3.6 Степенные комплексы

Степенной комплекс – это функция вида

(3.4)

т.е. произведение различных степеней переменных или постоянных величин x_i, причем _i – любые числа. Такие функции имеют важное значение. степенными комплексами описываются фундаментальные законы природы (законы Ньютона, Ома и др.), выражаются зависимости, с помощью которых устанавливаются единицы физических величин, представляются размерности производных единиц измерения. Любую функцию можно представить как функцию некоторых степенных комплексов. Любое уравнение, связывающее различные величины, можно представить как уравнение, связывающее соответствующие степенные комплексы. Безразмерными степенными комплексами являются так называемые критерии подобия, определяющие подобие различных объектов.

Рассмотрим несколько важных положений, относящихся к степенным комплексам.

1. Число простых степенных комплексов, образованных из некоторых величин, не может превзойти числа этих величин.

Пусть из N величин x₁, x₂, …, x_N образовано n различных степенных комплексов

(3.5)

(3.6)

где любые числа.

В общем случае все эти комплексы разделяются на p простых (3.5) и (n – p) составных (3.6). Простые комплексы таковы, что ни один из них не может быть представлен в виде степенного комплекса, образованного из других комплексов группы. Каждый комплекс можно представить в виде степенного комплекса, образованного из . Для того, чтобы выразить через , необходимо с помощью (3.5) исключить из (3.6) величины x₁, x₂, …, x_N. Так как при это невозможно, то должно быть .

Пример. Из N = 3 величин x₁, x₂, x₃ образовано n = 4 степенных комплекса

(3.7)

Требуется установить число простых комплексов p.

Находим первого равенства и подставляем это выражение во все остальные равенства (3.7)

. (3.8)

Первое из этих равенств дает . Подставив это выражение в два остальных равенства (3.8), получим

. (3.9)

Таким образом, p = 2 и простыми можно считать комплексы , . На основании (3.9) можно получить и другие варианты двух простых комплексов.

2. Любую функцию некоторых величин можно представить в виде функции степенных комплексов этих величин. В любом выражении вида

(3.10)

символ F означает различные операции, выполняемые над переменными или постоянными , но во всех случаях включает возведение в степень и умножение степеней. В простейших случаях может быть и др. Обязательное выполнение указанных двух операций означает, что под знаком F величины образуют степенные комплексы (3.5), (3.6). Следовательно, любую функцию (3.10) можно представить в виде

. (3.11)

В этом выражении символ f различные операции, выполняемые над величинами , кроме возведения в степень и умножения степеней. Поэтому под знаком функции f объединения величин в какие-либо степенные комплексы быть не может.

Следует отметить, что в выражении (3.11) если величины независимые, то степенные комплексы независимыми могут и не быть.

Пример. В выражении

Степенные комплексы в общем случае можно рассматривать как независимые переменные, если независимы переменные . Но, если, например, , то .

3. Любую безразмерную функцию размерных величин можно представить в виде функции безразмерных степенных комплексов, образованных из этих величин.

Пусть

4. Любую размерную функцию размерных величин можно представить в виде произведения размерного степенного комплекса, составленного из этих величин, и безразмерной функции этих же величин.

Если

При образовании степенных комплексов, особенно безразмерных, может встретиться затруднение, связанное с необходимостью деления на размерную величину, обращающуюся в ноль, что недопустимо. Это затруднение принципиально можно устранить, выразив эту величину в относительных единицах.

Подобие степенных комплексов. Два сходственных степенных комплекса

подобны, если . (3.22)

В простейшем случае (3.23, 3.24)

(3.25)

После ввода масштабов соотношения между определяются четырьмя уравнениями (3.23) – (3.25). Дополнительные соотношения (3.25) должны быть такими, чтобы система уравнений (3.23) – (3.25) не оказалась противоречивой, что и является необходимым для подобия функций (3.23) и (3.24).

При условии непротиворечивости системы (3.23) – (3.25) можно:

- задавшись значением , определить двумя путями (рис. 3.9а);

- задавшись значением , определить двумя путями (рис. 3.9б).

Рисунок 3.9 – Два пути определения функций и в случае их подобия

В первом случае рассчитать можно:

(прямой путь),

(косвенный путь).

Система (3.23) – (3.25) непротиворечива, если тождественны выражения

(3.26)

т.е. условие непротиворечивости

(3.27)

Во втором случае рассчитать можно:

(прямой путь),

(косвенный путь).

Аналогично рассуждая, непротиворечивость обеспечивается тождеством

(3.28)

т.е. условие непротиворечивости

(3.29)

равносильное (3.27).

Таким образом, при отсутствии противоречивости системы (3.23) – (3.25) благодаря масштабам можно преобразовать уравнение (3.23) в (3.24) и наоборот. В процессе преобразования устанавливается условие непротиворечивости в виде безразмерного степенного комплекса (3.27) - (3.29), численное значение которого должно равняться единице.

В теории моделирования безразмерные степенные комплексы принято обозначать буквами Π (π). К безразмерному виду, аналогичному (3.27) - (3.29) можно привести и сходственные уравнения (3.23) - (3.24)

,

.

Условие непротиворечивости (3.29) вытекает из простого соотношения

.

Безразмерные степенные комплексы , называются критериями подобия сходственных функций (в нашем случае (3.23)-(3.24)).

Пример. Сходственные функции подобны, если Имеем и критерии подобия

,

.

Условие подобия выполняется, функции и подобны и для них справедлива зависимость на рис. 3.7а.

Вывод: для подобия степенных комплексов необходимы и достаточны:

- их сходственность;

- связь сходственных переменных масштабами;

- непротиворечивость (совместность) уравнений, выражающих сходственные степенные комплексы;

- непротиворечивость (совместность) уравнений, выражающих масштабы сходственных переменных.

Последнее условие означает, что масштабы не могут выбираться произвольно, а должны удовлетворять определенному масштабному уравнению вида (3.29).

Анализ совместности уравнений, выражающих сходственные степенные комплексы и масштабы, заключается в выводе масштабного уравнения и выяснении вопроса, удовлетворяют ли данному уравнению масштабы. Масштабное уравнение можно вывести двумя способами: с помощью преобразования одного сходственного уравнения в другое или с помощью критериев подобия. Все изложенное для простейших степенных комплексов (3.23) – (3.24) можно распространить на общий случай (3.21).