ЭлектрикаОптикаЗадачи2013

20

2. ОПТИКА

2.1. Сводка основных формул

Фотометрия

Видимый свет является электромагнитными волнами, длина которых лежит в диапазоне 380 < λ < 760 нм. Энергетические параметры света характеризуются световым потоком, силой света и освещенностью.

Световой поток Φ равен отношение энергии W света, падающего на площадку dS , к промежутку времени t , за который перенесена эта энергия

Φ = W t .

где I – сила света, r – расстояние от источника света до освещаемой поверхности, α - угол падения света на поверхность.

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика рассматривает световые явления в приближении, когда длина волны λ намного меньше размеров предметов. В этом приближении распространение волн описывается лучами – кривыми, перпендикулярными волновым поверхностям. В основу геометрической оптики положены следующие законы:

− прямолинейности (в однородной среде свет распространяется прямолинейно);

− независимости (лучи при пересечении не взаимодействуют); − отражения (угол падения равен углу отражения: α = α′, рис. 2.2);

− преломления (отношение синусов углов падения и преломления равно

Здесь L – оптический путь луча света. Законы прямолинейности, отражения, преломления и обратимости выводятся из принципа Ферма.

В плоском зеркале изображение симметрично относительно плоскости зеркала. В сферическом зеркале радиусом R расстояния от предмета до зеркала a и от изображения до зеркала b связаны с фокусным расстоянием f формулой

где n – показатель преломления стекла, R1 и R2 – радиусы кривизны передней и задней поверхностей линзы.

Линейное увеличение β линзы и сферического зеркала равно

β =ba .

Интерференция света

Когерентными называются волны одинаковой частоты и постоянной разности фаз. При наложении такие волны интерферируют, что проявляется в чередовании светлых и темных полос.

Условия максимума и минимума при интерференции имеют вид

где λ - длина волны, = L2 − L1 – оптическая разность хода лучей, k = 0, 1, 2…

Для двух когерентных источников света, дающих интерференцию, расстояние между соседними интерференционными полосами равно

x = dl λ,

где d - расстояние между источниками, l – расстояние до экрана.

Оптическая разность хода лучей при интерференции в тонких пленках определяется выражением

= 2d n2 − sin 2 α ± λ2 ,

где d – толщина пленки; α – угол падения; λ - длина волны. Добавка ±λ/2 появляется из-за изменения фазы волны на π при отражении.

r = i ab λ ,

где а и b – расстояния от источника S и от точки Р до фронта волны O. Амплитуда колебаний в методе зон Френеля складывается по формуле

Условие минимума при дифракции на узкой щели имеет вид b sin ϕ = ±kλ,

где b – ширина щели, ϕ - угол наблюдения темной полосы, k – номер полосы, λ

-длина волны.

Вдифракционной решетке проявляются два явления: дифракция на отдельной щели и интерференция от одинаковых щелей. Условие максимума интерференции для дифракционной решетки имеет вид

d sin ϕ = ±kλ,

где d –расстояние между щелями (период решетки), k – порядок спектра. Угловая дисперсия дифракционной решетки определяется выражением

Линейная дисперсия характеризует линейный разброс лучей и равна

Dl = ddxλ .

Разрешающая способность решетки определяется выражением

R = λ λ = kN ,

где N – количество щелей решетки.

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах, которые для них представляют дифракционную решетку, описывается формулой Вульфа – Брегга

23

d sin θ = kλ,

где d – расстояние между атомами, θ - угол скольжения, отсчитываемый от плоскости, в которой расположены атомы.

Поляризация и поглощение света

Интенсивность I плоско поляризованного света, прошедшего через поляризатор, определяется законом Малюса

I = I0 cos2 ϕ,

где I0 – интенсивность падающего света, ϕ - угол между плоскостью колебаний света и плоскостью поляризатора.

Естественный свет неполяризованный, но при отражении и преломлении поляризуется. Закон Брюстера определяет угол падения θБр, при котором отражённый свет полностью поляризован

tg θБр = n1 n2 .

Интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается вследствие его поглощения по закону Бугера

I = I0 e−χl ,

где χ - коэффициент поглощения, l – толщина слоя вещества.

Тепловое излучение

Все тела при любой температуре поглощают и излучают энергию. Абсолютно чёрным называют тело, которое поглощает полностью любое падающее на него излучение. Энергетическая светимость Re (энергия, излучаемая за еди-

ницу времени с единицы поверхности) абсолютно чёрного тела определяется законом Стефана – Больцмана

Re = σT 4 ,

где σ = 5,67 10−8 Втм2 К4 - постоянная Стефана – Больцмана; T- абсолютная температура. Полная энергия равна W = SRe , где S - площадь поверхности тела.

Длина волны λm , которой соответствует максимум излучательной способ-

ности абсолютно чёрного тела, связана с температурой законом смещения Вина

λm = bT ,

где b = 0,29 10-2 м К постоянная Вина.

Квантовая оптика

Энергия фотона определяется формулой Планка

ε = hν,

где h = 6,63 10-34 Дж с – постоянная Планка, ν - частота света.

Формула Эйнштейна для фотоэффекта выражает закон сохранения энергии hν = A + mv2 2 ,

24

где А – работа выхода электрона из металла, mv2 2 - кинетическая энергия вы-

летевшего электрона.

Изменение длины волны λ рентгеновских лучей в эффекте Комптона

λ = mch (1 − cosθ),

m – масса электрона, с – скорость света в вакууме, θ - угол рассеяния.

Атомная физика

При переходе электрона в атоме с одной орбиты на другую, атом излучает или поглощает фотон с энергией

hν = En − Em ,

где n и m – номера орбит, En и Em - энергии электрона на этих орбитах.

Число атомов N радиоактивного вещества, которое распадается за время t, определяется формулой радиоактивного распада

N = N0e−λt ,

где N0 - начальное число атомов, λ - постоянная радиоактивного распада, которая связана с периодом полураспада Т выражением T = ln 2λ.

Энергия связи ядра определяется соотношением

E = mc2 ,

где m - дефект массы, который определяется по формуле m = Zmp + (A − Z )mn − m0 ,

где Z – порядковый номер изотопа (количество протонов), А – массовое число (количество протонов и нейтронов), mp и mn - масса протона и нейтрона,

m0 = mA − Zme - масса ядра, равная разности масс атома mA и электронов Zme .

2.2. Примеры решения задач

1. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтальном направлении силу света I = 60 кд. Какой световой поток падает на картину площадью S = 0,5 м2 , висящую вертикально на стене в r = 2 м от лампы, если на противоположной стене находится большое зеркало на расстоянии a = 2 м от лампы?

Решение. Как следует из условия задачи на картину К падает световой по-

где r - расстояние от источника света до элемента поверхности dS . В нашем случае размеры картины гораздо меньше расстояния r и интегрирование дает

4. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает на пластинку перпендикулярно. Показатель преломления пластинки n = 1,5, длина волны λ = 6 10 −7 м. Какова толщина h пластинки?

5. На мыльную пленку с показателем преломления n = 1,33 падает белый свет под углом α = 45°. При какой наименьшей толщине пленки h отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет ( λ = 6 10−5 см)?

В выражении (1) для луча 2 добавлена разность хода λ2 , т.к. при отраже-

нии от оптически более плотной среды происходит изменение фазы на π, что эквивалентно дополнительному пути λ2 . Для луча 2' такое не наблюдается.

Максимум интерференции наблюдается при условии = kλ, где k = 0,1, 2 … . Минимальная толщина пленки будет при k = 0 для первого максимума, таким образом с учетом (1) получаем уравнение

6. Найти расстояние l2 между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона, если расстояние l1 между вторым и двадцатым темными кольцами равно 4,8 мм. Наблюдение проводится в отраженном свете.

Решение. Радиус k - го темного кольца при наблюдении в отраженном свете определяется формулой

rk = kRλ,

где R – радиус кривизны линзы. Расстояние между кольцами с номерами i и k (k > i) найдем по формуле

7. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Угол дифракции для натриевой линии с длиной волны λ1 = 589 нм в спектре первого порядка был найден равным α1 = 17°8'. Некоторая линия дает в спектре второго порядка угол дифракции, равный α2 = 24°12'. Найти длину волны λ2 этой линии и число штрихов t на 1 мм решетки.

Решение. Из условия максимума для дифференциальной решетки d sin ϕ= 2λ для первой и второй линий имеем

d sin ϕ1 = λ1, d sin ϕ2 = 2λ2 .

Решая эти уравнения относительно d и λ2 , получим

Количество штрихов t решетки на единицу длины обратно периоду d решетки

t = 1 = sin ϕ1 d λ1

8. Найти угол ϕ между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза.

Решение. Естественный свет не поляризован, в нем направления колебаний ориентированы произвольно. Поляризатор пропускает колебания только в одном направлении и на выходе поляризатора будет линейно поляризованный свет с колебаниями вдоль плоскости поляризатора. Разложим колебания естественного света интенсивности I0 по двум направлениям: вдоль и поперек плоскости поля-

ризатора. Через поляризатор пройдут только продольные колебания. Поэтому интенсивность I1 прошедшего через поляризатор света будет в два раза меньше:

I1 = I0 2. Далее этот поляризованный свет проходит через анализатор. Интенсивность I2 прошедшего света определяется законом Малюса

I2 = I1 cos2 ϕ,

где ϕ - искомый угол между плоскостями поляризатора и анализатора. Отсюда с учетом условия задачи находим

9. Мощность излучения абсолютно черного тела N = 10 кВт. Найти величину излучающей поверхности S тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λm = 7 10-5 см.

Решение. По закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела равна

Эта величина определяет мощность излучения с единицы поверхности. Мощность излучения с поверхности S равна: N = RэS . Отсюда можно найти пло-

щадь излучающей поверхности

где λm - длина волны, на которую приходится максимум излучения, b - посто-

янная Вина.

Подставляя (3) и (1) в (2) получим

29

10. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой ν1 = 2,2 1015 Гц, полностью задерживаются разностью потенциалов U1 = 6,6 В, а вырываемые светом с частотой ν2 = 4,6 1015 Гц - разностью потенциалов U2 = 16,5 В.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта

hν = A + mv2 2 ,

где hν - энергия фотона, А – работа выхода электрона, mv2 2

энергия выбитого электрона. Чтобы затормозить выбитые электроны, надо совершить работу eU , где U - задерживающее напряжение. Для разных частот света на основании (1) имеем

hν1 = A + eU1 , hν2 = A + eU2 .

Отсюда, исключив работу А, находим постоянную Планка

h= e(U1 −U2 ) = 6,62·10-34 Дж·с.

ν1 − ν2

11.Какую энергию W можно получить от деления массы m = 2 г урана 23592U , если при каждом акте распада ядра урана выделяется энергия Q = 200

МэВ?

Решение. Чтобы найти энергию, которая выделится при распаде ядер урана, найдем количество атомов урана N в данной массе вещества по формуле

N = mμ N A ,

где N A = 6,02 1023 моль-1 – число Авогадро, μ = 0,235 кг/моль – молярная масса

урана.

Зная количество распавшихся ядер урана, найдем полную энергию

W =QN =Q mμ N A =1,64 1011 Дж = 4,55 104 кВт час.

Это очень большая энергия. Для сравнения, чтобы получить такую же энергию, надо сжечь 5,5 т угля, т.е. в 2,7 миллиона раз больше по массе.

2.3. Задачи для работы в аудитории

1. Свет от электрической лампочки с силой света I = 200 кд падает под углом α = 45° на рабочее место, создавая освещенность Е = 141 лк. На каком расстоянии r от рабочего места находится лампочка? На какой высоте h от рабочего места она висит?