ma2002-1

1) (8x 2 A) x > b (ò.å. b является минорантой)

2) (8b0 > b) (9x) x 2 A) è x < b0 (т.е. любое большее чем b число не является минорантой и, значит, b наибольшая из минорант).

И здесь свойство 2) имеет равносильную формулировку предпочтительную 0для практического применения:

2 ) (8" > 0) (9x) x 2 A è x < b + "

(Если множество минорант пусто, по определению полагают inf A = ¡1)

Теорема. Если множество A ограничено сверху, то оно имеет (единственную) точную верхнюю грань:

A ограничено сверху ) 9!c = sup A. (9! читается как существует единственный элемент. . . )

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через B множество всех мажорант множества A:

def

b 2 B , (8x 2 A) ) x 6 b

По условию оно непусто и 8x 2 A 8b 2 B x 6 b. Согласно свойству полноты существует такое число c, ÷òî 8x 2 A 8b 2 B x 6 c 6 b. Левое неравенство говорит о том, что c мажоранта множества A, а правое, что все другие

мажоранты больше нее, т.е. c = sup A.

Единственность0 . Предположим, что0 существуют две точные верхние грани c è c множества A. Тогда c 6 c , так как по предположению c

минимальный элемент множества мажорант. По аналогичной причине c0 6 c. В силу антисимметричности отношения порядка c = c0.

Точно так же доказывается

Теорема. Если множество A ограничено снизу, то оно имеет (единственную) точную нижнюю грань:

A ограничено снизу ) 9!c = inf A.

Замечание. Из последнего доказательства легко усмотреть справедливость теоремы:

Если множество имеет максимальный элемент, то он единствен. Минимальный элемент тоже единствен, если существует.

Свойство Архимеда

Отметим, что 1 > 0, ¡1 < 0 (вообще говоря, это теоремы! Первую мы

доказали ранее).

По определению положим

N = f1; 2; 3; : : : g; ãäå 2=1+1, 3=2+1,. . .

Теорема. Если A ½ N ограничено сверху, то в нем существует максимальный элемент.

42 Клевчихин Ю.А

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме о существовании точной верхней грани у множества A имеется s = sup A. Òàê êàê s ¡ 1 < s, ïî ñâîé-

ствам точной верхней грани в множестве A найдется число (натуральное) s ¡ 1 < n 6 s. Если натуральное число n0 > n, òî n0 > n + 1 и, следовательно, n0 > s, т.е. не принадлежит множеству A. Значит, n наибольший элемент, принадлежащий(!) множеству A, т.е. является его максимальным элементом (и n = s).

Следствие 1. Множество всех натуральных чисел N не ограничено

сверху.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. eПусть N ограничено сверху. По предыдущей теореме в нем имеется максимальный элемент n = max N. Но число n + 1 натуральное (т.е. принадлежит N) è n + 1 > n?! Это противоречит максимальности n. ×.Ò.Ä.

Определение. Z = f¡n : n 2 Ng [ f0g [ N.

Следствие 2. Если множество A ½ Z ограничено снизу (соотв. сверху), то оно имеет минимальный элемент (соотв. максимальный).

Теорема (принцип Архимеда). Если число h > 0, то для любого x 2 R найдется такое n 2 Z, ÷òî (n ¡ 1)h 6 x < nh

По определению A ограничено снизу, поэтому имеет минимальный элемент. Пусть m = min A. Тогда m принадлежит A, значит, m > hx , ò.å. x < mh.

Покажем, что (m ¡ 1)h 6 x.

e (m ¡ 1)h > x. Тогда m ¡ 1 > hx , значит, m ¡ 1 2 A. Íî m ¡ 1 < m?! (противоречие с минимальностью в A числа m). ×.Ò.Ä.

Следствие 1. Для любого " > 0 найдется такое натуральное n, ÷òî

0 < n1 < ":

8" > 0 9n 2 N : 0 < n1 < ":

(9n 0 < 1 < n")

Следствие 2. Если x > 0 и для любого n имеем x < n1 , òî x = 0.

8n 2 N 0 6 x < n1 ) x = 0:

Лекция 5

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e x > 0 (строго!). Тогда 9n 0 < n1 < x?! ×.Ò.Ä.

Следствие 3. Если a, b произвольные действительные числа такие, что a < b, то найдется рациональное число r, для которого a < r < b:

(8a; b 2 R)a < b ) (9r)r 2 Q ^ a < r < b:

Следствие 4. Для любого действительного числа x найдется такое целое число n, ÷òî

n 6 x < n + 1:

(надо выбрать h = 1 в принципе Архимеда)

Определение. Целое число n, полученное в предыдущем следствии для каждого действительного числа x, называется его целой частью и обозначается [x]. Функция x 7![x] имеет такой график:

Число x¡[x] называется дробной частью числа x и обозначается fxg (íå

путать с множеством, состоящим из одного элемента x) Функция x 7!xfg имеет такой график:

y

6

q2

q1

q¡1

q¡2

Лекция 6.

Модель множества действительных чисел R

Чтобы все 16 свойств, перечисленных ранее, и все извлеченные из них следствия имели смысл, мы должны построить модель (т.е. привести пример) множества, обладающего всеми этими свойствами, так как в принципе может оказаться, что таких объектов не существует вовсе. Тогда все извлекаемые следствия ничего не означают!

Итак, нам надо сначала задать некое множество (которое мы обозначим R) и затем на нем определить две алгебраические операции + è ¢ è îòíî-

шение порядка 6 так, чтобы выполнялись все 16 свойств, перечисленных

в определении.

Наиболее широко известными (есть и другие) являются две модели множества действительных чисел (конечно же изоморфные). Одна из них модель Дедекинда, в ней действительные числа моделируются, так называемыми, сечениями множества рациональных чисел. Подробно эта модель описана в учебнике Фихтенгольца [9] и желающих с ней ознакомиться мы отсылаем к этой книге. Другая модель, к построению которой мы приступаем, реализует действительные числа как бесконечные десятичные дроби . Фактически, этой моделью мы постоянно пользуемся на практике, выписывая десятичные приближения действительных чисел, поэтому она более привычна и легче воспринимается.

Приступим к точному формальному описанию этой модели.

Определение. Бесконечной десятичной дробью называется последовательность

x = x0; x1x2x3 : : : xn : : :

ãäå x0 целое число (положительное или отрицательное), а числа xk ïðè k > 1 могут принимать любые значения из множества f0; 1; 2; : : : ; 9g.

Целое число x0 ïðè x0 > 0 è x0 ¡ 1 ïðè x0 < 0 называют целой частью действительного числа x, а последовательность 0; x1x2 : : : xn : : : дробной частью числа x.

Говорят, что бесконечная десятичная дробь периодична, если существует такое целое число N, начиная с которого некоторый отрезок дроби

xN+1 : : : xN+p бесконечно повторяется в последовательности:

Ïðè ýòîì xN+1 : : : xN+p называют периодом периодической бесконечной десятичной дроби.

Определение. Совокупность всех бесконечных десятичных дробей, не имеющих периодом 9, назовем множеством действительных чисел R.

Зададим на R сначала отношение порядка 6 (при этом мы считаем из-

вестной теорию рациональных чисел). Предварительно отметим, что модулем действительного числа x = x0; x1x2 : : : xn : : : называется число jxj =

jx0j; x1x2 : : : xn : : :

Определение. Будем говорить, что число x = x0; x1x2 : : : xn : : : равно числу y = y0; y1y2 : : : yn : : : тогда и только тогда, когда 8k > 0 xk = yk:

Будем говорить, что x > 0 (x сторо больше нуля), когда x 6= 0 è x0 > 0, т.е. когда больше нуля целая часть числа x = x0; x1x2 : : : xn : : : (для целых чисел отношение > определено!)

Определим сначала отношение < (строго меньше) для чисел больше ну-

ëÿ: åñëè x = x0; x1x2 : : : xn ¢ ¢ ¢ > 0, y = y0; y1y2 : : : yn ¢ ¢ ¢ > 0 по определению положим (определение индуктивное!)

Иначе говоря, при выполнении неравенства x < y первые несколько знаков

могут совпадать, но на первом же месте, где есть несовпадение, должно быть строгое неравенство (xn < yn). Как ведут себя остальные знаки этих бесконечных дробей, не важно! Наглядно это можно изобразить так:

46 Клевчихин Ю.А

Если одно из чисел отрицательно или равно нулю (т.е. 6 0), а другое

положительно (т.е. > 0), то по определению положительное больше.

Если они оба отрицательные, то по определению полагают меньшим то, модуль которого больше (модули уже положительны, а для них отношение < определено).

Наконец, мы полагаем x 6 y (x меньше y) тогда и только тогда, когда

x < y (x строго меньше y) èëè x = y.

Проверка выполнения первых четырех свойств отношения порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность, линейность) остается читателям в качестве утомительного, но несложного упражнения. Мы же остановимся на доказательстве свойства полноты.

Теорема. На множестве R введенное отношение порядка обладает свойством полноты.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Шаг 1. Пусть подмножества A è B èç R таковы, что 8x 2 A è 8y 2 B x 6 y и дополнительно предположим, что в A имеется элемент > 0. Докажем, что существует действительное число cотделяющее множества A è B, ò.å.

(9c)(8x 2 A)(8y 2 B) x 6 c 6 y:

Это самый сложный этап доказательства. Как мы увидим, оставшиеся слу- чаи легко решаются с его помощью.

Обозначим через X0 множество всех целых частей десятичных дробей из A:

X0 = fx0 : x = x0; x1x2 : : : xn : : : 2 Ag:

Это множество целых чисел ограниченное сверху любым из целых чисел y0, ãäå y = y0; y1 ¢ ¢ ¢ 2 B. Поэтому в нем есть максимальный элемент (см.

прошлую лекцию). Обозначим его через x0, а через A0 множество всех чисел из A, у которых целая часть совпадает с x0:

A0 = fx = x0; x1x2 : : : xn : : : : x 2 Ag:

Отметим, что A0 6= ? (по свойству 1 определения максимального элемен-

òà).Далее, обозначим через X1 множество всех первых десятичных знаков чисел из A0:

X1 = fx1 : x = x0; x1x2 : : : xn : : : 2 A0g:

Это конечное подмножество из f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g, так как только такие значения могут принимать десятичные знаки. Поэтому оно тоже имеет

максимальный элемент, скажем x1. Обозначим через A1 множество всех элементов из A0, у которых первый десятичный знак совпадает с x1:

A1 = fx = x0; x1x2 : : : xn : : : : x 2 A0g:

Продолжая так и в дальнейшем, обозначаем через ных знаков стоящих на k-ом месте в числах из Ak¡1:

Xk = fxk : x = x0; x1 : : : xk¡1xk : : : 2 Ak¡1g:

Максимальный элемент этого множества обозначаем через xk и через Ak обозначаем подмножество из Ak¡1 таких x, у которых на k-ом месте стоит

xk:

Ak = fx = x0; x1 : : : xkxk+1 : : : : x 2 Ak¡1g:

Отметим, что все множества Ak непусты.

Продолжая этот процесс до бесконечности, получим последовательность

x0; x1x2 : : : xn : : :

Если эта последовательность не имеет периодом 9, то это действительное число, которое мы и обозначим через c. Но может оказаться и так, что эта

последовательность имеет периодом 9. Заменим ее последовательностью с

нулем в периоде, увеличив на 1 десятичный знак, стоящий перед периодом и через c обозначим полученное действительное число.

Покажем, что для любых x 2 A è y 2 B x 6 c 6 y. В самом деле, для любых x 2 A имеем x 6 c по построению.

Чтобы доказать неравенство c 6 y, предположим сначала, что у нас не

возникала периодом девятка. Тогда пусть y = y0; y1 : : : yn : : : 2 B. Число y0 не может быть меньше x0, так как в противном случае любое число x èç A0 ½ A, имеющее вид x0; x1 : : : , окажется больше y, чего не может быть согласно выбору A è B. Åñëè y0 строго больше x0, то число c < y, и все доказано. Если же y0 = x0, то сравниваем следующий десятичный знак y1 ñ x1. Опять, он не может быть меньше x1, ибо в противном случае любое число из (непустого) множества A1 ½ A, имеющее вид x = x0; x1x2 : : : , было бы строго больше числа y, чего не может быть согласно выбору A è

B. Åñëè y1 > x1, то все доказано, если же y1 = x1, сравниваем следующий десятичный знак. Применение метода математической индукции (подробно провести самим), показывает, что в этом случае c 6 y.

Если же при построении числа c возникала девятка в периоде, то оно

имеет вид:

c = x0; x1 : : : xn¡1(xn + 1)00 : : :

48 Клевчихин Ю.А

Рассуждения, аналогичные предыдущим показывают, что в худшем случае мы будем иметь совпадение десятичных знаков чисел c è y вплоть до (n¡1)-

го. Покажем, что yn не может быть строго меньше (xn + 1). В самом деле, тогда yn 6 xn. Опять yn < xn противоречит выбору A è B, так как тогда любое число x 2 An больше y. Åñëè æå yn = xn, то у числа y найдется знак, стоящий после yn, который строго меньше 9 (иначе последовательность y имела бы периодом 9) т.е. число y имеет вид:

y = x0; x1 : : : xn9 : : : 9yn+kyn+k+1 : : : yn+k < 9

Но тогда любое число x 2 An+k, имеющее вид

x = x0; x1 : : : xn9 : : : 99xn+k+1 : : :

было бы больше числа y, чего не может быть в силу выбора A è B. Значит, c 6 y и в этом случае. Что и требовалось доказать.

Шаг 2. Пусть теперь все элементы из A меньше нуля. Если все элементы из B больше нуля, то в качестве числа c отделяющего множества A è B

Согласно доказанному, существует число (обозначим его ¡c) для которого

8(¡y 2 ¡B) 8(¡x 2 ¡A) ¡ y 6 ¡c 6 ¡x:

Но тогда число c обладает нужным свойством. Теорема доказана.

Определение алгебраических операций. Для определения алгебра- ических операций над действительными числами сопоставим каждому положительному действительному числу x = x0; x1x2 : : : xn : : : два множе-

ства рациональных чисел: fx(n); n 2 Ng множество нижних срезок числа

x è fx(n); n 2 Ng множество верхних срезок числа x, по определению полагая

Очевидно, для любых n; m 2 N имеем x(n) 6 x 6 x(m)

Определение суммы и произведения. Если x = x0; x1x2 : : : è y = y0; y1y2 : : : два положительных действительных числа, то полагаем

Для чисел x è y произвольных знаков операции сложения и умножения

определяются стандартным соглашением о правиле знаков . Мы на этом не будем останавливаться как и на утомительной но несложной проверке выполнения всех 9 чисто алгебраических аксиом действительных чисел. Отметим только, что, с одной стороны, это полезное упражнение для самопроверки понимания всех определений, а с другой, эти доказательства имеются во всех стандартных учебниках из списка литературы [1 4] и желающие могут прочитать их там.

Еще очень полезными являются следующие упражнения:

1. Доказать, что для положительных действительных чисел имеют место равенства:

2. Обозначим через A множество сумм всевозможных нижних срезок положительных чисел x è y:

A= fx(n) + y(m) : n; m 2 Ng;

àчерез B множество сумм всевозможных верхних срезок чисел x è y:

B = fx(n) + y(m) : n; m 2 Ng:

Очевидно, что любое число из множества A меньше любого числа из множества B.

Доказать, что x + y = c, ãäå c разделяет множества A è B. Аналогично можно определить произведение чисел x è y. Надо только

в качестве множеств A è B взять всевозможные произведения:

A = fx(n) ¢ y(m) : n; m 2 Ng; B = fx(n) ¢ y(m) : n; m 2 Ng:

Лекция 7.

Теория последовательностей

Числовая последовательность (xn)n2N это функция, определенная на множестве натуральных чисел1, для записи значений которой на аргументе n используются индексные обозначения, т.е. пишут xn, à íå x(n) как у других функций.

Напомним, что образ множества всех натуральных чисел мы обознача- ем одним из трех способов: fxn : n 2 Ng èëè fx1; x2; : : : ; xn; : : : g или просто

fxng, если это не может вызвать недоразумений.

Пример. Если xn = (¡1)n, то множество ее значений fxn; n 2 Ng = f¡1; +1g, т.е. состоит всего из двух элементов.

Определение. Говорят, что последовательность (xn)n2N ограничена сверху, если ограничено сверху множество ее значений, т.е.

9M 8n 2 N ) xn 6 M:

(существует число M большее любого члена последовательности xn).

Неограниченность сверху последовательности (xn)n2N означает, что вы- полнено свойство

8M 9n : n 2 N ^ xn > M:

мы ни взяли, в последовательности есть (существуют) члены, большие чем M)

Говорят, что последовательность (xn)n2N ограничена снизу, если огра- ничено снизу множество ее значений, т.е.

9m 8n 2 N ) xn > m:

(существует число m меньшее любого члена последовательности)

Последовательность называют ограниченной, если она одновременно ограничена и снизу и сверху. Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда

9C 8n 2 N ) jxnj 6 C:

(в качестве C можно взять maxfjMj; jmjg или любое большее число)

Отметим, что согласно общему правилу построения отрицаний, неограниченная последовательность это последовательность со свойством:

8C 9n 2 N : jxnj > C:

1как мы упоминали ранее, иногда в качестве области определения берут Z или его подмножества, очень часто f0g [ N