ma2002-1

известными аксиоматизациями теории множеств (из эквивалентных) являются: NGB Неймана-Геделя-Бернайса и ZF Цермело-Френкеля.

Мы не будем приводить здесь списков ни той ни другой систем аксиом, а воспользуемся, так называемым, наивным подходом к изложению основных из необходимых нам понятий. Практика показывает, что осторожное использование такого подхода не приводит к противоречиям.

Множества

Итак, множество мы должны представлять себе как некое собрание, совокупность, коллекцию, объединение в одно целое различимых элементов (предметов, объектов) произвольной природы (на самом деле исключи- тельно математической, т.е. множеств, чисел, функций и т.п.). Отношение x 2 A (èëè A 3 x) читается так: (элемент) x принадлежит (множеству) A

èëè x является элементом (множества) A или (множество) A содержит (элемент) x .

Если элемент x не принадлежит множеству A (ò.å. :(x 2 A)), то пишут x 2= A èëè x 2 A (èëè, ðåæå, A 63x, A 3 x)

Всякое множество однозначно определяется набором своих элементов:

A = B , (8x)(x 2 A , x 2 B)

(множества A è B равны, когда всякий элемент x принадлежит множеству A тогда и только тогда, когда принадлежит B)

Если имеет место импликация только в одну сторону, например,

(8x)(x 2 A ) x 2 B);

(всякий элемент из A является одновременно элементом и B) то говорят, что A является подмножеством B èëè A содержится в B и пишут

A ½ B (èëè A µ B)

Таким образом,

A = B , (A ½ B) ^ (B ½ A)

(каждый элемент из A принадлежит B и наоборот.)

Иногда множества задают простым перечислением всех элементов (в фигурных скобках). Например, fa; b; cg множество, состоящее из трех

элементов. Но основной способ построения множеств дает следующая конструкция.

22 Клевчихин Ю.А

Принцип выделения. Если P (x) некоторое свойство которым может обладать (или не обладать) элемент (предмет) x, то существует множество fx : P (x)g, состоящее в точности из всех

òåõ x (и только тех), для которых свойство P (x) выполняется.

Например, fx : x2 + 5x ¡ 3 = 0g множество, состоящее из двух эле-

ментов корней этого квадратного трехчлена;

? = fx : x 6= xg пустое множество, т.е. множество не содержащее ни

одного элемента (так как нет элементов не равных самим себе); к примеру, имеет место равенство

? = fx : x 6= xg = fx : x ¡ действительное число и x2 + 1 = 0g

Такой способ построения новых множеств вызвал наибольшие возражения у математической общественности из-за того, что его неограниченное применение приводит к парадоксам. Например, хорошо известен парадокс Рассела.

Определим множество A = fx : x 2= xg (это все те и только те мно-

жества, которые не являются своим элементом). И посмотрим, какое из отношений верно A 2 A èëè A 2= A (согласно закону [логики] исключен-

ного третьего , третьего не дано! Другие возможности исключены!).

Если предположить, что A 2 A, то оно не обладает определяющим для A свойством (x 2= x) и поэтому не должно принадлежать A, ò.å. A 2= A?!

Если же предположить, что A 2= A, то тогда оно обладает определяющим свойством (x 2= x) и поэтому должно принадлежать множеству A, ò.å. A 2 A?!

Анализ этого и других (подобных и нет) парадоксов привел к пересмотру всех оснований математики. Мы не хотим отвлекаться на описании и перечислении всех следствий этого процесса1, укажем только, что было выяснено наличие достаточно простых выходов для избавления от подобных противоречий.

Один из таких выходов (в аксиоматике NGB) предлагает различатьмножества и классы , а принцип выделения допускать только для множеств2. Таким образом, fx : P (x)g читается как класс множеств x

1интересующихся популярным изложением этой истории мы отсылаем к книге

Ì.2Клайна Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984

âаксиоматике NGB кроме классов и отношения принадлежности больше ничего нет. Множества, числа, функции и т.п. являются некоторыми специальными классами

которые обладают свойством P (x) (фактически, каждый класс отожде-

ствляются со свойством, которым может обладать или нет множество). При таком подходе все множества являются одновременно классами, но не все классы являются множествами. Множества по определению это только те классы, которые являются элементами какого-нибудь другого класса. А парадокса не возникает, потому что, например, класс всех классов, не принадлежащих самим себе, построить не удается, так как fx : x 2= xg это класс всех множеств не принадлежащих самим себе

(а не класс классов).

Интуитивно собственные классы (т.е. не являющиеся множествами) это очень большие совокупности типа класса всех множеств или, как в парадоксе Рассела, класса всех множеств, не являющихся своим элементом. При этом парадокс превращается в доказательство того, что соответствующий класс не является множеством.

Задача Доказать, что класс M = fx : x ¡ множествоg (класс всех множеств) не является множеством.

Операции над множествами

Над множествами (впрочем, и над классами) можно производить следующие операции:

def

1) Объединение A [B = fx : x 2 A _x 2 Bg (A [B состоит в точности из таких элементов, которые имеются или в A èëè â B)

def

2) Пересечение A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg (A \ B состоит только из тех элементов, которые имеются и в A è â B одновременно)

def

3) Разность A ¡ B = fx : x 2 A ^ x 2= Bg (A ¡ B состоит только из тех элементов, которые есть в A, íî íåò â B. Другое обозначение разности множеств A n B)

cdef

5)Дополнение A = fx : x 2= Ag (другие обозначения: A èëè {A). Ýòî

определение обычно употребляется, когда фиксировано некоторое универсальное множество (например) U, подмножеством которого является A (è

все другие изучаемые в тот момент множества). И на самом деле подразумевается, что Ac состоит только из элементов U, не принадлежащих A,

24 Клевчихин Ю.А

ò.å. Ac = fx : x 2 U ^ x 2= Ag. В общем же случае определение fx : x 2= Ag

задает класс, который не является множеством.

6) Пусть E множество, тогда через P(E) (èëè 2E) обозначается класс всех подмножеств множества E:

P(E) = fX : X ½ Eg:

Несмотря на то, что этот класс является множеством1, его часто продолжают называть классом всех подмножеств множества E (чтобы, избежать

некрасивого словосочетания множество всех подмножеств множества E ). Пример. Пусть E = fa; b; cg, тогда

P(E) = f?; fag; fbg; fcg; fa; bg; fa; cg; fb; cg; fa; b; cgg

Видим, что P(E) содержит 23 = 8 элементов.

Задача. Доказать, что когда E состоит из n элементов, P(E) содержит 2n элементов (отсюда обозначение 2E = P(E)).

Свойства операций над множествами

Следующие свойства операций над множествами вытекают непосредственно из определений.

1. Коммутативность объединения и пересечения:

A [ B = B [ A; A \ B = B \ A:

2. Ассоциативность объединения и пересечения:

(A [ B) [ C = A [ (B [ C); (A \ B) \ C = A \ (B \ C):

3.Дистрибутивность объединения относительно пересечения и дистрибутивность пересечения относительно объединения:

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C); A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):

1a priori это ни откуда не следует, но постулируется в аксиоматике NGB (когда E множество)

4. Åñëè A, B подмножества U, то тогда

A ½ B , A [ B = B , A \ B = A; A ½ A [ B;

A \ B ½ A; A \ B ½ B; A [ Ac = U; A \ Ac = ?; (A [ B)c = Ac \ Bc;

(A \ B)c = Ac [ Bc;

(Ac)c = A:

Произведение множеств, графики, отношения

Следующие ниже понятия теории множеств являются главными для математического анализа.

Определение. Пусть X, Y множества и x 2 X, y 2 Y . Упорядо- ченная пара (x; y) в аксиоматике определяется как множество ©x; fx; ygª.

Мы не хотим здесь обсуждать всех следствий такого определения, отметим только, что чтобы правильно пользоваться этим понятием, надо представлять себе упорядоченную пару (x; y), просто как пару элементов, выписан-

ных в определенном порядке1: первый элемент это x, второй y.

Главное свойство, являющееся определяющим для упорядоченной пары, заключено в том, что при сравнении двух пар (x1; y1) è (x2; y2) они могут совпадать тогда и только тогда, когда совпадают соответственно их первые и вторые элементы:

(x1; y1) = (x2; y2) , x1 = x2 ^ y1 = y2:

(легкое, но полезное упражнение доказать исходя из определения этот факт. Отметим еще, что для множеств это свойство не выполнено и всегда имеет место равенство fx; yg = fy; xg, íî ïðè x =6 y для упорядоченных

ïàð (x; y) 6= (y; x).)

Åñëè X è Y два множества, то их декартовым произведением (или просто произведением) называют множество всех упорядоченных пар (x; y), первый элемент которых принадлежит X, а второй Y .

def

X £ Y = f(x; y) : x 2 X ^ y 2 Y g:

1На самом деле по мнению многих, в том числе и автора, понятие функции является столь же первичным , как и множества. Фактически, аксиома пары легализует существование простейших функций, позволяя дать строгое определение общих функций.

Из определений следует, что G ½ (dom G) £ (ran G) ½ X £ Y .

Åñëè X множество и R график в декартовом квадрате X2, òî R часто называют отношением в X. При такой терминологии чаще всего вместо (x; y) 2 R пишут x R y и говорят, что (элемент) x находится в отношении R с (элементом) y.

Примеры. 1) Пусть X произвольное непустое множество. Обозначим через R диагональ декартова квадрата X2:

R = f(x; y) : x = yg

Тогда (x; y) 2 R или, что то же самое x R y, означает x = y. И поэтому

def

можно написать R = = (ò.å. R отношение равенства в множестве X).

def

2) Пусть X = R (èëè Q). По определению положим R = f(x; y) : x 6 yg. Òî åñòü R =6. И в этом случае преимущество записи x 6 y перед (x; y) 26 ни у кого не вызывает сомнений.

Следующее обобщение последнего примера нам понадобится в дальнейшем.

Определение. Отношение R â X называют отношением порядка (или

иногда отношением частичного порядка), если оно обладает свойствами: 1. 8x 2 X xRx (рефлексивность),

2. 8x; y 2 X xRy è yRx ) x = y (антисимметричность), 3. 8x; y; z 2 X xRy è yRz ) xRz (транзитивность).

Примеры. 1) Пусть X = P(E) è

def

R = f(A; B) : A ½ E ^ B ½ E ^ A ½ Bg:

Очевидно, на подмножествах из E отношение R совпадает с ½ (но в общем случае, если быть педантичным, написать равенство R =½ нельзя, так как ½ имеет областью отправления класс всех множеств, а R только P(E) всех подмножеств из E).

2) Положим X = N è <= f(n; m) : n делится нацело на mg. Òî åñòü

def

мы пишем n < m , n делится нацело на m. Рефлексивность, антисим-

метричность и транзитивность этого отношения вполне очевидна. Таким образом, < отношение порядка.

Еще один тип отношений очень часто встречается в математике.

Определение. Говорят, что R отношение эквивалентности на множестве X, если оно обладает свойствами:

1. 8x 2 X xRx (рефлексивность)

2. 8x; y 2 X xRy ) yRx (симметричность)

3. 8x; y; z 2 X xRy è yRz ) xRz (транзитивность)

Подробнее мы изучим такие отношения немного позже, а сейчас рассмотрим несколько примеров.

Примеры. 1) Пусть X произвольное (непустое) множество. По определению положим

def

xRy , x 2 X ^ y 2 X ^ x = y:

Это отношение R называют отношением равенства на X. Очевидно, оно

является отношением эквивалентности. (p)

2) На множестве всех целых чисел Z определим отношение = по правилу:

Его рефлексивность следует из того, что для любого n число n ¡ n = 0 делится на p.

Симметричность: если m ¡ n делится на p, òî è n ¡ m = ¡(m ¡ n) делится на p.

Транзитивность: если m ¡ n делится на p è n ¡ k делится на p, òî m ¡ k = (m ¡ n) + (n ¡ k) делится на p (íà p делится каждое слагаемое).

(p)

Таким образом, = отношение эквивалентности.

Функция

Одним из самых главных понятий для анализа (и математики вообще) является функция. Мы приводим здесь полностью формализованное его определение, главное преимущество которого по сравнению с обычнымшкольным (функция это правило, сопоставляющее каждому элементу x èç X ровно один элемент y èç Y ) состоит в том, что из него видно,

что с функциями можно поступать так же как с другими математическими объектами (множествами, числами,. . . ), объединяя их в множества по какому-нибудь признаку и изучать свойства полученной совокупности. А делать это с правилами , которые что-то чему-то сопоставляют как-то неуютно. По сути же, приводимое определение означает в точности то же самое, что и обычное школьное . Поэтому, чтобы хорошо понять приводимое формальное определение функции, надо постоянно держать в уме стандартное школьное .

Определение. Пусть X è Y (непустые) множества и f ½ X £ Y график. Тройку (X; Y; f) называют функцией, если:

1) dom f = X;

2) f функциональный график, т.е.

(8x)(8y1)(8y2) ((x; y1) 2 f) ^ ((x; y2) 2 f) ) (y1 = y2):

В соответствии с нашими договоренностями об обозначениях, последнее свойство можно переписать в виде

(8x)(8y1)(8y2) (y1 = f(x)) ^ (y2 = f(x)) ) (y1 = y2):

т.е. если два элемента y1 è y2 соответствуют одному и тому же x, то они обязаны совпадать! Очевидно, это то же самое, что одному элементу x

должен соответствовать в точности один элемент y. О чем и говорится вшкольном определении: . . . каждому x èç X (ò.å. dom f = X) сопоставляется ровно один! y 2 Y .

Из этого определения видим, что функция (X; Y; f) и ее график f

ýòî, ïî ñóòè, îäíî è òî æå!1 Но график это просто подмножество из декартова произведения X £ Y , обладающее двумя (достаточно простыми)

свойствами 1) и 2). Поэтому с функциями можно обращаться как с обыч- ными множествами, в частности, объединять их по какому-нибудь признаку, составляя из них новые множества. Например, через Y X (èëè F(X; Y ),

èëè X ! Y ) обозначают множество всех функций, определенных на X со значениями в Y . В дальнейшем будут точно определены такие множества, как B(X) всех ограниченных числовых функций, определенных на X, C(X) всех непрерывных функций на X è ò.ä.

Отметим еще, что вместо обозначения (X; Y; f) для функции общепри-

нято более соответствующее нашей интуиции своей наглядностью обозна- чение f : X ! Y (хотя, более логично было бы писать f 2 X ! Y ).

Конкретные функции определяются обычно с помощью принципа выделения посредством задания свойства (правила, условия), по которому мы должны выделить график (т.е. подмножество) из декартова произведения.

Например, f(x; y) : y = ax2 + bx + c ^ x 2 Rg задает квадратичную

функцию.

Более сложно задаются тригонометрические функции. Скажем, функция sin : R ! R, как следует из школьного определения, задается так:

(x; y) 2 sin (èëè y = sin x) тогда и только тогда, когда y ýòî

ордината конца единичного радиус-вектора (с началом в нуле), повернутого против часовой стрелки от оси абсцисс на угол x

(в радианах или на дугу длины x единичной окружности).

1Не совсем. Хотя множество X однозначно восстанавливается по графику f, множе-

ñòâî Y уже этим свойством не обладает. И по определению мы две функции (X; Y; f) è (X; Y 0; f), отличающиеся только областью прибытия, должны считать различными!