Свойства определителя

Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.

Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами

(11.4)

Т.е. .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить определители в левой и правой частях равенства и убедиться в равенстве полученных при этом членов.

В связи с этим свойством в дальнейшем вместо слов «строка» или «столбец» будем говорить просто «ряд», подразумевая их равноправность.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный

Пример: .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить по правилу треугольника определители, стоящие в правой и левой частях равенства.

Следствие 1: Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых рядов абсолютное значение определителя не изменится, а, с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный, т.е. , значит, следовательно,.

Следствие 2. Сумма произведений элементов какого либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Действительно, все такие разложения представляют из себя определители, содержащие два одинаковых ряда:

Свойство 3. Общий множитель элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя.

.

Действительно, поскольку определитель можно вычислить, раскладывая его по элементам строки (столбца), вычислим определитель, раскладывая его по элементам строки, умноженной на число , тогда каждое слагаемое будет содержать множитель, который может быть вынесен за скобку.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если все элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 4. Линейное свойство определителя. Если в определителе -го порядка некоторая-ая строка представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый определитель будет иметь в-ой строке первые из упомянутых слагаемых , элементы в остальных строках будут такими же, как и в исходном определителе, а второй определитель в-ой строке будет иметь вторые из упомянутых слагаемых, а остальные строки будут совпадать с исходным определителем, т.е.

.

Это свойство следует из определения определителя, если разложить его по элементам -ой строки, а затем воспользоваться распределительным законом суммы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3) перестановка строк (столбцов).

Свойство 5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Свойство 6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

=.

нижний треугольный верхний треугольный

определитель определитель

Определение. Минором -ого порядка матрицы называется детерминант матрицы порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении выбранныхстрок и столбцов. Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка, сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов. Если матрицаквадратная, то каждому минору –ого порядка сопоставляется дополнительный минор, который по определению есть определитель матрицы порядка (), составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания строк и столбцов.

Лекция 12

Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга.

Цель: изучить понятие линейной комбинации и линейной независимости строк и столбцов матрицы, методы вычисления ранга и определения базисного минора.

В теме «матрицы и действия над ними» мы ввели понятия матрицы строки и матрицы столбца,

Определение. Столбец назовем линейной комбинацией столбцоводинаковой высоты, если при некоторых числахимеет место равенство:

(12.1)

Или в развернутом виде:

.

В силу определения умножения матриц на число и операции сложения последнее равенство можно представить в виде системы равенств, составленных для каждого элемента:

;

;

…

.

По аналогии с линейной комбинацией введем понятие линейной независимости строк и столбцов матрицы. Пусть - столбец у которого все элементы равны нулю.

Определение. Система из столбцовназывается линейно независимой, если из равенстваследует,. В противном случае, если не все(), система столбцов линейно зависима.

Все утверждения записанные для столбцов, справедливы и для строк матрицы.

Пример: Столбцы

, ,

линейно независимы, т.к. их линейная комбинация

равна нулевому столбцу, только в случае, когда , т.е. является тривиальной.