Примеры

1) . Подынтегральная функцияи первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому формулой Ньютона-Лейбница пользоваться можно:.

2) . Подынтегральная функцияи первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому.

3) . Здесь подынтегральная функциятерпит разрыв в точке. Поэтому формулой Ньютона-Лейбница в данном примере воспользоваться нельзя, однако выражения такого типа имеют определенный смысл, который рассмотрим в дальнейшем.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции и их производныенепрерывны на отрезке, то имеет место формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

(27)

Порядок вычисления:

1. все подынтегральное выражение разбить на две части, одну обозначить символом , другую -(см. п. 1.5);

2. вычислить дифференциал функциии найти функциюпо ее дифференциалу, интегрируя;

3. применить формулу интегрирования по частям, проверив предварительно непрерывность функций .

Формула интегрирования по частям применяется для тех же типов интегралов, что описаны в п. 1.5.

Примеры

1)

.

.

Отметим, что поскольку функции инепрерывны на, формулой интегрирования по частям пользоваться можно.

2.7. Замена переменной в определенном интеграле

Если функция непрерывна на непрерывна вместе со своей производнойна, причем, то

(29)

Порядок вычисления:

1. ввести новую переменную с помощью подстановки вида или. Выбор подходящей переменной см. по п. 1.4 (табл. 1), п-п. 1.7 и 1.8;

2. продифференцировать введенную в п. 1 подстановку;

3. найти новые пределы интегрирования ис помощью формулы из п. 1;

4. выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную;

5. вычислить полученный интеграл. Отметим, что если при вычислении определенного интеграла методом замены переменной аккуратно выполнены п.1-4, то возвращаться к старой переменной не нужно, а можно вычислить интеграл, используя новую переменную.

Примеры

1) . Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Применим формулу замены переменной. В табл. 1 находим требуемую подстановку, новые пределы интегрирования имеют вид: если, то, если же, то. Выразив подынтегральное выражение, вычислим полученный интеграл:.

2) . Подынтегральная функция – четная относительно, поэтому по свойству 7 из п. 2.3 получим:

.

Поскольку подынтегральная функция нечетная относительно , то подстановкаприводит к цели (см. табл.2):

.

3) . Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Здесь значение интеграла можно вычислить, используя замену:

.

Отметим, что этот результат можно получить и без вычислений, заметив, что подынтегральная функция нечетна относительно , и воспользовавшись свойством 8 из п. 2.3.

2.8 Несобственные интегралы

Несобственными называются интегралы 1) с бесконечными пределами; 2) от неограниченных функций.

2.8.1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы I рода)

Если функция непрерывна при , то по определению

. (30)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично:

. (31)

По определению, если непрерывна при, то

, (32)

где произвольно, причем интеграл в левой части равенства считается сходящимся, если сходятсяоба интеграла в правой части.

Порядок вычисления несобственного интеграла:

1. вычислить определенный интеграл с переменным пределом;

2. найти предел от полученного выражения.

Если непрерывна на соответствующих промежутках, а- одна из первообразных, то формулы (30)-(32) можно записать так:

(33)

(34)

(35)

где под понимается, а под-.

Формулы (33)-(35) аналогичны формуле Ньютона-Лейбница (27) для интегралов с конечными пределами. При вычислении несобственных интегралов можно пользоваться формулой интегрирования по частям. Можно применять и способ подстановки, но при условии, что функция илимонотонна на промежутке интегрирования.