fan
.pdf1???
1.1???
Опр. Метрическое пространство U евклидово, если каждой паре элементов u и v сопаставлено число (u; v) скалярное произведение со следующими свойствами:
1.(u; v) = (v; u)
2.( u; v) = (v; u)
3.(u + w; v) = (u; w) + (v; w)
4.(u; u) 2 R; (u; u) 0; (u; u) = 0 , u = 0
Утв. Неравенство Коши-Буняковского
pp
j(u; v)j (u; u) (v; v)
Опр. Евклидово пространство полное, если оно полно относительно метрики (u; v) = jju vjj.
Опр. Бесконечномерное полное евклидово пространство называется гильбертовым.
Опр. M U выпуклое, если для любых 2х точек в M лежит отрезок, их соединяющий.
Опр. u 2 U; M U. Тогда (u; M) = inf (u; v) = inf jju vjj. Если
v2M v2M
есть такой элемент в M, где достигается равенство, то он называется ближайшим.
Теорема. M выпуклое, замкнутое множество гильбертова пространства U; u 2 U ) в M 9 единственный ближайший к u элемент.
Утв. Тождество Апполония
jjz xjj2 + jjz ujj2 = 12 jjx yjj2 + 2jjz x+2 y jj2 8x; y; z 2 U
Лемма. (о непрерывности скалярного произведения)
vn |
!1! v |
) ) (un; vn) ! (u; v) |
|
un |
n |
u |
|
!
n!1
Опр. M U; M? = fv 2 U : (v; u) = 0 j u 2 Mg ортогональное дополнение к M.
Лемма. 8 M 2 U; M? является подпространством в U.
1
Теорема. V подпространство гильбертова пространства U )
1.U = V V ?
2.(V ?)? = V
1.2Ортонормированные системы
Пусть U гильбертово пространство, f ng семейство элементов U.
Опр. f ng ортогональна: ( i; j) = 0; i 6= j
Опр. f ng нормированна: jj ijj = 1; 8i
Опр. f ng ортонормированна: ( i; j) = ij
Опр. Пусть feig1i=1 2 U
1
X
Рассмотрим ряд ciei, где ci 2 R(C).
i=1
Ряд сходится, если 9 f 2 U :
1
n
X
i=1
ciei f ! 0.
n!1
X
Тогда f = ciei сумма ряда.
i=1
Теорема. Пусть feig1i=1 ортонормированная система в гильбертовом пространстве U. Тогда:
1 |
1 |
X
1.ckek сходится ()
X
jckj2 сходится.
i=1 |
i=1 |
1
X
2. Если ряд ckek сходится, то его сумма не зависит от порядка
i=1
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
XX
суммирования и |
ckek |
= |
jckj2. |
|
|
|
|
i=1 i=1
11
XX
3. |
ckek = |
ctk etk . ??? |
i=1 |
|
i=1 |
Теорема. Бесселя
1
X
U гильбертово, fekgk2N ОНС в U, u 2 U ) jjujj2 (u; ek)2
i=1
2
Опр. Пусть U гильбертово, u 2 U; fekgk2N ОНС в U. Тогда
|
1 |
Ряд Фурье элемента u по системе fekgk2N |
Xi |
(u; ek)ek сходится. |
|
|
=1 |
Опр. U гильбертово, fekgk2N ОНС в U замкнутая система относительно u 2 U, если неравенство Бесселя выполняется в виде
|
1 |
|
Xi |
равенства (Парсеваля): jjujj2 = (u; ek)2 |
|
|
=1 |
8u 2 U; 8fekgk2N ОНС в U |
|
|
1 |
Xi |
|
Пусть T (u) 2 U : T (u) = |
(u; ek)ek |
|
=1 |
|
1 |
Утв. T (u) = U , jjujj2 = |
Xi |
(u; ek)2 |
|
|
=1 |
Опр. fekgk2N ОНС называется полной в U или ортонормированным базиом пространства U, если эта система замкнута относитель-
но любого элемента U.
1
X
То есть: jjujj2 = (u; ek)2 8u 2 U
i=1
Теорема. Пусть U гильбертово и fekgk2N ОНС fckgk2N ОНБ , U Linfekgk2N
Теорема. Пусть U сепарабельное гильбертово пространство ) 9 fekgk2N ОНБ.
3
2Линейные операторы
2.1Основные понятия
Опр. A : X ! Y оператор.
Опр. D(A) = fx 2 X j 9 y 2 Y : A(x) = yg область определения.
Опр. R(A) = fy 2 Y j 9 x 2 X : A(x) = yg область значений.
Опр. Инъективный оператор осуществляет взаимооднозначное соответствие между D(a) и R(A).
Опр. Сюрьективный R(A) = Y .
Опр. Биективный одновременно биективный и сюрьективный.
Пусть X и Y метрические пространства.
Опр. A непрерывен в ( )x 2 D(A), если
8fxngn2N D(A) : xn ! x в X ) A(xn) ! A(x) в Y .
Опрератор непрерывен на всей области определения, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Опр. X; Y линейные пространства, A линейный оператор, если:
1.D(A) линейное многообразие в X.
2.A( x + y) = A(x) + A(y); 8 ; 2 R; 8x; y 2 D(A)
Опр. Ker(A) = fx 2 D(A) j Ax = 0g
Опр. Пусть X линейное пространство над R(C), тогда A : X ! R(C) называют функционалом.
2.2Простейшие свойства линейных операторов
A : X ! Y , A 2 L(X; Y )
Теорема. X; Y нормированные пространства. A 2 L(X; Y ). Тогда A непрерывен на D(A) , A непрерывен в ( )0.
Опр. Пусть A 2 L(X; Y ), X; Y нормированные пространства. A ограниченный:
9 C 0 : jjAxjjY C jjxjjX; 8x 2 D(A) jjAjj = inf C
jjAxjjY jjAjj jjxjjX; 8x 2 D(A)
4
Утв. Пусть 9 C 0 : jjAxjjY C jjxjjX; 8x 2 D(A) ) jjAjj C
Опр. A 2 L(X; Y ); A ограничен , A непрерывен.
Опр. A0 продолжение A, если D(A) D(A0) и A0 x = A x; 8 x 2 D(A)
Опр. A0; A 2 L(X; Y ); A0 продолжение A и A0 ограниченный ) A ограниченный и jjAjj jjA0jj
Теорема. X нормированное пространство, Y банахово,
A : X ! Y линейный оператор (ограничен), D(A) X; D(A) = X ) 9A0 ограниченный:
1.D(A0) = X
2.A0x = Ax; 8x 2 D(A)
3.jjA0jj = jjAjj
То есть, оператор A может быть продолжен на все пространство X до непрерывного линейного оператора с сохранением нормы.
2.3Линейные пространства ограниченных операторов
X; Y нормированные пространства, A 2 L(X; Y ); 2 R(C) Тогда:
1.( A)x = (Ax)
2.(A + B)x = Ax + Bx
Таким образом, L(X; Y ) линейное многообразие.
Опр. fAng L(X; Y ); A 2 L(X; Y ); An сходится к A сильно, если:
jjAnx Axjj ! 0 8x 2 X
n!1
Опр. B(X; Y ) множество всех линейных операторов из X в Y (оно также является нормированным пространством).
Лемма. (Формула вычисления нормы оператора)
|
A |
|
= sup jjAxjj |
= sup |
Ax |
= sup |
Ax |
|
= sup |
|
Ax |
||
jj |
|
jj |
|
x |
|
|
jj jj |
jj |
|
jj |
|
jj |
jj |
|
|
|
x6=0 jj jj |
x=1 |
|
x 1 |
|
|
x<1 |
|
|
Теорема. Пусть Y банахово, X нормированное пространство ) B(X; Y ) банахово.
5
2.4Принцип равномерной ограниченности
Теорема. (Принцип равномерной ограниченности)
Пусть X банахово пространство, Y нормированное пространство, fAng B(X; Y ) )
1. sup jjAnjj < +1
n 1
2. 8 фиксированного x 2 X sup jjAnxjj < +1
n 1
Эти формулировки эквивалентны.
Теорема. Банаха-Штейнгауза
Пусть fAng; A 2 B(X; Y ) 8n 2 N, X банахово пространство, Y нормированное пространство. Тогда
Anx ! Ax (в Y ); 8x 2 X (сильная сходимость) ,
n!1
1. Anx ! Ax; 8x 2 X0; где X0 = X
n!1
2. sup jjAnjj = d < +1
n2N
Теорема. Сега
Z 1
Для того, чтобы квадратурная форма сходилась к |
x(t)dt 8x 2 C([0; 1]) , |
0
n
X
1.Anxx(tk) !
k=1
1
Z 1
x(t)dt; 8x 2 X0; где X0 = C0([0; 1])
0
X
2. sup jAnk j < 1
n2N k=1
2.5Обратные операторы
Пусть A : X ! Y линейное отображение. A инъективный.
Опр. A 1 обратный для A: A 1 : Y ! X; где D(A 1) = R(A)
и x = A 1(y) , y = A(x)
Утв. A 2 L(X; Y ) ) A 1 2 L(Y ; X)
Утв. A 2 L(X; Y ); пусть m 0 : jjAxjjY m jjxjjX ) 9 A 1 2 B(Y ; X) : jjA 1jj m1 8x 2 D(A)
6
Лемма. Пусть X0 = X; x 6= 0 )
8x 2 X 9fxkgk2N X0 : x = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
xk, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
|
другими словами xk |
|
|
|
x в X и для каждого xk : |
|
xk |
|
3 |
x |
(???) |
|
|
|
|
|
k |
|||||
|
n |
|
|
|
jj |
jj |
2 |
jj |
jj |
|
|
! |
|
|
|
||||||
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X
k=1
Теорема. Банаха
Пусть X; Y банаховы пространства, A 2 B(X; Y ); A биективный,
D(A) = X ) 9 A 1 2 B(Y ; X)
2.6Операторы, действующие из X в X
Пусть A 2 B(X; X) = B(X)
Опр. Произведением операторов A и B называют оператор (AB) :
D(AB) = X и (AB)x = (BA)x
Свойства:
1.A(B + C) = AB + AC
2.A( B) = ( A)B
3.9 I 2 B(X)
4.jjABjj jjAjj jjBjj
5.jjIjj = 1
Замечание. Если на банаховом пространстве введено произведение и вополняются все 5 пунктов, то эта структура называется банаховой алгеброй.
Утв. Пусть A; B 2 B(X) : AB = BA = I ) 9 A 1 2 B(X) : A 1 = B
Следствие. Пусть 9 A 1; B 1 2 B(X) ) 9 (AB) 1 2 B(X) и (AB) 1 = B 1 A 1
Опр. Ak = A : : : A; A0 = I
1 |
| |
|
{zk |
|
} |
k |
Xi |
Ak = B сходится , B = nlim |
X |
||||
Опр. |
Ak |
|||||
=1 |
|
|
|
|
!1 i=1 |
Теорема. Фон-Неймана
1
X
Пусть A 2 B(X); jjAjj 1 ) 9(I A) 1 2 B(X) и (I A) 1 = Ak
k=0
7
Теорема. О возмущении обратного оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
A 1 |
|
B(X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
; A |
|
B(X) |
|
9 |
|
1 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
k |
A0 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
A0; A0 |
|
|
> |
A |
|
= |
|
(A0 |
(A0 A)) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
A |
|
|
|
A |
|
21 |
|
< 1 |
|
> |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
) |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj jj |
|
|
|
jj |
|
|
< |
|
A |
|
|
1 |
|
A |
1 |
jj 1 |
jjA0 |
|
|
jjA0 Ajj |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> jj |
|
0 |
|
|
|
jj |
A0jj1 |
|
A0 |
|
A |
jj |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj jj |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
:
2.7Введение в спектральную теорию операторов
Пусть X банахово пространство, A 2 B(X); D(A) = X; 2 R(C)
A I 2 B(X); D(A I) = X
Опр. 2 (A) резольвентное множество A
9(A I) 1 2 B(X); D((A I) 1) = X(A) = R(C)n (A)
9(A I) 1 2 B(X); D((A I) 1) = X , A I биективный.
2 (A) , A I биективный.
Теперь рассмотрим случай, когда A не биективный.
1.Пусть A I не инъективный , Ker(A I) 6= 0 , Ax = x
2.R(A I) не замкнутое.
Пусть 2 c(A) (continious). Пусть 2 c(A)n p(A)(точечный) ) (A I) инъективный. ) 9(A I) 1 2 L(X; X)
D((A I) 1) = R(A I) = X0 не замкнутое в X.
Утв. (A I) 1 2= B(X)
3.Пусть R(A I) замкнут, то R(A I) 6= X, тогда говорят, что2 r(A)(rest) остаточный спектр.
(A) = p(A) [ c(A) [ r(A)
Утв. Пусть j j > jjAjj ) 2 (A)
Следствие. (A) ограниченное в R(C)
Следствие. (A) открытое в R(C)
Следствие. (A) компактное в R(C)(замкнутое и ограниченное)
8
3Линейные функционалы
3.1Теорема Хана-Банаха
Теорема. Хана-Банаха X нормированное пр-во,
L X, L линейное многообразие, f : X ! X линейное отображение
Тогда 9 линейный функционал F : X ! R
1.F (x) = f(x) 8x 2 L
2.jjF jj = jjfjj
Следствие. 1
Пусть x0 6= 0 ) 9 линейный ограниченный функционал, действующий из X ! R : 2 B(x; R):
1.(x0) = jjx0jj
2.jj jj = 1
Следствие. 2
Пусть 8f 2 B(X; Y ) и x0 2 X; где X нормированное пр-во f(x0) = 0 ) x0 = 0
Следствие. 3
X нормированное пр-во; L X L линейное многообразие:
Пусть x0 2 X : (x0; L) = d > 0
Тогда 9f 2 B(X; R):
1.f(x) = 0 8x 2 L
2.f(x0) = 1
3.jjfjj = d1
3.2Сопряженное пространство
Пусть X нормированное пространство
Опр. Пространство всех линейных ограниченных функционалов на X называется сопряженным к X.
X = B(X; R) сопряженное пространство.
9
Теорема. Рисса (об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве)
Uгильбертово пространство.
1.8u 2 U u ! g(v) = (v; u):
(a)g 2 U
(b)jjgjjU = jjujjU
2.8g 2 U 9!u 2 U:
(a)g(v) = (v; u) 8v 2 U
(b)jjg(v)jjU = jjujjU
Замечание. Из теоремы следует, что U и U неразличимы с точки зрения нормированных пространств.
Теорема. Рисса (об общем виде линейного ограниченного функционала в lp; p = (1; +1); q = pp 1 ; 1q + 1q = 1 )
1
X
1. Пусть 2 lp и f(x) = xk k подобная формула задает линей-
k=1
ный ограниченный функционал. Тогда f 2 (lp) и jjfjj(lp)
2. Пусть f 2 (lp) , тогда:
1
X
(a) 9! 2 lq : f(x) =
k=1
(b) jjfjj(lp) = jj jjlq
Теорема. Рисса (об общем виде функционала в Lp(E); 1 < p < 1)
1. Пусть g 2 Lq(E) )
Z
(a) l(f) = gdx 8f 2 Lp(E)
E
(b)l 2 (Lp(E)) jjljj(Lp(E)) = jjgjjLq(E)
2.Пусть l 2 (Lp(E)) )
Z
(a) 9!g 2 Lq(E) : l(f) = fgdx 8f 2 Lp(E)
E
(b) jjgjjLq(E) = jjljj(Lp(E))
10