2484
.pdf2484 |
Министерство транспорта Российской Федерации |
|
|
|
Федеральное агентство железнодорожного транспорта |
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Кафедра «Высшая математика»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(общий курс)
Контрольные задания и примеры их решения для студентов 1 курса экономических специальностей
заочной формы обучения
2 семестр
Составители: Н. А. Архипова О. Ф. Маркович В. А. Паняев С. И. Харьковский
Самара
2010
1
УДК 519.7
Высшая математика (общий курс) : контрольные задания и примеры их решения для студентов 1 курса экономических специальностей заочной формы обучения / составители : Н. А. Архипова, О. Ф. Маркович, В. А. Паняев, С. И. Харьковский. – Самара : СамГУПС, 2010. – 30 с.
Утверждены на заседании кафедры 03.09.2009 г., протокол № 1. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают следующие разделы общего курса: интегральное исчисление функций одной переменной, функции многих переменных, дифференциальные уравнения и ряды.
Приводятся образцы решений типовых заданий контрольных работ.
Составители: преп. Наталья Александровна Архипова доц. Олег Филиппович Маркович доц. Валерий Алексеевич Паняев доц. Сергей Иванович Харьковский
Рецензенты: к. ф-м.н. доц. СГУ Г. В. Воскресенская; к. т. н. доц. СамГУПС В. Л. Шур
Под редакцией составителей
Подписано в печать 04.02.2010. Формат 60×90 1/16. Усл. печ. л. 1,9. Тираж 200 экз. Заказ № 5.
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010
2
СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ Функции нескольких переменных
1.Функции нескольких переменных; область определения, способы задания, геометрический, физический и экономический смысл.
2.Предел функции двух переменных. Непрерывность.
3.Частные приращения и частные производные функции двух переменных.
4.Полное приращение и полный дифференциал. Условие дифференцируемости функции двух переменных.
5.Производная по направлению и градиент.
6.Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
7.Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
8.Метод наименьших квадратов.
Интегральное исчисление
1.Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2.Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул.
3.Метод подстановки. Интегрирование по частям.
4.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.
5.Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
6.Интегралы от иррациональных функций.
7.Интегрирование простейших тригонометрических функций.
8.Определенный интеграл и его свойства.
9.Вычисление определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница.
10.Вычисление площадей плоских фигур.
11.Вычисление объемов тел вращения и длин плоских кривых.
12.Несобственные интегралы.
13.Определение кратных интегралов, их вычисление.
Дифференциальные уравнения
1.Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3.Однородные и линейные уравнения первого порядка.
4.Дифференциальные уравнения высших порядков (общие свойства решений).
5.Линейные, однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
6.Линейные, неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
7.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ряды
1.Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
2.Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда: признак сравнения рядов с положительными членами, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак сходимости ряда.
3.Знакочередующие ряды. Признак Лейбница.
4.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
5.Функциональные ряды. Область сходимости.
6.Степенные ряды. Теорема Абеля. Нахождение области сходимости степенного ряда.
7.Ряды Тейлора и Маклорена.
8.Разложение в ряд Маклорена функций ex, cos x, sin x, ln(1+x), (1+x)α.
9.Применение рядов к приближенным вычислениям.
3
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.
2.Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.:
ИНФРА-М, 2008. – 656 с.
3.Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс. – М.:
Айрес-пресс, 2007. – 608 с.
4.Шипачев В.С. Высшая математика : учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. –
479 с.
5.Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1,2. – М.: Интеграл-пресс, 2002.
6.Справочник по высшей математике / под ред. А.А. Гусак. – Мн.: Тетра-Системс, 1999. – 640 с.
7.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1, 2. – М.: Высшая школа, 2006.
8.Додонова Н.Л., Маркович О.Ф. В.А.Паняев. Высшая математика (общий курс). Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочников экономических специальностей. – Самара : СамГУПС, 2009. – 89 с. № 2312.
Порядок выполнения и защиты контрольных работ по высшей математике
1.По курсу высшей математики 2 семестра, предусмотрено выполнение двух контрольных работ. В каждом из заданий задачи разбиты на 30 вариантов. Номер варианта контрольных работ определяется остатком от деления на 30 числа, образованного последними двумя цифрами учебного шифра, указанного в зачетной книжке студента. Если последние две цифры образуют число, меньшее 30, то они и определяют номер варианта.
2.Каждая из контрольных работ выполняется в тетради. На лицевой стороне обложки тетради указать название учебного заведения, номер контрольной работы по высшей математике, Ф.И.О. студента, номер учебного шифра, Ф.И.О. преподавателя, рецензирующего работу.
3.В конце каждой контрольной работы привести список используемой литературы, поставить подпись и дату представления работы.
4.Прорецензированная работа с отметкой «допущена к собеседованию» защищается студентом до начала экзаменационной сессии.
5.Студенты, не защитившие контрольных работ по математике, к сдаче экзамена не допускаются.
6.Контрольные работы с отметкой рецензента «работа не допущена к собеседованию» переделываются студентом заново с учетом замечаний рецензента и направляются на повторную проверку.
7.Теоретические сведения и методические указания для выполнения контрольных заданий указаны в методических указаниях № 2312 (электронный носитель) и № 1388.
4
Контрольная работа № 3
Функции многих переменных
№№1.1-1.30.Дана функция z = f (x, y) . Найдите:
∂z |
; |
∂z |
; |
|
∂2 z |
; |
∂2 z |
; |
∂2 z |
; |
∂2 z |
. Убедитесь, что |
|
∂2 z |
= |
∂2 z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂x |
∂y |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
∂y∂x |
∂x∂y |
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z = ln(2x2 − 4 y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.1. z = ln(3x2 |
|
+ 2 y3 ); |
|
|
|
1.11 |
|
1.21 |
z = ln(4x2 + 3y); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.2. z = sin(x2 |
|
+ y2 ); |
|
|
|
1.12. z = sin(x2 + xy + y2 ); |
1.22 |
z = sin y(cos x + cos y); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1.3. |
|
2x + 3y |
; |
|
|
|
|
1.13 |
x |
|
|
1.23 |
|
|
|
x + y |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z = arctg |
|
; |
|
z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.4. |
z = cos |
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
1.14. z = 3x − 4 y |
; |
|
1.24 |
z = ln 2x + y ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + 5x |
|
|
|
|
|
|
|
3y − x |
|
|
|
|
|||||||||
1.5. z = ex2 y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15 |
z = xe y + yex ; |
|
1.25 |
z = e |
|
x |
2 + xy + y |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
1.6. z = cos(y − 2x); |
|
|
|
1.16 |
z = x cos y + y sin x ; |
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.26 |
z = e |
sin y + e |
sin x ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.7. z = ln(ex |
+ e y )− xy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1.17 |
z = ln(5x + 3y) ; |
|
1.27 |
z = cos x(sin y + sin x) ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1.8. |
z = sin |
|
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.18 |
z = arctgxy ; |
|
1.28 |
z = x cos |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.19 |
z = cos(xy + 3y) ; |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.29 |
|
|
|
x + 5y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.9. |
z = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ln |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y − 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.10. z = cos y − (y − x) sin y ; |
|
1.20 |
z = xe xy ; |
|
|
1.30 |
z = ye |
y2 − x2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
_ |
_ |
|
|
№№ 2.1-2.30. Дана функция z = f (x,y) , точка M 0 (x0 ;y0 ) и вектор s |
= x i |
+ y j . |
Найдите градиент функции и производную по направлению вектора s в точке M 0 .
2.1. z = 3x2 + 5xy − y2 + x + 2y + 4 ; |
M 0 (1;− 2); |
|
2.2. z = −5x2 + xy + 2y2 − x + 4y + 1; |
M 0 (2;1); |
|
2.3. z = −4x2 + xy + 3y2 + 2x − y + 2 ; |
M0 |
(1;1); |
2.4. z = − x2 + 2xy + y2 − 3x + y − 1; |
M0 |
(− 1;− 1); |
2.5. z = 2x2 − 4xy − 3y2 − 5x − 2 y + 6 ; |
M 0 |
(− 1;2); |
2.6. z = −3x2 + 3xy − 2 y2 + 3x − 4 y + 1; |
M 0 (− 2;1); |
|
2.7. z = 4x2 − 2xy + 5y2 − 2x + y + 3 ; |
M 0 (− 2;− 1); |
|
2.8. z = x2 − 5xy + 4 y2 − 6x + 3y − 2 ; |
M 0 (− 1;1); |
|
2.9. z = 5x2 − 3xy − 4 y2 − 7x + 2 y + 1 ; |
M 0 |
(1;− 1); |
2.10. z = −2x2 + 4xy − 5y2 − 3y − 4 ; |
M 0 |
(1;2); |
2.11. z = −5x2 + 4xy − 5y2 − 13y − 8 ; |
M 0 (− 1;2); |
|
2.12 z = 2x2 + 6xy + 7 y2 − 2 y + 10 ; |
M 0 (0;3); |
|
2.13. z = −3x2 + 9xy + 2 y2 + 6 y −14 ; |
M 0 |
(−1;− 2); |
2.14. z = −3x2 − 5xy + 2 y2 + 7 y + 2 ; |
M 0 |
(− 2;3); |
_ |
|
_ |
_ |
|
s = |
2 i+ |
7 j . |
||
_ |
_ |
_ |
|
|
s = i+ j . |
|
|||
_ |
_ |
|
_ |
|
s = i− |
3 j . |
|||
_ |
|
_ |
_ |
|
s = |
3 i |
+ j . |
||
_ |
_ |
− |
|
_ |
s = |
2 i |
5 j . |
||
_ |
|
_ |
|
_ |
s = |
5 i |
+ 2 j . |
||
_ |
3i + |
|
_ |
|
s = |
7 j . |
|||
_ |
_ |
+ |
_ |
|
s = |
3i |
4 j . |
||
_ |
_ |
+ |
_ |
|
s = |
4 i |
3 j . |
||
_ |
|
_ |
_ |
|
s = |
3 i+ |
6 j . |
||
_ |
_ |
|
|
_ |
s = i+ |
15 j . |
|||
_ |
|
_ |
_ |
|
s = |
8 i |
+ j . |
||
_ |
|
|
_ |
_ |
s = − 15 i |
+ j . |
|||
_ |
_ |
|
_ |
|
s = − i− |
15 j . |
5
2.15. z = − x2 + 7xy + 3y2 − 8y + 3 ; |
M 0 (− 1;− 1); |
2.16. z = 5x2 + 9xy + 3y2 − 2 y + 2 ; |
M 0 (1;− 3); |
2.17. z = 4x2 + 6xy − y2 + 2 y −1; |
M 0 (2;3); |
2.18. z = 6x2 + 2xy + 7 y2 − 3y −11; |
M 0 (− 5;1); |
2.19. z = 11x2 + xy + y2 + y + 4 ; |
M 0 (− 4;1); |
2.20. z = 3x2 + 2xy + 7 y2 − 9 y + 6 ; |
M 0 (1;−2); |
2.21. z = − x2 − 7xy + 5y2 + 3y + 9 ; |
M 0 (− 4;1); |
2.22. z = 8x2 + 3xy − 2 y2 − 4 y − 5 ; |
M 0 (− 2;2); |
2.23. z = 7x2 − 2xy − y2 − 3y + 7 ; |
M 0 (− 3;4); |
2.24. z = 8x2 + 9xy + 7 y2 − y −11; |
M 0 (0;− 5); |
2.25. z = − x2 + xy − 9 y2 − 7 y + 2 ; |
M 0 (−1;0); |
2.26. z = −7x2 + 4xy − 3y2 − 3y + 3 ; |
M 0 (3;2); |
2.27. z = 4x2 + 4xy + 5y 2 + 3y − 14 ; |
M 0 (−1;2); |
2.28. z = 3x2 + xy − 6 y2 − 3y + 8 ; |
M 0 (− 3;− 3); |
2.29. z = − x2 + 9xy + 3y2 + y + 7 ; |
M 0 (− 2;4); |
2.30. z = −9x2 − 4xy − 5y2 + 3y + 7 ; |
M 0 (0;3); |
_ |
|
|
_ |
|
|
_ |
s = |
|
11 i+ |
5 j . |
|||
_ |
|
|
_ |
|
_ |
|
s = 2 |
|
2 i |
+ j . |
|||
_ |
|
_ |
+ |
|
|
_ |
s = 5i |
11 j . |
|||||
_ |
|
|
|
|
_ |
_ |
s = − |
|
11 i+ 5 j . |
||||
_ |
|
|
_ |
|
|
_ |
s = |
|
7 i− |
|
2 j . |
||
_ |
|
|
_ |
|
_ |
|
s = 2 |
6 i |
+ j . |
||||
_ |
|
|
_ |
|
_ |
|
s = |
|
3 i+ j . |
||||
_ |
|
|
_ |
− |
_ |
|
s = − |
3 i |
13 j . |
||||
_ |
|
|
_ |
+ |
_ |
|
s = |
|
33 i |
3 j . |
|||
_ |
|
|
_ |
+ |
_ |
|
s = |
|
14 i |
11 j . |
|||
_ |
|
|
_ |
+ |
_ |
|
s = − |
|
3 i |
13 j |
|||
_ |
|
|
_ |
− |
_ |
|
s = − |
3 i |
6 j . |
||||
_ |
_ |
|
|
|
|
_ |
s = i− |
35 j . |
|||||
_ |
|
|
_ |
|
_ |
|
s = − |
|
3 i |
+ j . |
|||
_ |
|
|
_ |
− |
_ |
|
s = |
|
23 i |
2 j . |
|||
_ |
_ |
|
|
|
_ |
|
s = i+ |
3 j . |
№№ 3.1-3.30. Требуется изготовить открытый бак цилиндрической формы данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление стенки бака равна а1 рублей, а на изготовление дна – а2 рублей. Методом множителей Лагранжа определите радиус основания и высоту бака так, чтобы затраты на покупку материала, идущего на изготовление бака, были наименьшими.
3.1. V = π , |
а1=8, |
а2 =1. |
3.16. V = 4 π , |
а1=2, |
а2 =1. |
||
3.2. V = 3π , |
а1=1, |
а2 =24. |
3.17. V = 2 π , |
а1=4, |
а2 =1. |
||
3.3. V = 2π , |
а1=4, |
а2 =1. |
3.18. V = 5 π , |
а1=2, |
а2 =1,25. |
||
3.4. V = 4 π , |
а1=1, |
а2 =4. |
3.19. V = 3 π , |
а1=8, |
а2 =3. |
||
3.5. V = 3 π , |
а1=9, |
а2 =1. |
3.20. V = π , |
а1=3, |
а2 =1/9. |
||
3.6. V = 6 π , |
а1=2, |
а2 =12. |
3.21. V = 2 π , |
а1=5, |
а2 =1,25. |
||
3.7. V = 2 π , |
а1=1, |
а2 =1/4. |
3.22. V = 3 π , |
а1=1, |
а2 =3/8. |
||
3.8. V = 6 π , |
а1=4, |
а2 =3. |
3.23. V = π , |
а1=16, |
а2 =2. |
||
3.9. V = 4 π , |
а1=2, |
а2 =1. |
3.24. V = 4 π , |
а1=4, |
а2 =2. |
||
3.10.V = 3 π , |
а1=1, |
а2 =1/9. |
3.25. V = 5 π , |
а1=2, |
а2 =5/8. |
||
3.11. V = π , |
а1=2, |
а2 =0,25. |
3.26. V = 6 π , |
а1=3, |
а2 =2,25. |
||
3.12. V = 2 π , |
а1=3, |
а2 |
=0,75. |
3.27. V = 2 π , |
а1=8, |
а2 |
=2. |
3.13 V = 3 π , |
а1=4, |
а2 |
=1,5. |
3.28. V = 4 π , |
а1=5, |
а2 |
=2,5. |
3.14. V = 16 π , |
а1=1, |
а2 |
=2. |
3.29. V = 2 π , |
а1=6, |
а2 |
=1,5. |
3.15. V = 4 π , |
а1=1, |
а2 |
=0,5. |
3.30. V = 6 π , |
а1=1, |
а2 |
=0,75. |
6
№№ 4.1-4.30. Экспериментально получены значения искомой функции y = f (x) при нескольких значениях аргумента. Считая зависимость между x и y линейной, найдите методом наименьших квадратов приближенное уравнение функции в виде y = ax + b. Сделайте чертеж.
4.1 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
4,3 |
5,3 |
3,8 |
1,8 |
2,3 |
1,2 |
0,9 |
-0,2 |
-1,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,0 |
3,2 |
5,5 |
6,8 |
8,5 |
10,5 |
12,7 |
14,0 |
16,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-0,5 |
-3,2 |
-5,5 |
-7,2 |
-9,5 |
-11,5 |
-13,2 |
-14,8 |
-17,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
4,1 |
7,0 |
9,8 |
13,1 |
15,8 |
19,0 |
22,1 |
24,7 |
28,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
2,2 |
0,8 |
0,1 |
-1,2 |
-2,0 |
-3,1 |
-3,9 |
-5,2 |
-6,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,1 |
1,8 |
4,2 |
5,9 |
8,1 |
9,7 |
12,3 |
14,0 |
16,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
3,5 |
4,2 |
4,4 |
5,2 |
5,7 |
6,2 |
6,5 |
7,2 |
7,6 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,2 |
3,8 |
7,1 |
9,9 |
13,2 |
15,7 |
19,0 |
21,8 |
25,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
2,2 |
6,5 |
9,0 |
13,5 |
16,1 |
19,5 |
23,7 |
27,4 |
30,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.10 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-2,1 |
0,2 |
2,2 |
4,3 |
6,5 |
7,8 |
10,5 |
11,5 |
14,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,9 |
4,3 |
5,9 |
7,5 |
9,6 |
12,4 |
13,3 |
15,6 |
19,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.12 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0 |
-0,6 |
-1,6 |
-1,8 |
-2,4 |
-3,4 |
-3,3 |
-4,2 |
-5 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.13 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-0,7 |
-1,2 |
-2,8 |
-3,9 |
-5,2 |
-5,8 |
-7,4 |
-7,9 |
-9,8 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.14 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
2,5 |
3,7 |
5,1 |
5,9 |
6,8 |
8,3 |
8,9 |
9,9 |
10,9 |
||
|
7
4.15 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
3,4 |
4,5 |
6,2 |
7,1 |
7,9 |
9,4 |
9,9 |
11,3 |
12,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.16 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-0,8 |
0,1 |
1,4 |
2,2 |
3,2 |
3,9 |
5,3 |
6,1 |
7,5 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.17 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,2 |
1,5 |
1,9 |
2,6 |
4,1 |
5,2 |
6,3 |
7,1 |
8,4 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.18 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,2 |
-0,8 |
-1,9 |
-3,2 |
-3,8 |
-4,8 |
-6,4 |
-6,8 |
-8,5 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.19 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,1 |
-0,2 |
-1,1 |
-1,9 |
-3,1 |
-3,9 |
-5,1 |
-6,3 |
-7,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.20 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
2,1 |
0,7 |
-0,1 |
-1,2 |
-2,3 |
-3,2 |
-4,2 |
-4,9 |
-6,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-2,5 |
-1,2 |
0,3 |
1,3 |
2,4 |
3,2 |
3,7 |
5,6 |
6,2 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.22 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,9 |
1,1 |
-0,3 |
-1,5 |
-2,5 |
-3,0 |
-3,9 |
-5,1 |
-6,5 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.23 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
-2,1 |
-1,5 |
0,3 |
1,7 |
2,5 |
3,1 |
4,1 |
5,8 |
6,5 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.24 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,1 |
-1,1 |
-2,3 |
-3,5 |
-4,3 |
-5,3 |
-6,2 |
-7,4 |
-8,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.25 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,5 |
-0,5 |
-1,6 |
-2,5 |
-3,2 |
-4,3 |
-5,1 |
-5,9 |
-8,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.26 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,1 |
2,6 |
4,9 |
7,5 |
9,5 |
11,2 |
11,9 |
15,6 |
18,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.27 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1,3 |
-1,2 |
-3,5 |
-5,1 |
-6,4 |
-9,1 |
-10,4 |
-13,5 |
-15,3 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.28 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
3,5 |
2,5 |
1,1 |
0,1 |
-0,8 |
-1,9 |
-3,5 |
-3,9 |
-5,6 |
||
|
|||||||||||
4.29 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
4,1 |
3,2 |
2,1 |
1,2 |
0,3 |
-1,1 |
-2,6 |
-2,9 |
-4,1 |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.30 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
0,6 |
0,1 |
-0,3 |
-2,3 |
-3,2 |
-4,3 |
-4,9 |
-6,1 |
-7,5 |
||
|
8
Контрольная работа № 4
Интегральное исчисление
№№ 5.1-5.30. Найдите интегралы.
5.1a) ∫(2x5 − 3 x + 3)dx;
b)∫ lnx6 x dx ;
c)∫ xcos 23 xdx ;
d) ∫ |
7x − 2 |
|
|
dx ; |
|
(x − 1)(x2 + 4) |
||
e) ∫2 |
5x − 1dx ; |
|
1 |
|
|
∞ dx
f)∫2 2x − 3 .
5.2. a) ∫ |
x2 |
− |
|
x + 1 |
dx ; |
|
|
x |
3 |
||
|
|
|
|
|
b)∫ cos4 x sin xdx;
c)∫ xsin 14 xdx ;
d) ∫ |
|
15xdx |
|
; |
||||
(x − 5)(x2 + 2) |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e) ∫ 3 |
2 − 5xdx ; |
|
|
|||||
−5 |
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
f) ∫ |
ln x |
dx . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
5.3. a) ∫ |
2x − x3 + |
x |
dx |
; |
||||
|
|
3 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b)∫sin5 x cos xdx;
c)∫(2x + 1)e3x dx ;
d) ∫ dx ;
(x − 1)(x2 + 2)
1
e) ∫ 3 1 − 2xdx ;
0
∞ dx
f)∫1 (2 − 3x)2 .
5.4. a) ∫ |
3x4 |
− 2x |
x + 1 |
dx ; |
|
|
3 |
x |
|
||
|
|
|
|
|
5.11 a) ∫ (2 + 3 x2 − 3x2 ) dx; x
b) ∫ cos2 x dx ; c) ∫ln xdx ;
d) ∫ x + 4 dx ;
(x + 2)(x2 − 2x)
e) |
∫5 |
4 1 + 3x dx ; |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
arctgx |
|
|
|
f) |
∫ |
dx . |
|
||
2 |
|
||||
|
0 |
1 + x |
|
|
|
5.12 a) ∫ |
(4 x + 5x2 − 4) |
dx; |
|||
x |
2 |
||||
|
|
|
|
b)∫3 cos x sin xdx ;
c)∫ xe5x dx ;
d) ∫ 7x2+ 6 dx ;
(x + 1)(x + x + 13)
3
e) ∫ 4 1 + 5x dx ;
0
∞ x3
f)∫0 (x4 + 1)3 dx .
5.13 a) ∫ |
( |
x − 2x + 1) |
dx; |
|
|
x |
2 |
||
|
|
|
|
b)∫ arctg2 x dx ;
1+ x2
c)∫ x3 ln xdx ;
d) ∫ 4x2 + 22x + 5 dx ;
(x −1)(x + 2x)
15
e) ∫ 4 1 + x dx ;
0
∞ ex dx
f)∫0 (1+ ex )2 .
5.14 a) ∫ (x2 − 4 x + 3) dx; x
5.21 a) ∫ |
(3 |
x + x3 + 3) |
dx; |
|
|
x |
2 |
||
|
|
|
|
b)∫ lnx2 x dx ;
c)∫arcsin xdx ;
x− 4
d)∫ (x + 3)(x2 + 2) dx ;
π
e) ∫2 sin 2 x cos3 xdx ;
0
∞ 1
f)∫1 (11 + 5x)3 dx .
5.22a) ∫ (3 + 23 x − 3x3 ) dx; x
b) ∫ 14 dx ; x ln x
c) ∫ xe− 2xdx ;
d) ∫ 1 dx ;
(x + 3)(x2 − 4)
e) ∫1 arctgx dx ;
0 1 + x2
1
f) ∞∫ e x dx .
1 x2
5.23 a) ∫ (2 x3 + 3x) dx; x
earctgx
b)∫ 1+ x2 dx ;
c)∫arctg2xdx ;
d) ∫ |
|
|
1 |
dx ; |
||
(x − 2)(x2 + 3) |
||||||
e) ∫1 |
|
e x |
|
|
dx ; |
|
|
|
2 x |
|
|||
0 1 + e |
|
|
|
|
||
∞ |
ln x dx . |
|||||
f) ∫ |
||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
5.24 a) ∫ |
x3 |
+ 1− 2x3 |
||||
|
3 |
|
dx; |
|||
|
|
|
|
|
x |
9
b)∫ e− x2 xdx;
c)∫ xsin 32 xdx ;
d)∫ 3x2 + 2x − 3dx ;
x3 − x
e) ∫0 |
1 − 4x dx ; |
−2 0
f)∫ e−2 x dx .
−∞
5.5. a) ∫ 2x3 − 3x3 x + 1 dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
b) ∫ |
|
|
|
tg x |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|||||||
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c) ∫ xcos |
3 |
xdx ; |
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
d) ∫ |
|
|
3x2 − 6x + 5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||
|
(x2 + 1)(x −1) |
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) ∫ |
|
|
|
2x − 3dx ; |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f) ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
(1 + 2x)3 |
|
|
|
|||||||||||||||
5.6. a) ∫ |
x − x2 |
|
|
|
|
x + 3 |
dx |
; |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b) ∫ |
ctg 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|||||||||||
sin 2 3x |
|
|
|
|||||||||||||||
c) ∫ xsin |
4 |
xdx ; |
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
d) ∫ |
4 − x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
x3 + 4x |
|
|||||||||||||||||
e) ∫5 |
3x + 1dx ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
xdx |
|
|
|
|
||||||||||
f) |
|
∫ |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.7. a) ∫ 4 − x3 + 2 |
x dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|||||||
b) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||
|
(1 − x2 )2 |
|
|
c) ∫ xcos 52 xdx ;
d) ∫ 10 − x dx ;
x3 + 9x
b)∫sin3 x cos xdx ;
c)∫5x cos 18 xdx ;
d) ∫ x + 3 dx ;
(x + 1)(x2 − 4x + 3)
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
∫ 4 1 + 2x dx ; |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f) |
∫e3x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.15 a) ∫ |
|
|
|
x5 − 3x2 + 2 dx ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ ex3 x2dx ; |
|
|||||||||||||||
c) ∫ |
|
|
|
x + 4 |
|
|
dx ; |
|
||||||||
(x2 + 8)x |
|
|||||||||||||||
d) ∫ |
(2x + 3)cos 5x dx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
∫ 4 1 + 6x dx ; |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f) |
∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||
|
x |
2 |
5 |
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.16 a) ∫ |
3x2 + 3 |
x + 1dx ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b) ∫ |
|
|
cos x |
|
|
|
dx ; |
|
||||||||
3 + sin x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c) ∫(3x + 2)e2x dx ; |
|
|||||||||||||||
d) ∫ |
|
|
|
3x + 2 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
(x2 + 4)(x − 1) |
||||||||||||||||
e) |
∫4 |
3 7x − 1dx ; |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f) |
∫ |
dx . |
|
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.17 a) ∫ |
|
|
|
x − x2 + 2 dx ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b) ∫ |
arcsin x |
|
dx ; |
|
||||||||||||
|
|
|
1− x |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||
c) ∫(2x −1)sin |
dx ; |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
d) ∫ |
|
|
|
3x − 2 |
; |
|||||||||||
|
dx |
|||||||||||||||
(x2 + 4)(x −1) |
b) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||
|
|
|
|
(1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
) arcsin x |
|
||||||||||||||||||
c) ∫ |
(3x + 2)cos |
3x |
dx ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
d) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||
|
(x − 4)(x2 + 3) |
|
|||||||||||||||||||||||
e) ∫1 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 1+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||
|
(x |
2 |
|
+ 5) |
4 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.25 a) ∫ |
|
3x + 4 |
|
2 |
x − 2 dx; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b) ∫ |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
|
3 |
sin |
2 |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
c) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x ln xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d) ∫ |
|
|
|
|
|
|
4x + 3 |
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||
|
(x −1)(x2 + 8) |
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1+ 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
ln |
3 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f) ∫ |
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.26 a) ∫ |
|
|
|
|
x3 |
|
|
− 3x3 + 4 dx; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ |
|
arccos3 2x |
dx ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− 4x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c) ∫ ln xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
d) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
||||||||||
|
(1− x)(x2 + 4x) |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
arcsin x |
dx ; |
|
||||||||||||||||||||
e) ∫ |
|
1 |
− x |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1
f)∫0 5 + 8xdx .
5.27 a) ∫ |
x + 8x − 2x4 |
dx ; |
||||
4 |
x |
|||||
|
|
1 |
|
|
||
b) ∫ |
|
dx ; |
||||
sin2 xctg3 x |
||||||
c) ∫ln(2x + 4)dx ; |
|
|
||||
d) ∫ |
|
6x − 1 |
|
dx ; |
||
|
(x − 2)(x2 + 3x) |
10