- •Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции Предел функции в бесконечности
- •Бесконечно малые и большие величины
- •Признаки существования и основные свойства пределов
- •Основные свойства пределов
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Свойства непрерывных функций
Предел функции Предел функции в бесконечности
Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S (зависящее от, т.е. S = S()), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: | f(x) - А| <.
Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная nпринимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.
Предел функции в бесконечности обозначается или f(x)А приx.
Итак, .
Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.
Рисунок 2.3 –
Геометрический смысл предела функции
в бесконечности
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x, если для любого> 0 найдется такое числоS> 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.
Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x+(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либоx-(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).
Предел функции в точке
Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех хх0таких, что |х - х0| <, верно неравенство: | f(x) - А| <.
Предел функции в точке х0 обозначаетсяили f(x)А приxх0.
.
Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.
Рисунок 2.4 –
Геометрический смысл предела функции
в точке
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при xх0, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки х0, что для всех хх0из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.
Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х0, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х0, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.
Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значенияx<x0(тогда в определении вместо |х - х0| <рассматривается интервал х0-<x< х0, а предел называютпределом слеваи обозначают) либо лишь значенияx>x0(тогда в определении вместо |х - х0| <рассматривается интервал х0<x< х0 +, а предел называютпределом справаи обозначают).
Если, то, и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, - если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).
Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи .