7.3. Ошибки выборки

Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности:, либо.

Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.

(7.2)

где - средняя по совокупности выбранных единиц,

- средняя по генеральной совокупности,

- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой , можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.

Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки , гарантируемым с некоторой вероятностьюР, величиной t и средней ошибкой выборки .

Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:

(7.3)

где Ф₀(t) - функция Лапласа.

Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³ 30 - в таблице значений Ф₀(t), а при n < 30 в таблице распределения t-Стьюдента. Неизвестное значение при расчете ошибки выборки заменяется

В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному:

Таблица 7.1

Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора

m	Собственно-случайный повторный отбор	Собственно-случайный Бесповторный отбор
Для средней
Для доли

Здесь - выборочная дисперсия значений признака;

- выборочная дисперсия доли значений признака;

- объем выборки;

- объем генеральной совокупности;

- доля обследованной совокупности;

- поправка на конечность совокупности⁴.

7.4. Определение численности (объема) выборки

Одной из важнейших проблем выборочного метода является определение необходимого объема выборки. От объема выборки зависит размер средней ошибки и экономичность проводимого выборочного наблюдения, т.к. чем больше объем выборки, тем больше затраты на изучение элементов выборки, но тем меньше при этом ошибка выборки.

Из формулы предельной ошибки и формул средних ошибок выборки определяются формулы необходимой численности выборки для различных способов отбора.

Таблица 7.2

Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора

n	Собственно-случайный повторный отбор	Собственно-случайный Бесповторный отбор
Для средней
Для доли