- •32. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •33. Равномерное распределение нсв
- •35. Генеральная и выборочная совокупности. Объем выборки.
- •40. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •41. Постановка задачи регрессионного анализа
- •42. Модель парной линейной регрессии, коэффициент корреляции.
32. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
НАЗНАЧЕНИЕ СЕРВИСА. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x), либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x). ИНСТРУКЦИЯ. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x).
Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную. Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток: P(α < X < β)=F(β) - F(α) причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет: P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β) Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция f(x)=F’(x), производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x. 2. Условие нормировки: (2.11) Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице. 3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле(2.12) Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток. 4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:(2.13) Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть [x, x + Δx) — интервал произвольно малой длины Δx > 0. Вероятность попадания случайной величины в этот интервал приближенно равна произведению значения плотности распределения в точке x на длину этого интервала: f(x)Δx, то есть вероятность пропорциональна длине интервала, причем коэффициент пропорциональности равен значению плотности распределения в точке x (рис. 2.5).Вероятность попадания случайной величины в интервал длины Δx Числовые характеристики непрерывной случайной величины находятся по формулам, похожим на формулы для дискретной случайной величины, но везде знак суммы заменяется на знак интеграла, а вероятность pi на дифференциальный элемент вероятности f(x)dx. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно (2.14) Дисперсия непрерывной случайной величины есть(2.15) Всесвойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.