- •Уравнение линии на плоскости.
- •Параметрическое уравнение линии.
- •2. Полярная система координат (пск).
- •Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
- •Классификация плоских линий.
- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •4. Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой. (Частные случаи).
- •Каноническое уравнение прямой.
- •Параметрическое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •Нормированное (нормальное) уравнение прямой.
- •Уравнение пучка прямых.
- •Расстояние от точки до прямой. Кривые II –го порядка.
- •Аналитическая геометрия в пространстве (r3)
Уравнение линии на плоскости.
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L.
Определение. Уравнение F(x;y)=0 (1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.
Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).
Уравнение (1) определяет линию L.
Пример. Уравнение окружности.
Окружность – множество точек, равноудаленных от заданной точки М0(х0,у0).
Точка М0(х0,у0) – центр окружности.
Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ0=R (R=const)
ММ0==R
(х-х0)2+(у-у0)2=R2–(2)–уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0,у0).
Параметрическое уравнение линии.
Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t:
(3) – параметрическое уравнение линии в ДСК
где функции (t) и (t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра).
Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1).
Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=(t) и у=(t) времени t.
Пример. Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.
Тогда x=r cos x y=r sin t. (4)
Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0t2.
Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2).
2. Полярная система координат (пск).
Выберем на плоскости ось L (полярная ось) и определим точку этой оси О (полюс). Любая точка плоскости однозначно задается полярными координатами ρ и φ, где
ρ – полярный радиус, равный расстоянию от точки М до полюса О (ρ≥0);
φ[0;2Π] –угол между направлением вектора ОМ и осью L (полярный угол). М(ρ; φ)
Уравнение линии в ПСК может быть записано:
ρ=f(φ) (5) явное уравнение линии в ПСК
F=(ρ; φ) (6) неявное уравнение линии в ПСК
Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
(х;у) (ρ; φ) Из треугольника ОМА:
tg φ=(восстановление углаφ по известному тангенсу производится с учетом того, в каком квадранте находится точка М).(ρ; φ)(х;у). х=ρcos φ,y= ρsin φ
Пример. Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).
Для М:=5, φ=arctg (4/3). Для Р: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.
Классификация плоских линий.
Определение 1. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется уравнением F(x;y)=0 (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен.
Определение 2. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной.
Определение 3. Алгебраическая линия называется линией порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен n-й степени.
Т.о., линией n-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени n с двумя неизвестными.
Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.
Теорема (док-во на с.107). Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.