5 Соударение тел

Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 6). Ясно, что после удара шары будут двигаться вдоль той же прямой.

Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар.

Рис. 6

Абсолютно неупругий удар

Это такой удар, в результате которого оба шара «слипаются» и дальше движутся как единое целое, при этом кинетическая энергия шаров частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не выполняется. Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:

, (3.30)

, (3.31)

где и- массы шаров,и- скорости шаров до удара,- скорость шаров после удара,- количество теплоты, которое выделится во время удара.

Чтобы осуществить расчеты, нужно записать уравнение (3.30) в проекции

на ось . Сделаем это, например, для случая а) на рис. 6, когда шары движутся навстречу друг другу. Тогда

:.

Отсюда

,

подставив в уравнение (3.31), найдем величину внутренней энергии . Получим

. (3.32)

Абсолютно упругий удар

Это такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются с различными скоростями, которые определяются двумя законами сохранения: импульса и механической энергии. Напишем эти законы:

, (3.33)

(3.34)

найдем скорости шаров ипосле удара, скажем, для случая а) на рис. 6.

Тогда уравнение (3.33) примет вид:

:,

. (3.35)

Уравнение (3.34) преобразуем следующим образом:

(3.36)

Поделив (3.35) на (3.36), получим

(3.37)

Решая систему двух уравнений (3.35) и (3.37), получим

,(3.38)

Если массы шаров одинаковы: , то

,.

Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями.

Задачи

Задача 1Материальная точка массы= 0,1 кг начинает двигаться под действием силы. Найти работу, совершаемую силой над материальной точкой за время= 2,00 с от начала движения.

Решение

Ускорение материальной точки равно . Проинтегрировав это выражение по, найдем скорость точки:

.

Учитывая, что , найдем работу:

(Дж).

Задача 2Потенциальная энергия частицы определяется выражением, где= 1,00 Дж/м², а координаты выражены в метрах. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3,00; 3,00; 3,00). Найти ее кинетическую энергиюв момент, когда частица находится в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00).

Решение

Так как полная энергия остается постоянной, кинетическая энергия равна убыли потенциальной энергии:

;;.

Дж

Задача 3Имеются два стационарных силовых поля: 1); 2), гдеи- постоянные. Консервативны ли силы этих полей?

Решение

Найдем работу силы каждого поля на пути от некоторой точки 1 до некоторой точки:

1) ;

,

2) ;

.

В первом случае интеграл зависит от вида функции , т.е. от пути, поэтому первая сила неконсервативная. Во втором случае работа зависит только от начальной и конечной координат пути, следовательно, вторая сила консервативная.

Задача 4Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (= 6,37·10⁶м).

Решение

Минимальную скорость ракеты можно определить, зная ее минимальную кинетическую энергию. Согласно закону сохранения механической энергии можно написать:

,

,.

В конечном состоянии

,.

В результате

,

отсюда

Учитывая, что , перепишем ответ в виде:

,

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:

м/с.

Задача 5Шайба массойскользит без трения с высотыпо желобу, переходящему в петлю радиусом. Определить: 1) силу давленияшайбы на опору в точке, определяемой углом(см. рис.); 2) угол, при которомравна нулю.

Решение

Закон сохранения энергии:

,

.

:;

1)

2) ;;

;.

Задача 6Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара= 0,2 кг, масса второго= 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту= 4,5 см, и отпускают. Удар абсолютно упругий. На какую высоту поднимутся шары после соударения.

Решение

Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:

,

,

где - скорость первого шара массойдо соударения.

Найдем и- скорости шаров после удара.

;

.

Таким образом, скорости тел после упругого удара

.

Из закона сохранения энергии для тела до удара

,;

для тела после удара

;,

для тела после удара

;.

Отсюда

;;

;.

Подставляя численные значения, получим

(см);(см).

Тесты

1. Механической мощностью принято называть…

1) …скорость изменения сжатия пружины; 2) …скорость изменения высоты тела над горизонтом; 3) …изменение скорости тела; 4) …отношение работы, совершаемой за промежуток времени к величине этого промежутка; 5) …отношение заряда, протекающего по проводнику к промежутку времени за который он протекает.

2. Единицей мощности в системе СИ является...

1) …киловатт [кВт]; 2) …лошадиная сила [л.с.]; 3) …эрг в секунду [эрг∙с]; 4) …ватт [Вт]; 5) …электрон-вольт в секунду [эВ∙с].

3. Какая физическая величина в Международной системе единиц (СИ) измеряется в джоулях?

1) …сила; 2) …вес; 3) …давление; 4) …мощность; 5) …энергия.

4. Дано выражение: , где– вектор силы,и– модули радиус-векторов двух положений точки. Это выражение определяет…

1) …момент силы; 2) …кинетическую энергии тела; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …изменение скорости тела.

5. Какие механические законы сохранения выполняются при абсолютно неупругом ударе двух тел?

1) …закон сохранения импульса; 2) …закон сохранения механической энергии; 3) …закон сохранения электрического заряда; 4) …сохранения четности; 5) …закон сохранения импульса и механической энергии.

6. Какая физическая величина в Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на секунду [Н∙с]?

1) …сила; 2) …импульс тела; 3) …давление; 4) …мощность; 5) …работа.

7. Дано выражение , где- проекция силы на ось,и- два выражения координаты точки. Это выражение определяет…

1) …момент силы; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …работу проекции силы на ось .

9. Единицей измерения давления в системе СИ является…

1) …кельвин [К]; 2) …джоуль [Дж]; 3) …ньютон [Н]; 4) …ватт [Вт]; 5 )…паскаль [Па].

11. Дано выражение , где– коэффициент жесткости пружины, x - деформация пружины. Это выражение определяет…

1) …растяжение пружины; 2) …кинетическую энергию точки приложения силы к пружине; 3) …работу силы упругости; 4) …импульс силы; 5) …потенциальную энергию деформированной пружины.

12. Какая совершается работа, силой, перпендикулярной скорости движения материальной точки?

1) …полезная; 2) …затраченная; 3) …нулевая; 4) …для расчёта нужны другие данные; 5) …бесконечно большая.

13. Если - сила, действующая на материальную точку,- мгновенная скорость движения материальной точки в интервале времени отдо, тоесть…

1) …момент силы; 2) …кинетическая энергия материальной точки; 3) …работа силы; 4) …импульс материальной точки; 5) …ускорение материальной точки.

14. В потенциальном поле сила равна. График зависимостипредставлен на рисунке 1.

Рис. 1

Зависимость проекции силы на направлениебудет иметь вид…

1)2)3)

4)5)6)

15. Работа силы нормальной реакции опоры при движении по горизонтальной поверхности…

1) …всегда положительна; 2) …всегда равна нулю; 3) …всегда отрицательна;

4)  …может иметь любой знак; 5) …равна удвоенной работе силы тяжести.

16. Какие из нижеприведенных формул не справедливы для определения кинетической энергии тела? (р - импульс тела, m-масса.)…

1) …I и II; 2) …I и III; 3) …III; IV и V; 4) …I и IV; 5) …III и V.

17. Тело находящиеся в точке А может попасть в точку Д тремя путями: по пути АВД, по пути АД и по пути АСД. В каком из нижеприведенных соотношений находятся между собой работы силы тяжести на этих траекториях (рис. 2)?

Рис. 2

1) …A_ACD > A_ABD > A_AD; 2) …A_ACD > A_AD > A_ABD; 3) A_ACD< A_ABD< A_AD; 4) …A_ACD = A_ABD = A_AD; 5) …A_ACD = A_AD < A_ABD.

18. Какое из соотношений, определяющих кинетическую энергию вращающегося тела, правильное?

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

19. Под действием переменной силы, тело массой 1 кг изменяет свою проекцию скорости с течением времени, так, как показано на рисунке 3. Определить работу равнодействующей этой силы за 8 секунд после начала движения…

Рис. 3

1) …512Дж; 2) …128Дж; 3) …112Дж; 4) …64Дж; 5) …132Дж.

20. В каком из нижеуказанных случаев потенциальная энергия тела относительно Земли остается постоянной, а кинетическая энергия изменяется?

1) при движении тела вертикально вверх; 2) при свободном падении данного тела; 3) …при ускоренном движении в горизонтальном направлении; 4) при движении тела брошенного под углом к горизонту; 5) при движении тела брошенного горизонтально.

17