Максимальные касательные напряжения в сечениях вала:

МПа. – что значительно меньше допускаемого.

Распределение напряжений по поперечному сечению вала рис.6

рис.6

6). Определим углы закручивания сечений  (относительно левого шкива, условно считая его закрепленным) по формуле - :

рад;

рад;

рад.

Эпюра углов закручивания вместе с эпюрой крутящих моментов представлены на рис.7.

7). Определение потенциальной энергии упругой деформации вала по формулам -

U=U₁+U₂+U, [н·М]:

U₁= 0.5M_кр1₁ = 0.5127.3(-0.002) = 0.127 Нм

U₂= 0.5M_кр2₂ = 0.5127.30.002 = 0.127 Нм

U₃= 0.5M_кр3₃ = 0.542.40.004 = 0.085 Нм

U=U₁+U₂+U₃ = 0.127+0.127+0.085 = 0.085 Нм.

рис.7

Задача №2

Условие задачи: Для заданного ступенчатого вала (см. рис.1), жестко защемленного по концам и нагруженного внешними крутящими моментами: раскрыть статическую неопределимость; рассчитать допустимую внешнюю нагрузку из условия прочности; построить эпюры крутящего момента и углов закручивания.

Исходные данные: a = 100 мм; h = b; d = b; b = 35 мм; m₁ = m; m₂ = 2m; d/D = 0.8; [] = 1 град/м. Материал вала - чугун СЧ 21-40, с пределами прочности: _вр = 210МПа – на растяжение; _вс = 1000МПа – на сжатие и модулем сдвига G = 50000 МПа. Коэффициент запаса прочности – n = 2.

рис.1

Решение:

1). Определим допускаемые касательные напряжения для материала вала используя известную для хрупких материалов зависимость: []=(0.6...0.7)[]. Допускаемые нормальные напряжения [] = _вр/n = 210/2 = 105 МПа. Тогда: []=0.67105 = 70 МПа.

2). Система является один раз статически неопределимой (см. рис.2), так как в заделках А и В возникают два реактивных момента m_A и m_D, а для их определения имеется всего одно уравнение статики: .

рис.2

Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость.

Для раскрытия статической неопределимости отбрасываем сначала левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом m_A (см. рис.3). Дополнительное условие для определения m_A (условие совместности деформации) можно сформулировать следующим образом: поворот левого торцевого сечения относительно правого равен нулю: .

рис.3

Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках AB, BC, CD: . Используя метод сечений выразим крутящие моменты на участках:- крутящий момент на участкеАВ; - крутящий момент на участкеВС; - крутящий момент на участкеСD.

Учитывая, что m₁ = m, а m₂ = 2m, можно записать:

, где I₁ и I_2 - соответственно моменты инерции прямоугольного и кольцевого сечений.

Выполняя элементарные преобразования получим: .

Для прямоугольного сечения , учитывая, что для коэффициентполучим .

Для кольцевого сечения мм⁴, где .

Подставляя моменты инерции в уравнение совместности деформации получим:

откуда

m_А=1.748m.

Момент в правой заделке m_Dнайдем из условия статикиm_D= m + 2m – m_A  m_A = 3m - 1.748m  m_D = 1.252m.

Построение эпюры крутящих моментов (см. Рис.4)

M_АВ= m_a = 1.748m

M_BC= m_a+m₁ = 1.748m+m = 0.748m

M_CD=m_a+m₁+m₂ = 1.748m+m+2m = 1.252m

рис.4

3). Определим допускаемое значения внешней нагрузки из условия прочности.

Рассчитаем моменты сопротивления кручению поперечных сечений вала:

• прямоугольное сечение - , учитывая, что для коэффициент получим;

• кольцевое сечение - .

Опасным с точки зрения прочности будет участок вала с прямоугольным поперечным сечением у которого наибольший по модулю крутящий момент т.е. участок АВ, записывая для него условие прочности найдем допускаемую величину внешнего момента.

Из условия прочности для участка СD с кольцевым поперечным сечением:снова найдем допускаемую величину внешнего момента

.

Так как условия прочности должны выполнятся для всех участков вала то в качестве допускаемой внешней нагрузки необходимо выбрать наименьшее из полученных значений - .