53

Рис. 2.19. График первой вспомогательной функции

Шаги алгоритма с первого по пятый повторяются до тех пор, пока в уравнении остаётся хотя бы одна вспомогательная функция.

Найденные по этому алгоритму выражения f1 (x1 ), f2 (x2 ) позволяют

получить в окончательном виде уравнение математической модели. Например, если

2.8. Математические модели на основе активных экспериментов

При исследовании многофакторных систем возможно два подхода. В первом случае изучается влияние на выходной параметр (y) каждого фактора в отдельности при фиксированных значениях остальных. При таком подходе приходится рассматривать (n!) комбинаций факторов, что приводит к большому объему экспериментальной работы и значительным финансовым затратам. Существенное сокращение всех видов затрат достигается при реализации специальных планов экспериментов, позволяющих выбрать оптимальное количество точек факторного пространства.

54

Идея многофакторного эксперимента была предложена английским математиком Р. Фишером в 20-х годах прошлого века.

В теории планировании экспериментов для описания зависимости выходного параметра y от факторов ( x1 , x2 ,...xn ) используют понятие функ-

ции отклика: y =ϕ(x1 , x2 ,...xn ) . Геометрические образ, соответствую-

щий этой функции, называется поверхностью отклика (рис.2.20). Совокупность факторов образует так называемое факторное простран-

ство. Поверхность отклика может быть представлена на факторной плоскости (x1, x2 ) линиями постоянных значений функции отклика.

ϕ(x1, x2 )

x1

x2

Рис. 2.20. Поверхность отклика

Планирование экспериментов связывают прежде всего с задачей минимизации числа необходимых экспериментов по оценке влияния на Y. При построении плана стремятся получить ряд оптимальных свойств:

максимальную точность (минимальную дисперсию) в исследуемой области при заданном числе опытов,

независимость (некоррелируемость) оценок влияния оценок разных факторов.

Условия постановки опытов описываются в виде специальной таблицы, которая называется планом эксперимента.

Для повышения эффективности экспериментальных исследований применяются специальные методы планирования, которые позволяют одновременно изменять все факторы и получать количественные оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействия для уравнения регрессии.

Существуют различные схемы планирования экспериментов, которые выбираются в зависимости от размерности модели, от известного или предполагаемого распределения вероятностей ошибок измерения, от вида поверхности отклика и т.д.

55

2.8.1. Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) предусматривает исследования в некоторой локальной области влияния на выходной параметр изменения всех возможных комбинаций факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Необходимое число экспериментов для ПФЭ определяется по формуле

где n – число факторов, L – число уровней варьирования.

Уровнем фактора называют значение фактора, которое должно фиксироваться при проведении эксперимента.

Наиболее простым является ПФЭ, в котором каждый фактор может принимать только два значения ( L = 2 ). Обычно эти значения выбирают на границах диапазона изменения фактора. Таким образом, в ходе экспе-

римента каждый фактор принимает максимальное zi max или минимальное zi min значения. Полный перечень экспериментов с указанием значений

факторов в каждом из них оформляется в виде специальной таблицы – матрицы планирования (табл.2.9).

Таблица 2.9

Вматрице планирования эксперимента каждая строка отвечает условиям проведения одного опыта, каждый столбец определяет значения одного фактора в разных опытах. Таким образом, план эксперимента можно рассматривать, как геометрическую интерпретацию расположения опытных точек в факторном пространстве (рис.2.21).

Вполном факторном эксперименте рассматриваются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Обычно центр плана совмещают с началом координат факторного пространства.

Эта операция эквивалентна преобразованию столбцов матрицы планирования в соответствии с выражениями:

56

где z j – диапазон варьирования j- го фактора, z j0 – значение j-го фактора в центре плана, zij – (натуральное) значение j-го фактора в i-м опыте.

Применив формулы (2.74) ко второму и третьему столбцам таблицы 2.9, получим кодированные значения факторов для ПФЭ. Координаты центра плана в кодированной матрице планирования с основанием 2 будут

равны нулю ( x10 = 0, x20 = 0 ).

Рис. 2.21. Расположение опытных точек в плане 1-го порядка

Матрица планирования с натуральными значениями факторов (столбцы 2-3) используется для проведения экспериментов. Строки матрицы независимы и не регламентируют порядок проведения опытов. Очевидно, для табл.2.9 удобнее поменять местами строку 2 и строку 3. Это позволит сгруппировать опыты при одинаковой температуре, что позволит сократить общее время эксперимента.

Матрица планирования может реализовываться m раз, в этом случае мы получим выборку параллельных значений y. С целью экономии общих затрат на экспериментальные исследования для постановки параллельных экспериментов и проверки воспроизводимости (y) можно использовать дополнительную точку плана, чаще всего для этого используют центр плана.

Матрица планирования в кодированном виде обладает следующими полезными свойствами:

∑x ji = 0;

i=1

i=1

Первое свойство (2.75) имеет специальное название – свойство ортогональности. Ортогональность двух столбцов матрицы планирования означает полное отсутствие корреляции соответствующих факторов; следовательно, их оценки тоже не коррелированны.

На основании экспериментальных данных и кодированных значений факторов рассчитываются оценки коэффициентов регрессии для уравнения вида

В ходе регрессионного анализа устанавливается однородность выборочных дисперсий параллельных измерений, значимость коэффициентов регрессии и адекватность уравнения регрессии. Так как матрица ПФЭ обладает свойством ортогональности, коэффициенты регрессии не коррелированы между собой. Это приводит к изменению методики проверки значимости коэффициентов.

Если для любого коэффициента не выполняется соотношение

этот коэффициент считается незначимым и исключается из уравнения

(2.78): bi =0. Значения остальных коэффициентов не изменяются.

Методика проверки гипотез об однородности выборочных дисперсий параллельных измерений и адекватности уравнения регрессии та же, что и при обработке результатов пассивного эксперимента.

2.8.2. Дробный факторный эксперимент

С увеличением числа факторов ( n ) резко возрастает число опытов в ПФЭ ( N ). Для уменьшения объёма экспериментальной работы можно использовать дробный факторный эксперимент (ДФЭ). План ДФЭ создаётся на основе определённой части плана ПФЭ, поэтому его иногда называют дробной репликой ПФЭ. Число необходимых опытов для постановки

где p – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия при построении плана ДФЭ.

Расчёт оценок коэффициентов регрессии и проверка статистических гипотез по результатам ДФЭ осуществляются с использованием тех же со-

отношений, что и при постановке ПФЭ. Однако найденные значения bi являются смешанными оценками генеральных коэффициентов регрессии βi .

Для получения достаточно точных оценок коэффициентов уравнения регрессии можно обойтись количеством опытов, меньшим, чем в ПФЭ.

Особенности ДФЭ:

1)с уменьшением числа опытов N появляется корреляция между некоторыми столбцами матрицы планирования;

2)следовательно, становится невозможно раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия;

3) следовательно оценки bi получаются смешанными.

Рассмотрим пример. Пусть надо построить математическую модель в виде линейного уравнения регрессии:

Тогда для ПФЭ необходимо поставить 8 опытов ( N = 23 ), в ДФЭ

число опытов можно уменьшить до четырех ( N = 23−1 ). Второй и третий столбцы матрицы планирования (табл.2.10) заполняются так же, как в ПФЭ, а четвертый столбец формируется с помощью специального алгебраического соотношения – генерирующего соотношения.

Генерирующим называется соотношение, показывающее, какие взаимодействующие факторы заменены новыми.

Для рассматриваемого примера возможно использование одного из следующих генерирующих соотношений: x1x2 = x3 или − x1x2 = x3 .

Таблица 2.10

59

С помощью столбцов 2-4 и результатов эксперимента (выборки значений Y) можно найти оценки коэффициентов регрессии b0 , b1 , b2 , b3 , ха-

рактеризующие линейные эффекты. Расчет осуществляется по тем же формулам (2.79), что и для ПФЭ.

Любая найденная на основе плана ДФЭ оценка коэффициента регрессии является смешанной, т.к. характеризует не отдельный теоретический коэффициент регрессии, а совокупный эффект, получающийся из-за совпадения пар столбцов в матрице планирования (например, столбец 2 совпадает со столбцом 6, а третий столбец – с пятым). Очевидно, найденная

по четвертому столбцу ( x1 x2 = x3 ) оценка коэффициента ( b3/ ) будет характеризовать не только линейный коэффициент β3 , но и эффект парного

взаимодействия β12 : b3/ → β3 + β12 .

На основе матрицы ДФЭ (табл.2.10) можно получить оценки для линейных коэффициентов. Их смешанный характер определяют соотношения вида:

где β0 , β1 , β2 , β3 – коэффициенты регрессии, b1/ ,b2/ ,b3/ ,b0/ – оценки ко-

эффициентов.

В рассматриваемом примере матрицу планирования для ДФЭ можно построить также с помощью генерирующего соотношения − x1x2 = x3

(табл.2.11).

Таблица 2.11

Объединим две матрицы планирования, получим план типа 23 , где линейные эффекты определяются раздельно:

61

Предположим, что существует априорная информация, что все тройные взаимодействия незначимы (статистически равны нулю), тогда уравнение модели примет вид

yˆ =b0 +b1x1 +b2x2 +b3x3 +b4x4 +b12x1x2 +b13x1x3 +b14x1x4 +b23x3x2 +...+bijxixj.

В соответствии с членами уравнения найдем произведения определяющего контраста на факторы и их взаимодействия, определив тем самым соотношения для смешанных оценок:

Так как все тройные взаимодействия незначимы, то из (2.84) следует,

что найденные оценки b1,b2 ,b3,b4 будут раздельными характеристиками

линейных эффектов. Из (2.85) следует, что оценки для парных взаимодействий будут смешанными.

2.8.3. Построение моделей на основе планов второго порядка

Уравнения математических моделей, полученных путем полного или дробного факторных экспериментов используют для решения двух типов задач: прогнозирования и оптимизации.

Задача прогнозирования заключается в определении оценки выходного параметра ( yˆ ) для заданных значений факторов ( X j ). Очевидно, если

найдены оценки коэффициентов уравнения модели, значение yˆ получается простой подстановкой значений факторов в уравнение.

Задача оптимизации сводится к поиску таких значений факторов ( X 0 ),

при которых ( yˆ ) или некоторый функционал F( yˆ ) принимают экстремальное значение. При решении задач оптимизации осуществляется направленное движение в факторном пространстве от некоторой исходной точки ( x18 , x28 ,...xn8 ) по направлению к точке экстремума ( x10 , x20 ,...xn0 ) (рис.2.20).

64

Из последнего условия получают уравнение для звездного плеча:

α = (N Я2 + N Я (NЗв +1) − N Я / 2) . (2.91)

Для определения звездного плеча можно пользоваться готовыми таблицами (табл. 2.13), составленными для разного числа факторов. На число опытов в центре плана ограничений не накладывается.

Матрица планирования для ортогонального центрального композиционного плана при n=2, NО =1 и α=1, полученная путем пересчета по (2.89)

двух последних столбцов в табл.2.12, приведена в табл. 2.14.

Таблица 2.14

В силу ортогональности матрицы (табл.2.14) все коэффициенты уравнения модели определяются независимо один от другого:

i=1

66

где cn2 – число сочетаний по два из n факторов (число парных взаимодействий).

2.8.4. Алгоритм построения регрессионных моделей на основе планирования экспериментов

Рассмотрим последовательность проведения экспериментов при построении математической модели экспериментально-статистическими методами.

1. На первом шаге необходимо выполнить содержательное описание исследуемого объекта, выделив два множества характеристик: зависимые и независимые. Зависимые характеристики можно рассматривать как составляющие вектора выходных координат объекта Y. Для построения математической модели в форме уравнения регрессии выбираем одну из со-

ставляющих этого вектора ( y1 Y ). В создаваемой модели y1 рассматривается в качестве выходного параметра ( y1 = y ).

2. Используя выборку наблюдений за y1 , выполняют проверку гипотезы о нормальном законе распределения для выходного параметра, а также допущения о стационарности объекта. Чтобы оценить характер эмпириче-

ского распределения y1 , можно использовать критерий Пирсона:

где K – число интервалов разбиения выборки N; M j – число значений слу-

где λ – число оцениваемых параметров в законе распределения.

3. Проводится анализ множества независимых характеристик, в ходе которого выделяются характеристики линейно независимые, существенно

влияющие на y1 . В создаваемой модели эти характеристики будут рассматриваться в качестве факторов (Х).

67

4. Для каждого фактора определяется допустимый интервал, опреде-

ляющий границы изменений xi min ≤ xi ≤ xi max , i = 1,...n . Нарушение этого интервала может привести к аварийным последствиям.

5. Выбирается базовая точка факторного пространства, которая совме-

он не был меньше удвоенной среднеквадратичной ошибки фактора [9]. Иными словами, изменение фактора на величину ( xi ) должно значи-

мо (не случайно) влиять на выходной параметр. При этом выполняется

требование: xi <0,5 (xi max − xi min ), i =1,...n. Обычно шаг варьирования определяется на основе априорной информации и при необходимости корректируется.

7. Задается число уровней варьирования для каждого фактора. Наибольшее распространение получили планы с основанием два (при L=2).

Двухуровневый план эффективен (n>3), когда для проверки адекватности модели имеется достаточное число степеней свободы, т.е. имеется превышение числа опытов N над числом определяемых коэффициентов моде-

ли (n+1).

8. Рассчитываются верхние и нижние границы значений факторов для выбранного шага варьирования:

9.Составляется матрица планирования полного (или дробного) факторного эксперимента.

10.На основе матрицы планирования и с учетом вида физических параметров, изменяемых в ходе опытов, формируется список (S1), устанавливающий последовательность чередования опытов.

11.Выполняется весь объем экспериментальных исследований в соответствии с (S1). Регистрируется выборка значений выходного параметра (Y), по возможности выполняются параллельные замеры (Y). Пример в табл. 2.15.

12.Для оценки воспроизводимости (Y) рассчитываются выборочная дисперсия параллельных измерений (2.21) и критерий Кохрена (2.22) (пример в табл. 2.16).

68

13. Если Gras ≤ Gtab , то воспроизводимость выходного параметра хорошая, и выборку Y можно использовать для построения модели (перейти к шагу 14). Если Gras > Gtab , то выборочные дисперсии параллельных из-

мерений Y не однородные и следует проанализировать причину такого результата. Необходимо выделить точки с большим отклонением от среднего по параллельным замерам и повторить эти опыты (перейти к шагу 11).

14.Выполняется расчет оценок дисперсии воспроизводимости (2.24), оценок линейных коэффициентов регрессии, средних квадратических отклонений коэффициентов регрессии и расчетных значений критерия Стьдента (пример на рис. 2.23).

15.Если tbi ≥ ttab , то коэффициент bi значимый, если tbi < ttab , то bi слу-

чайно отличен от нуля, это незначимый коэффициент bi = 0 . После удаления всех незначимых коэффициентов переход к шагу 16.

16. Расчет критерия Фишера для линейного уравнения. Например,

69

y = b0 +b1 x1 +b2 x2 +b3 x3 = 3.09 +1.7 x1 +1.32x2 +5.66 x3 .

Результаты расчетов, полученные в Excel, приведены на рис.2.24.

17.Если Fras ≤ Ftab то перейти к шагу 18, иначе – к шагу 20.

18.Расчет коэффициента множественной корреляции.

Рис.2.23. Результаты расчетов на шаге 14, полученные в Excel

19. Если R ≤0,8 , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если R > 0,8 , то можно принять гипотезу о математической модели в виде линейного уравнения регрессии y = b0 +b1 x1 +b2 x2 ... +bn xn . Модель в виде линейного уравнения регрессии адекватна (конец).

Рис.2.24. Результаты расчетов на шаге 16, полученные в Excel

20. Для повышения точности уравнения модели можно попытаться уменьшить шаг варьирования факторов { x1 ,... xn }, i =1,...n.

Если условие xiнов < xi выполняется, то следует вернуться к шагу 8 и

повторить расчет коэффициентов, характеризующих линейные эффекты. Если уменьшить шаг варьирования факторов не удается, то необходи-

мо дополнить уравнение эффектами взаимодействия.

70

21. Выполняется оценка коэффициентов регрессии ( bij ), характеризующих взаимодействия (2.79), средних квадратических отклонений коэффициентов ( Sbij ) и расчетных значений критерия Стьюдента ( tbij ).

Если tbij > ttab , то коэффициент bij значимый, если tbij < ttab , то bij случайно отличен от нуля, это незначимый коэффициент ( bij = 0 ). После уда-

ления всех незначимых коэффициентов переход к шагу 22. 22. Расчет критерия Фишера для уравнения вида

y= b0 + b1 x1 + b2 x2 ... + bn xn + b12 x1 x2 +.... + bij xi x j +...

23.Если Fras ≤ Ftab , то перейти к шагу 24, иначе – к шагу 26.

24.Расчет коэффициента множественной корреляции.

25.Если R ≤ 0.8 , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если R >0.8 , то можно принять гипотезу о математической модели в виде нелинейного уравнения регрессии

y = b0 + b1 x1 + b2 x2 ... + bn xn + b12 x1 x2 +.... + bij xi x j +... .

Модель в виде найденного нелинейного уравнения регрессии адекватна (конец).

26. Необходимо перейти к формированию плана второго порядка: ортогонального, центрального, композиционного плана (ОЦКП).

В качестве ядра плана принимается матрица планирования, созданная на шаге 9. Задаются параметры N0 , Nзв . Корректируется матрица плана.

27.Проводятся дополнительные опыты: в звездных точках и в центре плана. Регистрируется выборка значений выходного параметра (Y) в дополнительных опытах.

28.Так как выборка Y расширена новыми значениями, необходимо выполнить заново проверку воспроизводимости (2.21), (2.22).

29.Если Gras ≤ Gtab , то воспроизводимость выходного параметра хорошая, и выборку Y можно использовать для построения модели (перейти

кшагу 30). Если Gras > Gtab , то выборочные дисперсии параллельных из-

мерений Y не однородные и следует проанализировать причину такого результата. Необходимо выделить точки с большим отклонением от среднего

по параллельным замерам yi и повторить эти опыты (перейти к шагу 27).

30.Расчет оценок дисперсии воспроизводимости (2.24), оценок коэффициентов регрессии (2.92) - (2.94), средних квадратических отклонений коэффициентов и расчетных значений критерия Стьюдента.

31.Учитывая условие (2.90), из уравнения модели удаляются все незначимые коэффициенты.

71

32. Выполняется расчет критерия Фишера для квадратичного уравнения вида

33. Если Fras ≤ Ftab , то надо перейти к шагу 34, в противном случае сле-

дует переходить к другим формам нелинейных зависимостей (например, трансцендентному уравнению).

34. Расчет коэффициента множественной корреляции. Если R ≤ 0.8 , то рекомендуется увеличить число факторов и перейти к шагу 4. Если R >0.8 , то можно принять гипотезу о математической модели в виде квадратичного уравнения регрессии. Модель в виде найденного уравнения регрессии адекватна:

Контрольные вопросы

1)Что характеризует остаточная дисперсия ?

2)Что характеризует дисперсия воспроизводимости и дисперсия Y (относительно среднего значения)?

3)Какая формула используется для оценки остаточной дисперсии ?

i=N

4)Что характеризует функционал ∑( yi −b0 −b1 x1i )2 min ?F =

i=1

5) Предварительный анализ результатов наблюдения за объектом показал, что

Какие координаты объекта можно включить в список факторов при постановке пассивного эксперимента?

6)Какой формулой пользуются при проверке адекватности модели, если в каждом эксперименте осуществляется только один замер Y ?

7)Какие требования предъявляются к факторам при подготовке пассивного эксперимента?

8)Если между выходным параметром y и фактором x1 нет линейной взаимосвязи, каков будет выборочный коэффициент парной корреляции ?

9)Для каких объектов можно построить математическую модель в виде уравнения регрессии?

10)В ходе обработки результатов пассивного эксперимента получены результаты:

Какое уравнение следует рассматривать на следующем шаге общей методики построения модели в виде множественного уравнения регрессии ?

11) На основе пассивного эксперимента получена математическая модель y) = 4.3 + 2.2 x1 .

а) Оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, если T_tab = 2.5

и tb1 = 9.5, tb0 =0.1.

б) Что делать в случае обнаружения незначимого коэффициента?

12) Какое из уравнений обеспечивает лучшую точность аппроксимации экспериментальных данных?

13) В ходе регрессионного анализа получено два уравнения:

Можно ли по этим данным определить, какое уравнение точнее?

14)Какие исходные данные необходимы, для того, чтобы определить коэффициенты регрессии?

15)Какие исходные данные необходимы, для того, чтобы определить оценки коэффициентов регрессии?

16)Для каких объектов можно построить математическую модель в виде уравнения регрессии?

17)Какие требования предъявляются к факторам при подготовке пассивного эксперимента?

18)Какая формула используется для оценки остаточной дисперсии ?

19)На основе пассивного эксперимента получена математическая модель статики:

y) = Al−RXE 1 .

а) Проверить модель на адекватность, если m=1, Fрасч.=0.51, Ftab=0.41. б) Какой метод можно использовать для определения коэффициентов А и Е ?

20) На основе ПФЭ получена математическая модель y) = 4.3 − 2.2x1 +0.95x2 −0.03x1 x2 .

73

а) Оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, если T_tab = 2.5

и

tb3 = 14; tb2 = 0.03; tb1 = 9.5; tb0 = 0.1.

б) Что делать в случае обнаружения незначимого коэффициента?

21)Область применения метода Брандона?

22)По результатам пассивного эксперимента составлена модель статики вида

y) =0.7(10 +12x1 −0.5x12 )(2 + 3x2 )0.7 x3 .

а) Какой метод использован при составлении модели?

б) Проверить уравнение модели на адекватность, если m=2 , остаточная дисперсия = 0.14; дисперсия воспроизводимости равна 0.2 и Ftab = 0.9.

23) В результате пассивного эксперимента необходимо сформировать математическую модель статики в виде уравнения

y) = b0 + b33 x13 .

Составьте соотношения для расчета оценок коэффициентов регрессии. 24) Проверить адекватность уравнения модели

y) = R(b0 +b1 x1 )(c0 +c1 x2 ) , если m=1, Fрас.=0.89, Ftab=0.98.

25) Что могло бы стать причиной неадекватности модели y) = R(b0 +b1 x1 )(c0 +c1 x2 ) ?

26) Уравнение математической модели y) = 4x1 +12x12 неадекватно, и

остаточная дисперсия равна 122. После коррекции уравнение модели имеет вид

27)В каких случаях рекомендуется применять уравнение трансцендентной регрессии?

28)Какой критерий используется для проверки: значимости оценок коэффициентов регрессии, однородности выборочных дисперсий параллельных измерений, адекватности математической модели?

29)Для чего используются критерии: F, G, t ?

30)В чем состоит методика проверки статистической гипотезы о значимости коэффициентов регрессии ?

31)Какие различия в методиках проверки этой гипотезы при построении математической модели на основе пассивного эксперимента и полного факторного эксперимента вы знаете?

74

3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ БИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Особенности задачи моделирования процессов функционирования элементов биотехнических систем

Создание новой медицинской техники требует формирования физиологически обоснованных критериев построения аппаратуры, обеспечивающих ее эффективное функционирование. Определение требований к выбору параметров и характеристик аппаратуры связано с изучением процессов, происходящих при взаимодействии технических средств и живого организма.

Эта задача требует совместного рассмотрения технических и биологических элементов в рамках единой биотехнической системы (БТС).

Исследование БТС, с целью определения требований к построению аппаратуры и алгоритмов ее функционирования, производится с помощью широкого применения математического и имитационного моделирования. Учитывая абстрактный характер коэффициентов в уравнениях моделей, построенных формальными (экспериментально-статистическими) методами, при решении задач проектирования технических устройств наиболее широко применяются аналитические методы разработки моделей.

Построение моделей технических элементов (измерительных преобразователей, исполнительных механизмов, выходных каскадов аппаратуры, элементов передачи воздействия к биологическим тканям и т.д.) осуществляется на основе известных типовых решений, описанных в литературе по моделированию технических устройств [7-9, 15]. Математические модели технических элементов БТС создаются аналитическими методами на основе классических законов сохранения вещества, энергии, механического импульса.

Наибольшие трудности возникают при разработке моделей биологических элементов БТС, которые должны отражать основные физиологические процессы организма в условиях его взаимодействия с техническими звеньями.

Модель БТС должна обеспечивать изучение как статического, так и динамического режима функционирования. Учитывая, что процессы, протекающие в организме человека, непрерывны по времени, для построения таких моделей используют различные виды дифференциальных уравнений.

Биологические системы являются трехмерными по своей структуре. Это также необходимо учитывать при построении математических моделей органов, у которых все три размера одинакового порядка: кора головного мозга, сердце, печень и др.