Основные теоремы дифференциального исчисления
.docx
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Локальные экстремумы.
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех точек х из этой окрестности справедливо неравенство:
V(x0): xV(x0)\{x0} f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0))
Или f(x0+∆х)≤f(x0) (f(x0+∆х)≥f(x0))
Если выполняется неравенство f(x0+∆х)<f(x0) (f(x0+∆х)>f(x0)),
То говорят, о строгом локальном максимуме (минимуме).
Значение функции в точке х0 называют максимумом (минимумом) функции.
Максимум и минимум функции называют экстремумом, х0 – точка локального экстремума.
Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремальных точек) Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение (локальный экстремум). Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю =0
Доказательство. Пусть для определенности в точке х0 функция имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤f(x0) .
Это значит, что ∆у=f(x0+∆х)-f(x0)≤0 для любой точки x0+∆х.
Поэтому, если ∆x>0 (x>x0),то .
Следовательно,
Если же ∆x<0 (x<x0),то .
Поэтому,
Т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая неотрицательна. По условию существует. Значит, ===0. Ч.т.д.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, если в точке x0.функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции у=f(x) в точке (х0,f(x0)) параллельна оси Ох. (Рисунок).
Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема хотя бы в интервале (a;b).
Если f(a)=f(b), то найдется, по крайней мере, одна такая точка с(a;b), что =0.
Доказательство.
Т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса, функция f(x) на отрезке [a;b] достигает как своего наибольшего М, так и своего наименьшего m значения. Значит х[a,b] mf(x)M (1)
Возможны 2 случая
-
Если m=M, то из неравенства (1) следует, что все значения функции f(x) в промежутке [a;b] равны между собой, т.е. f(x)=const, тогда с – любая точка интервала (a;b).
-
m<M, т.е. f(x)≠const. В этом случае хотя бы одно из двух значений m или M функция f(х) принимает во внутренней точке с(a;b) (иначе, ввиду того, что f(a)=f(b), мы получили бы m=M, а это не так).
Т.о. выполнены все условия теоремы Ферма. Значит =0. Ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Ролля.
Если крайние ординаты графика функции у=f(x) равны, то на кривой найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции у=f(x) будет параллельна оси абсцисс. В этой точке производная и будет равна нулю.
Рисунок.
Пример. 1) Пусть f(x)=х2-4х.
f(0)=f(4)=0 =2x-4=0 в точке х=2. Здесь a=0, b=4, c=2.
2) Пусть f(x)=х3-6х2+11х-6.
f(1)=f(2)=f(3)=0 =3x2-12х+11=0 в точках 1=, 2=.
Здесь точка 1= лежит между точками х2=2 и х3=3,
Точка 2=. лежит между точками х1=1 и х2=2.
Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Пусть 1) функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], 2) существует конечная производная (х), по крайней мере, на интервале (a;b), тогда найдется по крайней мере одна точка с(a;b) такая, что
с(a;b): что f(b)-f(a)=(c)(b-a)
или
Доказательство.
1. При f(a)=f(b) утверждение вытекает из теоремы Ролля. (0=0(b-a))
2. При f(a)≠f(b). Введем вспомогательную функцию.
Вычтем из функции f(x) линейную функцию φ(х) такую, чтобы значение разности f(x)-φ(х) на концах отрезка совпадали.
Проведем прямую L׀׀AB, тогда
φ(х)=
Тогда f(а)-φ(а)= f(а)-0= f(а)
f(b)-φ(b)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)
Введем функцию g(x)=f(x)-,
g(a)=f(a)=g(b)
Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля: непрерывна в [a;b], т.к. представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (a;b) имеет конечную производную, равную (х)=(х)-. Следовательно, модно применить теорему Роля, т.е.
с(a;b): что (c)=0
(c)=(с)- =0, т.е. ч.т.д.
- формула Лагранжа или формула конечных приращений.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Пусть A(a,f(a)) и B(b,f(b)) – концы графика функции y=f(x), АВ – хорда, соединяющая точки А и В. Тогда правая часть формулы представляет собой tg , т.е. тангенс угла, образованного хордой АВ с положительным направлением оси Ох.
Поэтому равенство можно переписать в виде tg =tg . Значит, на кривой АВ имеется, по крайней мере, одна точка (c,f(c)) такая, в которой касательная к АВ параллельна хорде АВ.
Следствие 1.
Пусть функция у=f(x) дифференцируема в каждой точке промежутка (a;b). Если (х)=0 х(a;b), то функция тождественно постоянна на этом промежутке (f(x)=const).
Доказательство.
Зафиксируем точку х0(a;b) и возьмем точку х правее х0. Тогда, по теореме Лагранжа, f(x)-f(x0)=(c )(x-x0). Т.к. (с)=0, то f(x)-f(x0)=0. Т.е. для всех х правее х0 f(x)=f(x0).
Аналогично, если х левее х0, то f(x0)-f(x)=0, т.е. f(x0)=f(x). Ч.т.д.
Следствие 2.
Пусть функции f(x) и g(x) такие, что х(a;b).
Тогда функция f(x)-g(x)=const)
Теорема Коши. (б.д.)Пусть имеются две функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:
1) f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];
2) f(x) и g(x) имеют конечные производные и хотя бы в интервале (a;b);
3) .
Тогда между точками a и b найдется по крайней мере одна точка с такая, в которой имеет место равенство: - формула Коши.
Доказательство. Установим сначала, что знаменатель не равен нулю, т.е. g(a)≠g(b). Действительно, если предположить, что g(a)=g(b), то функция g(x) будет удовлетворять условиям теоремы Ролля. Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что =0. А это невозможно, т.к. по условию .
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=f(x)-f(a)-, которая удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а именно 1) определена и непрерывна на отрезке [a;b], т.к. f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];
2) имеет конечную производную хотя бы в интервале (a;b), .т.к. в (a;b) существуют конечные производные и ;
3) F(а)=f(а)-f(a)-=0=F(b)=f(b)-f(a)-=0
Следовательно, обязательно найдется хотя бы одна точка с(a;b): , т.е.
ч.т.д.
Замечание 1. Формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы Коши при g(x)=x, x[a,b].
Замечание 2. Как формула Коши, так и формула Лагранжа, имеет место не только когда a<b, но и в случае, когда a>b