Погрешности (ошибки) измерений. Определение погрешностей при прямых измерениях: абсолютных и относительных.

Абсолютная погрешность отдельных измерений – разность между истинным значением измеряемой величины (на практике средним значением) и значениями той же величины, полученные при отдельных измерениях

; ;;; .

Средняя абсолютная погрешность – среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных абсолютных погрешностей:

.

Относительная погрешность (ошибка) отдельных измерений – отношение абсолютной погрешности отдельного измерения к истинному значению (среднему значению) измеряемой величины

; ;;.

Средняя относительная погрешность (ошибка) результата измерений – отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины

.

Истинное значение измеряемой величины – интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины:

или

,

где x_т – наиболее вероятная ошибка результата измерений. В технических измерениях

.

Определение погрешностей при косвенных измерениях.

Средняя абсолютная погрешность при косвенных измерениях:

,

где <> - средняя относительная погрешность;

<x> - среднее арифметическое значение измеряемой величины.

Средняя относительная погрешность при косвенных измерениях определяется так:

1. Расчетную формулу необходимо прологарифмировать.

2. От полученного соотношения взять полный дифференциал.

3. Заменить знаки "d" на знаки ""; заменить знаки "-" на знаки "+".

Например, для определения средней относительной погрешности при определении плотности твердого тела в данной работе (рис. 1) необходимо провести указанные операции с расчетной формулой

,

где <m> - среднее значение массы исследуемого образца;

<>=3,14 = среднее значение числа ;

<D> - среднее значение диаметра исследуемого образца цилиндрической формы;

<h> - среднее значение исследуемого образца.

После логарифмирования получим:

.

Полный дифференциал от полученного соотношения:

.

Окончательно имеем:

или

,

где <_> - среднее значение относительной погрешности плотности вещества;

<m> - среднее значение абсолютной погрешности при определении массы исследуемого образца;

<_m> - среднее значение относительной погрешности при определении массы исследуемого образца;

<> - среднее значение абсолютной погрешности числа , которое может быть задана;

<_> - среднее значение относительной погрешности числа ;

<D> - среднее значение абсолютной погрешности при определении диаметра исследуемого образца;

<_D> - среднее значение относительной погрешности при определении диаметра исследуемого образца;

<h> - среднее значение абсолютной погрешности при определении высоты исследуемого образца;

<_h> - среднее значение относительной погрешности при определении высоты исследуемого образца.

Примечание. Если абсолютные погрешности, полученные при измерениях величин входящих в расчетную формулу, окажутся меньше, чем приборная погрешность, то при определении относительной погрешности подставляются приборные погрешности.

Зная величину относительной погрешности "_" и среднее значение плотности <> для абсолютной погрешности получим:

<>=<_><>.

Истинное значение величины плотности вещества исследуемого образца находится в интервале

.

II. Задания: 1. Ознакомиться с измерениями физических величин и классификацией погрешностей.

2. Определить плотность вещества, из которого изготовлен исследуемый образец.

Порядок выполнения задания 2.

1. Штангенциркулем несколько раз определить высоту исследуемого образца. Результаты занести в таблицу.

2. Микрометром несколько раз определить диаметр исследуемого образца. Результаты занести в таблицу.

3. С помощью весов один раз определить массу исследуемого образца. Результаты занести в таблицу.

4. Рассчитать среднее значение величин, входящих в расчетную формулу. Результаты занести в таблицу.

5. Рассчитать среднее значение плотности вещества, из которого изготовлен исследуемый образец. Результаты занести в таблицу.

6. Рассчитать абсолютные и относительные погрешности полученных результатов, сравнив их с приборными погрешностями. Результаты занести в таблицу.

7. Записать доверительный интервал, в котором находится истинной значение плотности вещества исследуемого образца.

Таблица

N п/п

<m> 10-3, кг

<m> 10-3, кг

D 10-3, м

<D> 10-3, м

D 10-3, м

<D> 10-3, м

h 10-3, м

<h> 10-3, м

h 10-3, м

<h> 10-3, м

<> 103, кг/м3

<> 103, кг/м3

<> %

1

2

3