Краткий конспект лекций
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение |
4 |
Лекция 1. Метод координат |
5 |
Лекция 2. Прямые на плоскости |
8 |
Лекция 3. Прямые в пространстве |
12 |
Лекция 4. Плоскости в пространстве |
14 |
Лекция 5. Кривые второго порядка |
18 |
Контрольные вопросы |
23 |
ВВЕДЕНИЕ
Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.
Лекция 1
Метод координат
Контрольные вопросы:
1. Расстояние между двумя точками ина плоскости.
2. Нахождение координат точки М, делящей в отношении λ заданный отрезок.
3. Нахождение площади треугольника по координатам его вершин.
Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.
Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок.
Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора .
Расстояние между двумя точками ина плоскости вычисляется по формуле
. (1)
Координаты точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, где ,,, находятся по формулам
, . (2)
Если λ = 1, т.е. точка М делит отрезок АВ пополам, получаются формулы координат середины отрезка
, . (3)
Площадь треугольника с вершинами ,,вычисляется по формуле
, где . (4)
Пример 1. Отрезок AB четырьмя точками разделён на пять равных частей. Определить координату ближайшей к A точки деления, если A(-3), B(7).
Решение.
Пусть - искомая точка; тогда.
Следовательно, по формуле находим, т.е.С(-1).
Пример 2. Известны точки А(1), В(5) – концы отрезка АВ; вне этого отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С.
Решение.
Отметим, что . Таким образом,
, т.е. C(7).
Пример 3. Определить расстояние между точками и.
Решение.
По формуле (1) получим
Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: ,,. Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.
Решение.
Найдем координаты точки D – середины отрезка АВ; имеем ,. ТочкаМ, в которой пересекаются медианы, делит отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С. Следовательно, координаты точки М можно определить по формулам
, ,
т.е.
, .
В результате получаем
, .
Пример 5. Определить площадь треугольника с вершинами: ,,.
Решение.
Используя формулу (4), получим
(кв.ед.).
Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-2;-5) параллельно прямой .
Решение.
Разрешив последнее уравнение относительно y, получим . Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен -3/4. Воспользовавшись уравнением, получаем, т.е..
Пример 7. Даны вершины треугольника: А(2; 2), В(-2; -8) и С (-6;-2). Составить уравнение медиан треугольника.
Решение.
Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:
, ,
, ,
, ,
Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы АА1:
, или , т.е..
Находим уравнение медианы ВВ1: поскольку точки В(-2; -8) и В1(-2;0) имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВ1 параллельна оси ординат. Ее уравнение .
Уравнение медианы СС1: , или.
Пример 8. Даны вершины треугольника: А(0; 1), В(6; 5) и С(12; -1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Решение.
По формуле найдем угловой коэффициент стороныАВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной их вершиныС, равен -3/2. уравнение этой высоты имеет вид , или.
Лекция 2