4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .
5. Определить
аппликату центра масс полусферы
с поверхностной плотностью
.
6. Вычислить
поверхностный интеграл:
,
где
- часть поверхности конуса
(нормальный вектор
которой образует тупой угол с ортом
),
отсекаемая плоскостями
.
7. Вычислить с
помощью теоремы Остроградского –
Гаусса:
,
где
- внешняя сторона полной поверхности
полушара
.
8. Вычислить
интеграл, используя формулу Стокса:
,
где
- кривая
,
ориентированная положительно относительно
вектора
.
9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если
u
= x
+
,
=
-
,
M(1,
-3, 4).
10. Вычислить поток
векторного поля
(M)
через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (p)
и координатными плоскостями, двумя
способами:
а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если
(M)
= (y + 2z)
+
(x + 2z)
+
(x - 2y)
,
(p): 2x + y + 2z = 2.
11. Вычислить
циркуляцию векторного поля
(M)
по контуру треугольника, полученного
в результате пересечения плоскости
(p):
x
+ 2y
+ 2z
= 2 с координатными плоскостями, при
положительном направлении обхода
относительно нормального вектора
плоскости (p)
двумя способами:
а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если
(M)
= (y
+ z)
+
(x
+ 6y
)
+
y
.
12. Найти наибольшую
плотность циркуляции векторного поля
(M)
= xy
+
xyz
-
x
в точке M
(-1,
0, 3).
13. Выяснить является
ли векторное поле
(M)
= yz
+
xz
+
xy
потенциальным.
Вариант № 16
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а)
,
где
-
отрезок прямой, соединяющий точки
и
;
б)
,
где
-
окружность
;
в)
,
где
:
от точки
до
;
г)
,
где
:
.
2. Проверить,
является ли данное выражение полным
дифференциалом функции
.
Найти эту функцию. Результат проверить.
3. С помощью формулы
Грина вычислить интеграл
,
где
- пробегаемый в положительном направлении
контур
с вершинами
.
4. Вычислить
поверхностный интеграл по поверхности
,
где
- часть плоскости
,
отсеченная координатными плоскостями:
.
5. Определить координаты центра масс однородной поверхности:
6. Вычислить
поверхностный интеграл:
,
где
- верхняя сторона плоскости
,
отсеченной координатными плоскостями.
7. Вычислить с
помощью теоремы Остроградского –
Гаусса:
,
где
- внешняя сторона полной поверхности
.
8. Вычислить
интеграл, используя формулу Стокса:
,
где
- эллипс
,
ориентированный отрицательно относительно
вектора
.
9. Найти производную
функции u
(x,
y,
z)
в точке M
по направлению
,
если
u = x ( ln
y - arctg z ),
=
8
+
4
+
8
,
M(-2, 1, -1).
10. Вычислить поток
векторного поля
(M)
через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (p)
и координатными плоскостями, двумя
способами: а) использовав определение
потока; б) с помощью формулы Остроградского
- Гаусса, если
(M)
= 3x
+
( y
+ z
)
+
( x
- z
)
,
(p):
x
+ 3y
+ z
= 3.
11. Вычислить
циркуляцию векторного поля
(M)
по контуру треугольника, полученного
в результате пересечения плоскости
(p):
2x
+ y
+ 2z
= 2 с координатными плоскостями, при
положительном направлении обхода
относительно нормального вектора
плоскости (p)
двумя способами: а) использовав определение
циркуляции; б) с помощью формулы Стокса,
если
(M)
= z
+
( x
+ y
)
+
y
.
12. Найти наибольшую
плотность циркуляции векторного поля
(M)
= x
-
xy
+
z
в точке M
(0,
1, -2).
13. Выяснить является
ли векторное поле
(M)
= x
y
-
2xy
+
2xyz
соленоидальным.