umf_tests

9.u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2,

uρ(a, ϕ) = 1 + 2cos3mϕ, u(b, ϕ) = 0.

10.u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2,

u(a, ϕ) = m, u(b, ϕ) = 2m.

11.u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2,

u(a, ϕ) = cos(m − 1)ϕ, uρ(b, ϕ) = 3cos2mϕ.

12.u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2,

uρ(a, ϕ) = 4sin2mϕ, u(b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.

13.u(ρ, ϕ) = 0,

uρ(a, ϕ) = 2sinmϕ + cos2mϕ, uρ(b, ϕ) = 0.

14.u(ρ, ϕ) = 0,

uρ(a, ϕ) = 0, uρ(b, ϕ) = 2cosmϕ − sinϕ.

15.u(ρ, ϕ) = 0,

uρ(a, ϕ) = sinmϕ, uρ(b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.

16.u(ρ, ϕ) = 0,

uρ(a, ϕ) = cos2mϕ − sinϕ, uρ(b, ϕ) = 4sinmϕ.

Указание 1. В краевых задачах 1 – 12 для неоднородного уравнения Лапласа (уравнения Пуассона) общее решение удобно искать в виде суммы двух функций: v(ρ) и w(ρ, ϕ), где v(ρ) - частное решение уравнения Пуассона (ищется как функция, зависящая только от ρ), а w(ρ, ϕ) - общее решение уравнения Лапласа.

Задание 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Лапласа в кольцевом секторе 0 < a < ρ < b, 0 < ϕ < απ при α = 1, 2, 3, 4

1.u(ρ, ϕ) = 0,

u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,

u(a, ϕ) = 3sinαϕ − sin2αϕ, u(b, ϕ) = 0.

2.u(ρ, ϕ) = 0,

u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,

uρ(a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = 2sinαϕ − 3sin4αϕ.

3.u(ρ, ϕ) = 0,

u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,

u(a, ϕ) = sinαϕ, uρ(b, ϕ) = 4sin2αϕ.

4.u(ρ, ϕ) = 0,

u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,

uρ(a, ϕ) = 3sin2αϕ, uρ(b, ϕ) = 5sinαϕ.

21

Тема 5. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа в областях с плоскими границами

Пусть требуется найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

Представим решение задачи (1), (2) в виде суммы

u(x, y) = U(x, y) + v(x, y),

где U(x, y) – гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция v(x, y) во всех вершинах прямоугольника обращалась в нуль, а в остальном была совершенно произвольна. Полагая

U(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy,

мы видим, что эта функция гармоническая. Коэффициенты A, B, C и D выбираем в соответствии с указанным выше условием для v(x, y).

Гармоническая функция v(x, y) удовлетворяет краевым условиям v(x, 0) = f(x) − U(x, 0), v(x, b) = F (x) − U(x, b), v(0, y) = g(y) − U(0, y), v(a, y) = G(y) − U(a, y),

Функцию v(x, y) можно представить в виде суммы четырех гармонических функций vi(x, y), i = 1, 2, 3, 4 каждая из которых принимает заданное значение на одной из сторон и обращается в нуль на остальных трех сторонах. Вид каждой функции vi(x, y) можно найти, используя метод разделения переменных.

Контрольные задания по теме:

Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b

1.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 2y2, u(a, y) = 2y2 + 2a2, u(x, 0) = 2x2, u(x, b) = 2x2 + 2b2.

2.u(x, y) = 4,

u(0, y) = y2, u(a, y) = y2 + a2, u(x, 0) = x2, u(x, b) = x2 + b2.

22

3.u(x, y) = 4 + 6x,

u(0, y) = 3y2, u(a, y) = 3y2 + a2 + a3, u(x, 0) = x2 + x3, u(x, b) = x2 + x3 + 3b2.

4.u(x, y) = 2 + 6y,

u(0, y) = 2y2 + y3, u(a, y) = 2y2 + y3 + 3a2, u(x, 0) = 3x2, u(x, b) = 3x2 + 2b2 + b3.

5.u(x, y) = 2 + 12x2,

u(0, y) = 3y2, u(a, y) = 3y2 + 2a2 + a4, u(x, 0) = 2x2 + x4, u(x, b) = 2x2 + x4 + 3b2.

6.u(x, y) = 4 + 12y2,

u(0, y) = y2 + y4, u(a, y) = y2 + y4 + 3a2, u(x, 0) = 3x2, u(x, b) = 3x2 + b2 + b4.

7.u(x, y) = 2 + 6x + 12x2,

u(0, y) = 2y2, u(a, y) = 2y2 + 3a2 + a3 + a4,

u(x, 0) = 3x2 + x3 + x4, u(x, b) = 3x2 + x3 + x4 + 2b2.

8.u(x, y) = 4 + 6y + 12y2,

u(0, y) = y2 + y3 + y4, u(a, y) = y2 + y3 + y4 + a2, u(x, 0) = x2, u(x, b) = x2 + b2 + b3 + b4.

9.u(x, y) = 6 + 6y + 12x2,

u(0, y) = 2y2 + y3, u(a, y) = 2y2 + y3 + a2 + a4, u(x, 0) = x2 + x4, u(x, b) = x2 + x4 + 2b2 + b3.

10.u(x, y) = 2 + 6x + 12y2,

u(0, y) = 3y2 + y4, u(a, y) = 3y2 + y4 + 2a2 + a3, u(x, 0) = 2x2 + x3, u(x, b) = 2x2 + x3 + 3b2 + b4.

11.u(x, y) = 2,

ux(0, y) = 1, u(a, y) = 1 + y + y2,

u(x, 0) = 1 − 2a + 2x, u(x, b) = 1 + b + b2.

12.u(x, y) = 2,

ux(0, y) = y, u(a, y) = 1 + 2y + a2,

u(x, 0) = 1 + x2, u(x, b) = 1 − a + 2b + x + x2.

13.u(x, y) = 2 + 6y,

ux(0, y) = 3y, u(a, y) = 2 + y + y2 + y3, u(x, 0) = 2 − a + x, u(x, b) = 2 + b + b2 + b3.

14.u(x, y) = 2 + 6x,

ux(0, y) = 1, u(a, y) = 1 + 3y + a2 + a3,

u(x, 0) = 1 + x2 + x3, u(x, b) = 1 − 3a + 3b + 3x + x2 + x3.

23

15.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1 − b + y + y2, u(a, y) = 1 + a + y2, uy(x, 0) = 1, u(x, b) = 1 + x + b2.

16.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1 + y2, u(a, y) = 1 + a − b + y + y2, uy(x, 0) = 2x, u(x, b) = 1 + x + b2.

17.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1 − 2b + 2y, u(a, y) = 1 + a + a2, uy(x, 0) = 1, u(x, b) = 1 + x + x2.

18.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1, u(a, y) = 1 + a + a2 − b + y, uy(x, 0) = x, u(x, b) = 1 + x + x2.

19.u(x, y) = 2,

u(0, y) = y2, u(a, y) = 1 + y2, uy(x, 0) = 2, uy(x, b) = 2b.

20.u(x, y) = 4,

u(0, y) = y + 2y2, u(a, y) = 1 + 2y2, uy(x, 0) = 0, uy(x, b) = 2.

21.u(x, y) = 2 + 6y,

u(0, y) = 2y + y2 + y3, u(a, y) = y2 + y3, uy(x, 0) = 0, uy(x, b) = 2x + 2b + 3b2.

22.u(x, y) = 4 + 12y2,

u(0, y) = 2y2 + y4, u(a, y) = 3y + 2y2 + y4, uy(x, 0) = 1, uy(x, b) = 4b + 4b3.

23.u(x, y) = 4,

ux(0, y) = 1, ux(a, y) = 4a, u(x, 0) = 2x2, u(x, b) = x + 2x2.

24.u(x, y) = 2,

ux(0, y) = 0, ux(a, y) = 3y + 2a, u(x, 0) = 2x + x2, u(x, b) = x2.

25.u(x, y) = 4 + 6x,

ux(0, y) = 2, ux(a, y) = 4a + 3a2,

u(x, 0) = 2x2 + x3, u(x, b) = 3 + 2x2 + x3.

26.u(x, y) = 2 + 12x2,

ux(0, y) = 0, ux(a, y) = y + 2a + 4a3, u(x, 0) = 1 + x2 + x4, u(x, b) = x2 + x4.

24

27.u(x, y) = 2,

u(0, y) = y + y2, ux(a, y) = 1, uy(x, 0) = 0, uy(x, b) = 2b.

28.u(x, y) = 4,

ux(0, y) = 2y, u(a, y) = 2a2,

uy(x, 0) = 2x2, uy(x, b) = 1 + 2x2.

29.u(x, y) = 2 + 6y,

ux(0, y) = 0, ux(a, y) = 1,

u(x, 0) = 3x, uy(x, b) = 2b + 3b2.

30.u(x, y) = 2 + 12x2,

ux(0, y) = 0, ux(a, y) = 2a + 4a3, uy(x, 0) = 2x, u(x, b) = 1 + x2 + x4.

31.u(x, y) = 2,

ux(0, y) = 0, u(a, y) = y + a2, uy(x, 0) = 1, u(x, b) = x2 + b.

32.u(x, y) = 4 + 6y,

ux(0, y) = 2, u(a, y) = 2y2 + y3 + a, uy(x, 0) = 0, u(x, b) = x + 2b2 + b3.

33.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1 + 2y + y2, ux(a, y) = 0, u(x, 0) = 1, uy(x, b) = 1 + 2b.

34.u(x, y) = 4 + 6x,

u(0, y) = 2, ux(a, y) = 2 + 4a + 3a2, u(x, 0) = 2 + x + 2x2 + x3, uy(x, b) = 0.

35.u(x, y) = 2,

ux(0, y) = 1, u(a, y) = 1 + y + a2, u(x, 0) = 1 + x2, uy(x, b) = 0.

36.u(x, y) = 2 + 6y,

ux(0, y) = 2y, u(a, y) = 3 + y2 + y3, u(x, 0) = 3, uy(x, b) = 1 + 2b + 3b2.

37.u(x, y) = 2 + 12x2,

u(0, y) = 1, ux(a, y) = 3y + 2a + 4a3, uy(x, 0) = 2, u(x, b) = 1 + x2 + x4.

38.u(x, y) = 2,

u(0, y) = 1, ux(a, y) = 1 + 2a,

uy(x, 0) = 0, u(x, b) = 1 + 3x + x2.

25

Литература

1.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М: Наука, 1972.

2.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М: Наука, 1975.

3.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М: Наука, 1977.

4.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М: Наука, 1981.

5.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1972.

6.Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравнениям математической физики. Новосибирск: Наука, 1974.

26