1. Выбор и обоснование математической модели

Математической моделью объекта исследования называется зависимость выходной величины y в виде аналитической функции от варьируемых факторов Х₁, Х₂,... Х_k, полученной с применением регрессионного анализа:

Y = f (X₁, X₂... X_k), (1.1)

где f (X₁, X₂,... X_k) – функция отклика, а уравнение (1.1) – уравнение регрессии.

Построенная математическая модель позволяет получить богатую информацию о самом объекте, способах управления им. С помощью математической модели легко, например, оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину; модель может послужить основой для оптимизации процесса.

Вид математической модели должен быть задан заранее. Иными словами, ещё до проведения эксперимента надо выбрать, к какому классу относится функция f (X₁, X₂,... X_k). Например, можно искать математическую модель в виде полинома, экспоненты, логарифмической функции и т.п. Таким образом, при планировании эксперимента с целью математического описания объекта по результатам опытов вычисляются значения констант в математической модели.

Поскольку вид математической модели постулируется, т.е. задаётся априорно (до проведения эксперимента), остаётся открытым вопрос о достоверности такой модели. Чтобы оценить применимость построенной модели, её соответствие исследуемому объекту, в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура, называемая проверкой адекватности регрессионной модели. По результатам этой проверки у исследователя имеется возможность принять или отвергнуть гипотезу о том, соответствует ли построенная модель результатам эксперимента, и, следовательно, пригодна ли она для описания объекта.

Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых математические модели объектов представляются в виде многочленов 1-го и 2-го порядков. Модель в виде многочлена 1-ого порядка сокращенно называют регрессионной моделью первого порядка, или линейной. В общем случае при наличии k варьируемых факторов линейная регрессионная модель объекта имеет вид:

Y = В₀ + В₁Х₁ + В₂Х₂ +... + B_k X_k, (1.2)

где     В₀, В₁, В₂...B_k – коэффициенты, числовые значения которых определяются по результатам эксперимента. Коэффициенты В₁, В₂ ...B_k, стоящие перед обозначениями факторов Х₁, Х₂,..., X_k, называют линейными коэффициентами регрессии, а коэффициент В₀ – свободным членом.

Выбрав для описания заданного объекта исследования регрессионную модель первого порядка, мы подтверждаем линейную зависимость выходной величины, в нашем случае производительности сортировочно-пакетирующей линии от каждого из факторов (объёма партии запуска, толщины и ширины сортируемых досок), т.е. утверждаем, что выходная величина изменяется пропорционально изменению варьи­руемых факторов.

Линейная регрессионная модель даёт, как правило, приближённое представление о влиянии факторов на объект. Применение таких моделей оправдано при жёстком ограничении на количество опытов, поскольку экспериментальные планы, позволяющие получить линейную модель, являются экономными. В деревообработке это относится, прежде всего, к экспериментам, проводимым в производственных условиях при исследовании процессов механической обработки древесины, сушки пиломатериалов, сборки конструкций и ряда других. В нашем случае выбор линейной модели 1-го порядка определяется заданием, ограничивающим число серий дублированных опытов восьмью. Кроме того, для проверки модели на адекватность требуется, чтобы в такой модели число значимых коэффициентов регрессии p было меньше числа поставленных серий дублированных опытов n = 8.