2. Расчет на прочность валов при совместном действии изгиба и кручения

   1. Основные теоретические сведения

В первой части курса сопротивления материалов основное внимание уделено решению задач, в которых прямолинейные стержни испытывают отдельные виды деформации: растяжение, сжатие, кручение, изгиб. На различные детали машин часто одновременно действуют несколько из указанных видов деформации. Такой случай работы деталей получил название сложного сопротивления. Наиболее распространенным случаем сложного сопротивления является совместное действие изгиба и кручения.

Для расчета на прочность стержня при совместном действии изгиба и кручения строят на отдельных рисунках эпюры вертикального M_zи горизонтального M_yизгибающих и крутящего M_хмоментов [2]. В качестве опасного сечения стержня принимают сечение, в котором ординаты всех моментов наибольшие, либо расчет проводят для нескольких сечений, где один или два момента достигают максимального значения. Стержень считается прочным, если выполняется условие:

(2.1)

где – приведенный момент, вычисляемый по одной из теорий прочности [3];

– момент сопротивления поперечного сечения;

– допустимое нормальное напряжение материала стержня.

По третьей теории прочности приведенный момент

(2.2)

по четвертой –

(2.3)

2. Решение типовой задачи

Шкив диаметром D₁ с ветвями, направленными вертикально, вращается с угловой скоростьюи передает мощность N. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂и ветви ремня, направленные горизонтально, каждый из шкивов передает мощность 0,5N (рис. 2.1).

Определить моменты, приложенные к шкивам, окружные усилия, составляющие давления на вал, максимальный расчетный момент; построить эпюры крутящих и изгибающих моментов от горизонтальных и вертикальных сил, эпюру суммарных изгибающих моментов; подобрать диаметр вала.

Исходные данные для решения задачи: D₁ = 1 м; D₂ = 0,5 м;рад/с; N = 50 кВт.

а

б

Рис. 2.1. Вал ременной передачи

а –схема вала; б –расчетная схема; в –схема вала (вид сбоку)

Решение.

1) Вычислим моменты, приложенные к шкивам.

Крутящий момент определим по заданным величинам – N и :

; (2.4). (2.5)

После подстановки исходных данных в уравнения (2.4) и (2.5) получим: (кН·м);кН·м.

2) Построим эпюру крутящих моментов.

Расчетная схема вала приведена на рис. 2.2, а. Концы вала закреплены в подшипниках, которые практически не мешают валу свободно поворачиваться, поэтому реактивные моменты в подшипниках не возникают, и эпюру крутящих моментов можно построить только для средних участков. Порядок построения эпюры M_хприведен в методических указаниях [2].

3) Определим окружные усилия t₁и t₂.

Окружные усилия относительно центра вала создают момент, значение которого должно равняться значению соответствующего крутящего момента.

Для шкива 1 получим:

(2.6)

отсюда

для шкива 2 –

(2.7)

отсюда

4) Определим давления P₁и P₂на вал (см. рис. 2.2,в,д).

Общее вертикальное усилие

(2.8)

Общее горизонтальное усилие

(2.9)

После подстановки данных в уравнения (2.8) и (2.9) получим:

M₂

Рис. 2.2. Эпюры внутренних усилий на валу

а,в,д– расчетные схемы; б, г,е, ж– эпюры моментов

5) Построим эпюру изгибающих моментов от горизонтальных и вертикальных сил.

Силы P₁и P₂вызывают изгиб в вертикальной и горизонтальной плос-костях, при этом подшипники могут рассматриваться как обычные балочные опоры (см. рис. 2.2,в,д).

Порядок построения эпюр изгибающих моментов M_zи M_yизложен в методических указаниях[2].Вид эпюр M_zи M_yприведен на рис. 2.2,г,е.

6) Построим эпюру суммарных изгибающих моментов.

Ординаты суммарной эпюры изгибающих моментов М_инаходим по формуле:

(2.10)

Например, для сечения при x = 2 м

Эпюра М_иизображена на рис. 2.2,ж(следует обратить внимание на то, что согласно формуле (2.10) эпюра М_икриволинейна).

7) Найдем величину максимального расчетного момента по третьей теории прочности.

Вид эпюр M_хи М_иуказывает на то, что опасным является сечение, расположенное на расстоянии 2 м от левой опоры, для которого

Расчетный момент находим по выражению (2.2) с учетом формулы (2.10):

(2.11)

После подстановки полученных данных в уравнение (2.11) получим:

8) Подберем диаметр вала при = 70 МН/м².

Из условия прочности (2.1) находим требуемое значение момента сопротивления:

(2.12)

После подстановки полученных данных в уравнение (2.12) получим: Для круглого сеченияотсюда

Согласно рекомендациям, приведенным в методических указаниях [2, подразд. 2.2], округляем значение найденного диаметра d до 170 мм.