Получим общий интеграл уравнения ψ(x, y)= C .

Решение задачи 1

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, путем

деления уравнения на выражение (1+ x2 ) (1+ y2 ), получим

x y

( )dx + ( )dy = 0 .

1 + x2 1 + y2

Интегрируем полученное уравнение:

∫ ( x )dx + ∫ ( y )dy = C .

1 + x2 1 + y 2

Получаем его общий интеграл 12 ln(1 + x2 )+ 12 ln(1 + y 2 )= C , или

ln(1 + x2 )+ln(1 + y2 )= 2C .

Так как C - произвольная постоянная, представим правую часть в виде 2C = ln C1 , получим ln(1 + x2 )+ln(1 + y 2 )= ln C1 .

Отсюда по свойству логарифма (1 + x2 ) (1 + y 2 )= C1 , или

(1 + x2 ) (1 + y 2 )= C1 .

Так как C1 - произвольная постоянная, общее решение исходного уравнения можно записать в виде:

(1 + x2 ) (1 + y 2 )= C .

Ответ: (1 + x2 ) (1 + y 2 )= C .

Задача 2

Найти решение задачи Коши:

y′+ 2xy = 2x , y(0) = 2 .

Справочный материал

5

Определение 1. Задача, в которой требуется найти решение дифференциального уравнения F(x, y, y′)= 0 или y′ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0 )= y0 , называется

задачей Коши.

Задача Коши решается в два этапа. Сначала находится общее решение исходного уравнения, а затем ищется частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

Исходное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно y . Общий вид такого

уравнения:

y′+ p(x)y = g(x).

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно решать двумя методами – методом Лагранжа и методом Бернулли (см. компендиум по теме “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, пункт 9.2.3)

Решение задачи 2

Решим уравнение двумя методами.

Метод Бернулли. Положим y = u v , где u = u(x) и v = v(x) -

неизвестные функции. Тогда исходное уравнение перепишется в

уравнения нужно решить систему двух уравнений с разделяющимися переменными.

Запишем первое из уравнений в виде dvv + 2xdx = 0 . Это

уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

∫ dvv + ∫2xdx = С.

6

Выберем какое-либо частное решение этого уравнения.

du = ∫2xe x2 dx u = ex2 +С .

Таким образом, общим решением данного уравнения является: y = uv = (ex2 +С)e−x2 =1 +Сe−x2 .

Подставляя исходные данные задачи Коши в общее решение, найдем значение произвольной постоянной C .

y(0) = 2, 2 =1 +С, С =1.

Окончательно, решение задачи Коши имеет вид y =1 + e−x2 . Ответ: y =1 + e−x2 .

Метод Лагранжа. Сначала решим соответствующее однородное линейное уравнение y′+ 2xy =0.

y = Сe−x2 .

Решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде y = С(x)e−x2 , где С(x) - неизвестная функция. Имеем

7

решение исходного уравнения. Решим задачу Коши. Подставим начальные данные y(0) = 2 2 =1 +С1 С1 =1

Ответ: y =1 + e−x2 .

Задача 3

Найти решение задачи Коши. cosdxy + (x − 2sin y)dy = 0 , y(0) = 0 .

Справочный материал

Если переменная x входит линейно в множитель при dy и

совсем не входит в множитель при dx , это уравнение можно привести к линейному уравнению относительно x , то есть к

решению системы:

8

Это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл имеет вид

∫du = ∫sin 2 y e−sin y dy +С.

Возьмем интеграл ∫sin 2 y e−sin y dy .

∫sin 2 y e−sin y dy = ∫2sin y cos y e−sin y dy . Так как cos ydy = −d(−sin y) ,

∫2sin y cos y e−sin y dy = −∫2sin y e−sin y d(−sin y).

Полученный интеграл берется по частям.

Отсюда найдем u = 2e−sin y (−sin y −1) +С, тогда решение

исходного уравнения имеет вид:

x = uv = (2e−sin y (−sin y −1) +С)esin y = −2(sin y +1) +Сesin y .

Подставим начальные значения задачи Коши и найдем значение произвольной постоянной С.

y(0) = 0 0 = −2(sin 0 +1) +Сesin o 0 = −2 +С С = 2 Ответ: x = −2(sin y +1) + 2esin y .

9

Задача 4

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

(2xy −5)dx +(3y2 + x2 )dy = 0

Справочный материал

Уравнение вида

M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0

будет уравнением в полных дифференциалах, если выполнено

∂M = ∂N

условие ∂y ∂x . Тогда общий интеграл уравнения можно

найти двумя способами.

1 способ. Общий интеграл уравнения в полных производных находится по формулам

где x0 и y0 - любые значения, входящие в область определения

функций M (x, y) и N(x, y). Их выбирают таким образом, чтобы полученный интеграл легче вычислялся, чаще всего принимают

x0 = 0 и y0 = 0 .

2 способ. Общий интеграл уравнения находится из условия

∂∂My = ∂∂Nx .

Решение задачи 4

Проверим, что данное уравнение является уравнением в

10

Здесь M (x; y) = 2xy −5 , а N (x; y) = 3y2 + x2 .

Следовательно, условие выполнено, и уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

1 способ.

Запишем уравнение в виде его общего интеграла

полагаем y = y0 .

Выберем подстановку со вторым подынтегральным выражением.

Подставив пределы интегрирования, получим:

x2 y −5x + y3 = C .

11

Общий интеграл уравнения имеет вид x2 y −5x + y3 = C .

2 способ.

Так как уравнение в полных дифференциалах, следовательно существует функция u(x, y), такая что

(2xy −5)dx +(3y2 + x2 )dy = du(x, y).

Тогда для функции u(x, y) справедливы следующие равенства:

Проинтегрируем равенство ∂∂ux = 2xy −5 по x , получим

u = yx2 −5x +ϕ(y). Найдем ∂∂uy = x2 +ϕ′(y). С другой стороны

ϕ′(y)= 3y2 .

Найдем ϕ(y)= ∫3y2 dy = y3 . Следовательно, u = yx2 −5x + y3 .

Общий интеграл уравнения имеет вид u = C , то есть

yx2 −5x + y3 = C .

Ответ: x2 y −5x + y3 =C .

Задача 5

Методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

y′ = − xy , M (0;1).

Справочный материал

Дифференциальное уравнение вида y′ = f (x, y)

12

в каждой точке плоскости (x, y) задает направление касательных

к интегральным кривым или поле направлений. Линии, на которых поле направлений постоянно, называются изоклинами. Из определения изоклин следует, что их уравнение имеет вид

f (x, y)= C ,

где C - любое постоянное число.

Решение задачи 5

Найдем уравнение изоклин. По определению уравнение имеет вид f (x, y)= C . Следовательно, уравнение изоклин в

данном случае имеет вид

− xy = C ,

или y = −Cx .

При C =1 уравнение изоклины имеет вид y = −x . На этой

C = −1 уравнение изоклины y = x . На этой изоклине tg α = −1,

изоклине tg α = ∞, α = 90° .

Изоклины и поле направлений приведены на рисунке 1. Поле направлений дает возможность установить, что интегральными кривыми являются концентрические окружности с центром в начале координат.

13

условий задачи, вначале необходимо составить дифференциальное уравнение, а затем его решить.

Решение задачи 6

Уравнение касательной, проходящей через точку (xm , ym ), имеет вид y − ym = y′(xm )(x − xm ).

М

N

х0 хm

Точка N лежащая на оси абсцисс имеет координаты (x0 ;0),

кроме того она лежит на касательной, следовательно

− ym = y′(xm )(x0 − xm ).

Найдем отсюда x0 :

y

x = − (m )+ x .

0 y′ xm m

Кроме того x0 = −xm . Отсюда

15

В силу произвольности точки (xm , ym ) получим уравнения для нахождения искомой кривой:

Уравнение искомой кривой имеет вид y2 = Cx .

Найдем кривую, проходящую через точку M (1;1). Подставив в

Задача 7

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′ctgx = 2 y′′.

Справочный материал

Если уравнение вида F(x; y(k ) ; y(k +1) ;...; y(n) ) = 0 не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y(k ) = p(x) .

Тогда

y(k +1) = p′;…; y(n) = p(n−k ) ,

и уравнение примет вид F(x; p; p′;...; p(n−k ) ) = 0 .

Решение задачи 7

Дано дифференциальное уравнение третьего порядка. Оно относится к типу уравнений, допускающих понижение порядка и не содержащих явно искомой функции y . Полагаем y′′ = p , где

p = p(x) , тогда y′′′ = p′ и исходное уравнение примет вид:

16

p′ctgx = 2 p , или p′− ctgx2 p = 0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде

Отсюда общее решение исходного уравнения:

y = С1 ∫tgxdx +С2 ∫dx = −С1 ln cos x +С2 x +С3 .

Ответ: y = −С1 ln cos x +С2 x +С3 .

Задача 8

Справочный материал

17

сводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Решение задачи 8

Исходное уравнение не содержит независимую переменную. Заменой y′ = p и y′′ = p dpdy

виду p p′ =16sin y cos y . Это уравнение с разделяющимися

начальными данными, чтобы выбрать знак. Из начальных данных

18

порядка с разделяющимися переменными, запишем его в виде

Задача 9

Найти общее решение дифференциального уравнения y(4) −3y′′′+3y′′− y′ = 3x2 + 2x +80.

Справочный материал

Уравнение вида

y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an y = f (x)

является линейным уравнениям n -ого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение такого уравнения имеет вид

yо.н. = уо.о. + уч.н. ,

то есть является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение

19

λn +a1λn−1 +K+an−1λ+an = 0 .

Находятся корни характеристического уравнения. Каждому корню характеристического уравнения λi соответствует решение

вида yi = eλi x . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

где Pm ( x ), Qn ( x ) многочлены степени m и n соответственно. Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

образом, частное решение имеет тот же вид, что и правая часть уравнения, только многочлены записаны с неопределенными

коэффициентами. Они подбираются так, чтобы функция yч.н. была решением исходного уравнения.

Решение задачи 9

Исходное уравнение – линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами и

специальной правой частью f (x)= 3x2 + 2x +80.

20

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения уо.о. :

y(4) −3y′′′+3y′′− y′ = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид λ4 −3λ3 +3λ2 −λ = 0 ,

частное решение исходного уравнения ищется в виде

yч.н. = x Q2 (x) = x ( Ax2 + Bx +C) = Ax3 + Bx2 +Cx.

Подставим его в исходное уравнение.

y(4) −3y′′′+3y′′− y′ = 3x2 + 2x +80.

Для этого сначала найдем

( yч.н. )′ = 3Ax2 + 2Bx +C

( yч.н. )(4) = 0

Получаем:

−18A +3(6Ax + 2B)−(3Ax2 + 2Bx +C)= 3x2 + 2x +80

или

−3Ax2 +(18A −2B)x +6B −18A −C = 3x2 + 2x +80 .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

21

Витоге общее решение исходного уравнения имеет вид

уо.н. = С1 +С2 ех +С3 хех +С4 х2 ех − х3 −10х2 −102х .

Ответ: у = С1 +С2 ех +С3 хех +С4 х2 ех − х3 −10х2 −102х.

Задача 10

Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′−6 y′′+9 y′ = xe3x .

Справочный материал

Данное уравнение, как и уравнение в задаче 9, относится к линейным уравнениям более высокого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод решения таких уравнений описан выше в справочном материале к задаче 9. Отличие данной задачи заключается в том, что правая часть уравнения в задаче 10 имеет другой вид, а именно

f (x) = Pm (x) eαx . В этом случае частное решение ищется в

виде yч.н. = xs Qm (x) еαх , где s – кратность корня λ = α в характеристическом уравнении, а m – степень многочлена в правой части исходного уравнения. Если корень λ = α не является корнем характеристического уравнения, то s = 0 и

частное решение ищется в виде yч.н. = Qm (x) еαх

Решение задачи 10

Исходное уравнение является неоднородным линейным уравнением 3 порядка с постоянными коэффициентами. Правая

22

λ = 0 кратности 1. Поэтому решение однородного уравнения имеет вид:

yо.о. = С1 +С2 e3x +С3e3x x .

Найдем частное решение. Число λ = 3 является корнем кратности s=2, степень многочлена m =1, поэтому частное решение уравнения ищется в виде:

yч.н. = x2 ( Ax + B)e3x = Ax3e3x + Bх2 e3x

yч′.н. = 3e3x x2 A +3e3x x3 A + 2e3x xB +3e3x x2 B yч′′.н. = 6e3x xA +18e3x x2 A +9e3x x3 A + 2e3x B + +12e3x xB +9e3x x2 B

yч′′′.н. = 6e3x A +54e3x xA +81e3x x2 A + 27e3x x3 A + +18e3x B +54e3x xB + 27e3x x2 B.

Подставив y′, y′′, y′′′, в исходное уравнение получим:

6e3x A +54e3x xA +81e3x x2 A + 27e3x x3 A +18e3x B +

+54e3x xB + 27e3x x2 B −36e3x xA −108e3x x2 A −

−54e3x x3 A −12e3x B −

−72e3x xB −54e3x x2 B + 27e3x x2 A + 27e3x x3 A +

+12e3x xB +18e3x x2 B = xe3x .

Приведя подобные члены и сократив уравнение на e3x , получим 6А+ 6В +18Аx = x . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x , получим 18A =1, A + B = 0 .Отсюда

A =1/18, B = −1/18 .

Общее решение исходного уравнения имеет вид.

23

yо.н. = С1 +С2 e3x +С3e3x x +181 e3x x3 −181 e3x x2 . Ответ: y = С1 +С2 e3x +С3e3x x +181 e3x x3 −181 e3x x2 .

Задача 11

Найти общее решение дифференциального уравнения

y''−9 y = e3x cos x .

Справочный материал

Метод решения уравнений такого типа описан выше в справочном материале к задаче 9. Правая часть уравнения в задаче 11 имеет другой вид, а именно

f (x) = eαx (a cosβx +bsin βx). В этом случае частное решение

Если число λ = α +iβ не является корнем характеристического

уравнения, то s = 0 и частное решение ищется в виде yч.н. = еαх (Acosβx + B sin βx).

В некоторых вариантах экспонента отсутствует, то есть правая часть имеет вид f (x) = аcosβx +bsin βx . В этом случае

частное решение ищется в виде yч.н. = xs (Acosβx + B sin βx), где s – кратность числа λ = iβ в характеристическом уравнении, А и В – неопределенные коэффициенты. Если число λ = iβ не является корнем характеристического уравнения, то s = 0 и частное решение ищется в виде yч.н. = Acosβx + B sin βx .

Решение задачи 11

Исходное уравнение является неоднородным линейным уравнением 2 порядка с постоянными коэффициентами. Правая

24

α + β i = 3 +i не совпадает с корнями характеристического уравнения, следовательно s = 0 . Частное решение ищем в

e3x (cos x(3B +9A) +sin x(9B −3A)) + cos x(3B − A) − −sin x(B +3A) −9 e3x ( Acos x + B sin x) = e3x cos x

Приведем подобные члены в полученном выражении

cos x(3B +3B − A) +sin x(9B −3A − B −3A +9B) = cos x cos x(6B − A) +sin x(−6A − B) = cos x

Приравняем коэффициенты при cos x и sin x :

6B − A =1

6A + B = 0

25

Задача 12

Найти общее решение дифференциального уравнения y′′+ 2 y′ = 3sin 2x +cos x .

Справочный материал

Данное уравнение, как и уравнения в задачах 9, 10, 11 относится к линейным уравнениям более высокого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод решения таких уравнений описан выше в справочном материале к задаче 9.

Особенность задачи 12 в том, что правая часть уравнения представляет собой сумму функций

f (x)= f1 (x) + f2 (x) +K+ fk (x) ,

каждая из которых, имеет специальный вид, рассмотренный в задачах 9, 10, 11. Решение заключается в следующем. Общее решение соответствующего однородного уравнения ищется аналогично, как и в задачах 9, 10, 11, а частное решение неоднородного уравнения ищется как сумма частных решений

yч.н. = yч1.н. + yч2.н. +K+ yчk.н.

Для нахождения этих частных решений исходное уравнение y(n) + a1 y(n−1) +... + an y = f1 (x) + f2 (x) +K+ fk (x)

Разбивается на совокупность k уравнений

26