначе говоря, среди них не должно быть корней, лежащих на мнимой

112

оси и обращающих в нуль комплексный полином D(jω), т. е. должно выполняться еще одно условие:

Формулы (4.18) и (4.19) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова:

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(jω) при изменении ω от 0 до + повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг

начала координат против часовой стрелки на угол n 2 , где n – порядок

характеристического полинома.

Заметим, что для устойчивых САУ кривая Михайлова начинается при = 0 на вещественной положительной полуоси, поскольку при a0 > 0, все коэффициенты характеристического полинома положитель-

ны и D(0) = an > 0.

Кроме того, для устойчивых САУ, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, фаза (аргумент) φ(ω) с ростом частоты должна возрастать монотонно, т. е. вектор D(jω) должен поворачиваться только против часовой стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые (положительные) знаки фазы элементарных векторов (jω – si), являющиеся слагаемыми фазы вектора D(jω).

Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты от 0 до + , начинаясь при = 0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости; n – порядок характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец её уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которой равен порядку характеристического уравнения (степени полинома).

Кривые Михайлова устойчивых замкнутых САУ, описываемых дифференциальными уравнениями от первого (n = 1) до пятого(n = 5) порядков, приведены на рис. 4.10. Для удобства сравнения коэффициенты an во всех случаях приняты одинаковыми.

113

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора D(jω) ока-

зывается меньше, чем n 2 .

jV

n = 2

n = 1

n = 4

Рис. 4.10. Кривые (годографы) Михайлова для устойчивых САУ различных порядков

Число правых корней неустойчивой системы можно определить по формуле (4.17).

На рис. 4.11 показаны кривые Михайлова для неустойчивых систем.

На рис. 4.11, а система неустойчива, т. к. при = 0 кривая Михайлова начинается на отрицательной вещественной полуоси.

На рис. 4.11, б порядок уравнения n = 5, а кривая Михайлова полностью находится в одном квадранте, следовательно, система неустойчива.

На рис. 4.11, в система неустойчива, т. к. нарушена последовательность прохождения квадрантов.

Условие нахождения САУ на границе устойчивости по Михайлову

(рис. 4.12):

U () 0 D( j) 0 .

V () 0

114

Рис. 4.11. Кривые Михайлова неустойчивых замкнутых САУ

jV

0

U

n = 4

Рис. 4.12. Кривая Михайлова замкнутой САУ на границе устойчивости

4.3.3 Критерий устойчивости систем автоматического управления Найквиста

Опубликован в 1932г. американским ученым Найквистом. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой

САУ (рис. 4.13) по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Рис. 4.13. Структурная схема замкнутой САУ

Передаточная функция замкнутой системы относительно сигнала рассогласования по задающему воздействию:

115

Числитель выражения (4.21) Dраз(s) + Kраз(s) есть характеристический полином замкнутой системы Dз(s), знаменатель Dраз(s) – характеристический полином разомкнутой системы.

Так как в технически реализуемых системах порядок полинома Kраз(s) не выше порядка полинома Dраз(s), то порядки полиномов числителя и знаменателя выражения (4.21) равны между собой и равны n.

Тогда характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой САУ соответствуют следующим выражениям:

Примем, что характеристическое уравнение замкнутой САУ Dз(s) = 0 имеет l правых корней и (n – l) левых корней. А характеристическое уравнение разомкнутой САУ Dраз(s) = 0 – k правых и (n – k) левых корней.

Тогда приращение аргумента вектора 1 + Wраз(jω) равно:

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми, т. е. l = 0.

Отсюда следует, что суммарный поворот вектора 1 + Wраз(jω) устойчивой САУ вокруг начала координат при изменении частоты от 0 до + в направлении против часовой стрелки должен быть равен k.

На комплексной плоскости начало вектора (1+Wраз(jω)) находится в точке с координатами: (-1; j0), а конец на АФЧХ разомкнутой системы,

116

Из этого следуют формулировки критерия Найквиста.

Если разомкнутая система автоматического управления устойчивая, k = 0, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами [-1; j0] (рис. 4.14).

На рис. 4.15 изображены примеры амплитудно-фазовых частотных

характеристик разомкнутых систем.

Im

Re

3 1

4

1 – замкнутая система абсолютно устойчива; 2 – замкнутая система условно устойчива; 3 – замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости; 4 – замкнутая система неустойчивая.

Рис. 4.15. Типовые годографы АФЧХ разомкнутых САУ

117

Если же разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика неустойчивой разомкнутой системы (k > 0) при изменении частоты от 0 до + охватывала точку -1 j0 в положительном направлении (k/2) раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Назовем переход Wраз(jω) через вещественную ось слева от точки-1 j0, т. е. через отрезок (–; –1), положительным, если он идет сверху вниз, и отрицательным, если он идет снизу вверх. Если Wраз(jω) начинается на отрезке (-; –1) при = 0, или заканчивается на нем при= + , то в этих случаях считают, что она совершила полперехода.

Рис. 4.16. Переходы Wраз(jω) через вещественную ось слева от точки [-1; j0]

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой САУ через отрезок вещественной оси (-; -1) при изменении частоты от 0 до + была равна (k/2), где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САУ.

4.3.4 Критерий Найквиста для астатических систем автоматического управления

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой астатической системы автоматического управления имеет вид:

Wраз ( j) ( j )v D0раз ( j) .

Для применения критерия Найквиста АФЧХ астатической системы условно начинается на вещественной положительной полуоси и при0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, рав-

ный 2 .

Если разомкнутая астатическая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ампли-

118

тудно-фазовая частотная характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до + , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса до вещественной положительной полуоси, не охватывала точку с координатами -1 j0 (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Амплитудно-фазочастотные характеристики устойчивых разомкнутых систем

При неустойчивой разомкнутой астатической системе замкнутая система будет устойчива, если при изменении частоты ω от 0 до +∞ ам- плитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой астатической системы Wраз(jω), дополненная дугой ν( /2) бесконечно большого радиуса, охватит точку -1 j0 в положительном направлении k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Астатическая система абсолютно устойчивой может быть лишь при степени астатизма ν ≤ 2. При большей степени астатизма может быть получена лишь условная устойчивость.

119