- •Введение в формальную логику
- •Глава 4
- •Тема 1: Язык классической логики предикатов первого порядка
- •Упражнения
- •Тема 2: От выражений естественного языка к их структуре: перевод выражений естественного языка на яклп
- •Минимальные требования к правильному переводу
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Тема 3: От языковых структур к выражениям естественного языка и/или содержательных теорий: интерпретации и модели
- •Упражнения
- •Тема 3: От языковых структур к выражениям естественного языка и/или нелогических теорий: модели и контрмодели для множеств формул (продолжение)
- •Упражнения
- •Тема 5: Логический статус формул в клп Отношение логического следования в клп
- •Упражнения
О. И. Невдобенко1
Друзья! В Главе 3 учебника, помимо незначительных, была трагическая опечатка. Исправьте ее в вашем файле или распечатке. Место опечатки и исправленный вариант выделен зеленым цветом.
соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами
-
запись с параметрами в естественном языке
формульное соответствие
А и В
A&B
И А, и В
Как А, так и В
А или В
АВ
Или А, или В (или и то, и другое)
А, либо В
А1 и А2 и … и Аn
А1&А2&… &Аn
А1 или А2 или … или Аn
А1 А2 … Аn
Если А, то В
А В
В, если А
А достаточное условие для В
Только если А, (верно) В
ВА или
А В
В, только если А
А необходимое условие для В
А, если и только если В
А, тогда и только тогда, когда В
А В
или
(А В)(ВА)
А необходимое и достаточное условие для В
А, разве что В
В А
Введение в формальную логику
Учебное пособие
-
Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы
Глава 4
Классическая логика предикатов
Логика предикатов – логическая теория, в которой вводятся параметры трех типов для выражений естественного языка: для предикатных выражений, функторных и для логических имен. В классической логике предикатов продолжают действовать принцип двузначности классической логики высказываний: каждое высказывание принимает в точности одно из двух значений – истина(истинно) илиложь(ложно). Принцип функциональности работает для связок логики высказываний, но в логике предикатов вводятся две новые логические операции, которые не функциональны – кванторы:$и. В естественном языке символу$– квантору существования – соответствуют выражениянекоторый,какой-то,существует,найдется,какой-нибудь и т.п., а символу– квантору общности – соответствуют выражениялюбой,всякий,произвольный,все,каждыйи т.п.
Тема 1: Язык классической логики предикатов первого порядка
Основные понятия, которые необходимо усвоить:
|
Алфавит ЯКЛП1= (перечень исходных символов)
I.Нелогические символы:
1. a,b,c,a1,b1,c1,a2… - индивидные (предметные) константы;
2. fn,gn,hn,f1n,g1n,h1n,f2n,… - функциональные константы;
3. Pn,Qn,Rn,Sn,P1n,Q1n,R1n,S1n,P2n… – предикатные константы;
4. x,y,z,x1,y1,z1,x2… - индивидные (предметные) константы.
II.Логические символы:
, ,,,,,Т, $,, =.
III.Технические символы: левая и правая скобки и запятая: ( ) , .
Терм ЯКЛП1:
1. всякая индивидная константа (a,b,c,a1,b1,c1,a2 и т.д.) есть терм;
2. всякая индивидная переменная (x,y,z,x1,y1,z1,x2и т.д.) есть терм;
3. если Fn есть какой-либоn-местный функциональный символ (fn,gn,hn,f1n,g1nи т.д.) и о последовательностях символовt1,t2,…,tnизвестно, что каждый из них есть терм, тогда термом также будет такая последовательность символов:Fn(t1,t2,…,tn).
4. терм есть последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.
Примеры термов
1. b- по п.1
2. b411– по п.1
3. x1– по п.2
4. h1(z) – по пп.2,3
5. h2(c,с) – по пп.1,3
6. h1(h1(z)) – по пп.2,3
7. f2(h1(z),a) – по пп.1,2,3
8. f2(h1(z),h2(y,z)) – по пп. 1,2,3
9. g3(h1(h1(а)),a, с) – по пп.1,3
Определение терма носит чисто синтаксический характер: оно задает некоторый класс записей, составленных из символов алфавита нашего языка, но не аппелирует к возможным смыслам этих записей, т.е. сами записи, подпадающие под определение терма, рассматриваются просто как последовательности некоторых объектов. Но эта дефиниция вводилась, разумеется, для того, чтобы впоследствии связать с ней осмысленные выражения некоторого типа, а именно: задающие объекты. Покажем (в предварительном порядке), как записи, имеющие вид терма, определяют структуры имен и именных форм. Так, структуру h1(h1(а)) имеют выражения 622,5, отец отца Сократа. А такую форму какf2(a,h1(z)) имеют, например, выражения 5+z2, 7-z3,+y, 5у4, 5sinx.
Формула ЯКЛП1=:
1. ,Т – формулы;
2. если Рn есть какой-либоn-местный предикатный символ (Pn,Qn,Rn,Sn,P1nи т.д.), аt1,t2,…,tn– термы, тогда последовательность символов
Рn(t1,t2,…,tn) является формулой;
3. если t1,t2– термы, тогда последовательностьt1=t2есть формула;
4. если А – формула, тогда А тоже формула;
5. если А и В – формулы, тогда (АВ), (АВ), (АВ), (АВ) – формулы;
6. если К– квантор ($или),- индивидная переменная и А – формула, тогда следующая последовательность также является формулой:КА;
7. формулой является последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-7.
Самые простые (в смысле построения) формулы назовем атомарными.Атомарная (элементарная) формула– формула, построенная по каким-то из пунктов 1-3.
Формулы, процедура построения которых включает хотя бы один из пп.3-6 назовем составными (сложными, молекулярными).
Вместо t1=t2будем писатьt1t2.
Примеры атомарных формул
P1(a)(читается «Р от а»; подразумеваетсяобъект а обладает свойством Р)
P1(x)
P1(f1(а))(читается «Р отfот а»; подразумеваетсяобъект, сопоставленный объекту а функциейf, обладает свойством Р)
R2(x,a)(читается «Rот х, а»; подразумевается свойствонаходится в отношенииR с объектом а)
R2(y,y)
R2(y11,y)
R3(f1(c), f1(a), a)
R3(f1(c), f1(a), h2(y,z))
a=b
f1(a)= h1(h1(с))
f1(a)= h1(g2(y,z))
Примеры термов и формул
Примеры составных формул
$xP(x)
$x(P(x)&Q(x))(главный знак -)
$xP(x)&Q(x)(главный знак -)
yzQ(z,f1(y))(главный знак – кванторy)
yzQ(z,y)(главный знак -)
xyR(x,y)yzQ(z,y) (главный знак - )
x(yR(x,y)zQ(z,x))(главный знак - кванторx)
R(x,y)Q(z,x)(главный знак -)
(a=b c=b) a b(главный знак -)
Примеры неправильно построенных выражений (не термы и не формулы)
ху. Ошибка: х и у – термы, а связка(так же, как,,), могут связывать только формулы.
f1(Q1(a)). Ошибка: после одноместного функционального символа (f1) должен стоять один терм, а в нашем случае в скобках стоит формула -Q1(a).
х у. В этой записи два неправильно построенных выражения –х,у – соединены конъюнкцией.х – неосмысленная запись, поскольку в нашем языке отрицание может относится к структуре предложения (формуле), а не к терму (х - терм). То же су.
P2(Q1(a),S1(a)). Ошибка: после символа двухместного предиката (P2) в скобках должны находиться два терма, а в нашей записи стоят две формулы (Q1(a) иS1(a)).
∀x. Кванторы используются только при построении формулы, но в составе формулы в обязательном порядке должны присутствовать а) предикатные символы(Pn,Qn,Rn,Sn,P1nи т.д.), либо б) выделенный предикатный символ равенства, либо в) логические константы (,Т). В нашей записи их нет.
∀x∃y. Слева и справа от импликации должны стоять формулы, а в примере 6 слева и справа от знакастоят не формулы, а неправильно построенные выражения (см. предыдущий пример).
∀xР1(х)∃yР1(∃х). Плохое место: Р1(∃х). В скобках после одноместного предиката Р1 должен стоять аналог имени – терм, а∃х - не терм (в состав термов не входят кванторы). Если убрать из примера 7 символ квантора существования, тогда получим формулу∀xР1(х)∃yР1(х).
Р(а)=Р(с). Ошибка: символ равенства связывает термы, а в этом примере слева и справа от равенства стоят формулы.
$x"yR(x,y)ÉØ$y"аØR(x,а). Ошибка: запись"а невозможна, после квантора сразу должна идти переменная (x,y,z,x1,y1,z1,x2и т.д.), а не константа (а – индивидная константа)2.
Ø$y"ØR(x,у). Ошибка: после квантора общности (") нет переменной.