Литература
1.
2.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1999. – 579с.
Гмурман BE. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
«Высшая школа», 2003
3.
Кремер Н.Ш.- Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
ЮНИТИ – ДАНА, 2001. 543 с.
4
.Калинин В.Н , Панкин В Ф. Математическая статистика. - М.: «Высшая
школа», 2002
5. Гурман B. E.
Руководство к решению задач по теории вероятности и
математической статистике – М.: "Высшая школа". 2003.
6. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. Ч : М.; Высшая школа, 2006.- 416с.
7. Горелова Г.В, Кацко И А. Теория вероятностей и математическая статистика в
примерах и задачах с применением Excel. - Ростов: Феникс, 2002. – 400с.
8. Гусак А. А, Бричикова Е. А. Теория вероятностей. Справочное пособие к
решению задач. – Минск: Терра Сименс, 2000. – 286 с.
9. Теория
вероятностей
и
математическая
статистика.
Рабочая
программа,
методические указания и контрольные задания для студентов – заочников экономических
специальностей А. В. Зинченко, О. Е. Лаврусь, В. А. Паняев; Самара: - СамГУПС, 2004.
4
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Используя рекомендуемую литературу и данные методические указания, студент
должен усвоить указанные разделы программы и выполнить две контрольные работы №5
и №6. Вариант контрольных работ выбирается как остаток от деления на 30 числа,
состоящего из двух последних цифр номера зачетной книжки. Например, шифр студента
6236. Берем две последние цифры 36 и делим на 30. Получим в остатке номер варианта 6.
Если две последние цифры не превышают числа 30, то они определяют номер варианта
контрольных работ.
Решения задач (заданий каждой контрольной работы) следует располагать в
порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задач.
Перед решением каждой задачи необходимо выписать её условие. Решение задач
следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу
решения и делая при необходимости соответствующие чертежи.
В конце каждой контрольной работы необходимо привести список использованной
литературы, проставить дату её выполнения и расписаться.
Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего
варианта к собеседованию не допускается.
Краткое содержание теоретического материала, необходимого для выполнения
контрольных работ, и соответствующие методические указания изложены в работе [9] –
МУ№1483.
5
Задания для контрольной работы №5
Задание 1. Алгебра случайных событий и их вероятность
1.1.
Вероятность того, что три поезда определенных направлений прибудут на
станцию строго по расписанию, соответственно равны: 0,9; 0,95 и 0,85. Найти
вероятность того, что: а) все поезда прибудут по расписанию; б) два поезда прибудут по
расписанию; в) хотя бы один поезд не прибудет по расписанию.
1.2.
Для прохождения производственной практики группе студентов в количестве
25 человек было предоставлено: 9 мест в Самару, 7 мест в Кинель, 4 места в Рузаевку,
остальные в Ульяновск. Какова вероятность того, что три определённых студента
попадут на практику: а) в город Самару; б) в один из предложенных городов?
1.3.
На тепловой электростанции 12 сменных инженеров, среди которых 5
женщин. В смену занято 4 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную
смену мужчин окажется: а) не менее двух; б) только один.
1.4.
В лотерее из 100 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди
первых пяти наугад выбранных билетов выигрышными окажутся: а) два билета; б) не
более двух билетов?
1.5.
В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность
того, что из вызванных наудачу трех студентов: а) все три девушки; б) первые две
девушки, третий - юноша; в) все трое юноши?
1.6.
Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Автомобиль перед
выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый
механик обнаружит неисправность в автомобиле, равна 0,8, а второй - 0,9. Если хотя бы
один механик обнаружит неисправность, то автомобиль отправляется на ремонт. Найти
вероятность того, что: а) автомобиль будет выпущен на линию; б) автомобиль не будет
выпущен на линию.
1.7.
Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух
орудий равно 0,44. Найти вероятность
поражения цели при одном выстреле первым
орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
1.8.
Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Какова вероятность того, что взятые
одновременно две детали не будут бракованными?
1.9.
В коробке 12 карандашей трех цветов, по четыре карандаша каждого цвета.
Наудачу вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что все карандаши окажутся
разного цвета. Решить задачу при условии: а) карандаши возвращают в коробку; б)
карандаши не возвращают в коробку.
1.10. Из урны, содержащей четыре красных и шесть черных шаров, вынимают два
шара (без возвращения первого). Какова вероятность того, что будут вынуты: а) два шара
черного цвета; б) красный и черный в любой последовательности; в) второй шар будет
черным; г) оба шара одного цвета?
1.11. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три
билета. Какова вероятность выиграть: а) по одному из них ; б) хотя бы по одному из них?
1.12. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,6.
Производится по одному выстрелу одновременно из трех орудий. Цель будет поражена,
если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б)
промаха одним или двумя орудиями.
6
1.13. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии
- 0,2, на втором - 0,35, на третьем - 0,15. Определить вероятность того, что акционер,
имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех
предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
1.14. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 12
денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один из
трех приобретенных билетов?
1.15. В урне 10 красных, 5 зеленых и 3 черных шара. Определить вероятность
того, что взятые наудачу два шара будут: а) одного цвета; б) разных цветов.
1.16. На базу поступило 40 ящиков овощей, из них 30 – первого сорта. Наудачу для
проверки берут два ящика. Какова вероятность, что а) оба содержат овощи первого сорта;
б) разного сорта; в) одного сорта:
1.17. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, студент сдаст экзамен на
«отлично», равна для первого 0,7, для второго - 0,6, для третьего - 0,2. Какова
вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б)
двумя студентами; в) хотя бы одним; г) ни одним ?
1.18. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому
студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) оба студента
правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один ответит верно; в) правильно ответит только
первый студент.
1.19. В первой бригаде 6 тракторов, во второй - 9. В каждой бригаде один трактор
требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова
вероятность того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта; в) трактор из
второй бригады исправен.
1.20. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого
0,75; для второго 0,9, третьего 0,8. Найти вероятность того, что: а) два стрелка попадают
в цель; б) только один; в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
1.21. Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором
и третьем ящике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что деталь
содержится: а) не более чем в одном ящике; б) не менее чем в двух.
1.22. Производственная фирма имеет три склада. Вероятности того, что
определенный товар имеется в наличии на первом, втором, третьем складе равны
соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что товар имеется в наличии: а)
хотя бы на одном складе; б) не менее, чем на двух складах.
1.23. Вероятность того, что нужный товар имеется в первом, втором, или третьем
магазине, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,6.Найти вероятность того, что нужный товар
имеется: а) не менее, чем в двух магазинах; б) не более, чем в двух магазинах.
1.24. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 штук, из них 4 стандартных, во
втором -12 деталей, из них 5 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по
одной детали. Найти вероятность следующих событий: а) обе детали нестандартные; б)
одна деталь стандартная, а другая нестандартная.
1.25. Вероятности того, что частный предприниматель получит ссуду в первом,
втором, третьем банке, равны соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель
последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк
предприниматель обращается лишь в случае отказа в предыдущем банке. Найти
вероятность того, что предприниматель получит ссуду.
7
1.26. Сброшены три бомбы с вероятностью попадания соответственно 0,7; 0,4;
0,35. Найти вероятность того, что: а) в цель попадает только одна бомба; б) цель
поражена, если для этого необходимо не менее двух бомб.
1.27. Вероятность того, что нужный товар имеется в наличии только в одном из
двух магазинов, равна 0,26. Найти вероятность наличия товара во втором магазине, если
вероятность наличия товара в первом магазине равна 0,9.
1.28. Ha одной базе имеется 100 компьютеров, 12 из которых с дефектом. На
второй 90 компьютеров, 9 из которых с дефектом. На третьей 80 компьютеров, 10 из
которых с дефектом. Фирма приобрела по одному компьютеру на каждой базе. Найти
вероятность того, что: а) все компьютеры без дефекта; б) хотя бы один с дефектом.
1.29. Приобретено два изделия, изготовленные на различных предприятиях. На
первом предприятии брак среди поступающих в продажу изделий составляет 5%, а на
втором 3%. Найти вероятность событий: а) только одно изделие бракованное; б) оба
изделия бракованные; в) хотя бы одно изделие не является бракованным.
1.30. Вероятность выхода из строя одного из трёх блоков агрегата за определённый
промежуток времени, как показали наблюдения, составляет в среднем 0,05. Найти
вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени: а) одного из блоков; б)
двух блоков; в) хотя бы одного блока. Работа всех блоков независима в совокупности.
Задание 2. Формулы полной вероятности и вероятности гипотез
2.1.
Команда стрелков состоит из 5 человек. Трое из них попадают в цель с
вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и
производит выстрел. а) Какова вероятность того, что стрелок попадет? б)
попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех (один из двух)?
Если стрелок
2.2.
При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три
группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров.
Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4%
жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. 1) Определить
вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока составит не менее 4%.
2) Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того,
что эта корова из первой группы.
2.3.
В первой урне 10 деталей, из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из
которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова
вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная?
2.4.
Имеются две урны. В первой - семь красных шаров и три черных, во второй -
три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем,
перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность
того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным.
2.5.
Перед
посевом
90%
всех
семян
было
обработано
ядохимикатами.
Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08,
для растений из необработанных семян - 0,4. Взятое наудачу растение оказалось
пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из партии обработанных
семян?
2.6.
В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей 5
бракованных. Из первого во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что
деталь, извлеченная после этого из второго ящика, бракованная.
8
2.7.
Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных,
две нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не
пристрелянной 0,4. 1) Какова вероятность, что стрелок из наудачу взятой винтовки
попадет в цель при одном выстреле? 2) Стрелок поразил цель. Какова вероятность, что он
стрелял из пристрелянной винтовки?
2.8.
Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-
го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта и 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из
зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5, для
второго - 0,3, для третьего – 0,2, для четвертого - 0,1. Найти вероятность того, что
наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен.
2.9.
Из 25 студентов группы 5 студентов знают все 30 вопросов программы, 10
студентов выучили по 25 вопросов, 7 студентов — по 20 вопросов, трое — по 10
вопросов. Случайно вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Какова
вероятность, что он из тех трех студентов, которые подготовили только по 10 вопросов?
2.10. Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями p1
= 0,2; р2 = 0,5; р3 = 0,3. Вероятности того, что деталь проработает положенное время без
ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая
наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая. положенное
время, взята из второй партии.
2.11. Имеются 2 урны. В первой 4 белых и 6 черных шара, во второй - по 2 белых и
3 черных шара. Случайно выбирается урна, и из нее извлекается шар. Какова вероятность
того, что была выбрана первая урна, если извлеченный шар оказался белым?
2.12. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй.
Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой
бригады, равна 0,7, для второй-0,8. Определите вероятность того, что взятая наугад
единица продукции будет стандартной. Взятая наугад единица продукции оказалась
стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?
2.13. Покупатель с равной вероятностью посещает 3 магазина. Вероятность того,
что он купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,3, в третьем – 0,2.
Определить вероятность того, что покупатель купил товар. Какова вероятность, что это
был второй магазин?
2.14. Вероятность того, что клиент банка не вернет займ в период экономического
роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что
вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна
вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
2.15. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в
стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для
данного момента времени как 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс
экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с
вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда
ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния
изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?
2.16. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25%,
вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет
соответственно 5; 4; 2%: а) какова вероятность того, что случайно выбранный болт
9
дефектный; б) случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова
вероятность того, что он был произведён первой машиной?
2.17. Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трех
транспортных фирм. Вероятность несвоевременной доставки груза для первой, второй, и
третьей фирмы равна соответственно 0,05; 0,1 и 0,07. Сопоставив эти данные с данными
о безопасности грузоперевозок, руководитель пришел к выводу о равно значимости
выбора, и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз
будет доставлен своевременно.
2.18. На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных
заводом №1, остальные кинескопы изготовлены заводом №2. Вероятность того, что
кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для
кинескопа завода №1 и 0,7 для кинескопа завода №2. Найти вероятность того, что
наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
2.19. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой
фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний
процент нестандартных изделий для 1-й фабрики равен 5%, для 2-й - 2% и для 3-й - 1%.
Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике,
если оно оказалось стандартным.
2.20. В магазин поступают лампочки, изготовленные на 3 заводах. С первого
завода поступают 50% всех лампочек, со второго - 30% и с третьего -~ 20%. Среди
лампочек, изготовленных I заводом - 80% 1 сорта, в продукции II завода лампочки 1
сорта составляют 70%, а продукции III - 60%. Какова вероятность того, что купленная в
этом магазине лампочка окажется 1 сорта?
2.21. На склад поступают одинаковые электрические утюги. I завод поставляет
80%, II - 20% всего количества. Известно, что I завод выпускает 90% продукции,
способной прослужить положенный срок, а II - 95%. Какова вероятность, что наугад
взятый утюг прослужит положенный срок?
2.22. Устройство содержит два узла. Работа каждого узла необходима для работы
устройства в целом. Вероятность выхода из строя первого узла равна 0,01, второго – 0,03.
Вышел из строя один из узлов. Какова вероятность, что вышел из строя первый узел?
2.23. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат
дает 3% брака, 2-й - 1% и 3-й - 2%. Определить вероятность попадания на сборку
небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500,200, 300
деталей.
2.24. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек
изготовлены на I заводе, 250 - на II и 150 - на III. Известны также вероятности 0,97; 0,91 и
0,93 того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее соответственно I, II и
III заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии
лампочка окажется стандартной?
2.25. На заводе болты изготавливаются на трех станках; они производят
соответственно 25, 30 и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак
составляет соответственно 4, 3 и 2%. Какова вероятность, что болт, случайно взятый из
всей поступившей продукции, окажется дефектным?
2.26. Для участия в спартакиаде из первой группы выделено 4 студента, из второй
-5, из третьей 3 студента. Вероятность того, что отобранный студент из одной из этих
групп попадет в сборную университета, равны соответственно 0,4, 0,3 и 0,5. Наудачу
10
выбранный участник соревнований попал в сборную команду. К какой из этих трёх
групп он вероятнее всего принадлежит?
2.27. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,2% бракованных,
со второго – 0,1%, с третьего 0,3%. Производительности их относятся как 3:4:3
соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того,
что она изготовлена: а) на втором станке; б) на третьем станке.
2.28. На склад поступает продукция трех фабрик, причем первая фабрика
поставляет 35%, вторая 40%, третья 25%. Средний процент нестандартных изделий для
первой фабрики равен 3%, для второй – 4, для третьей 2%. Со склада наудачу выбирают
одно изделие. а) Найти вероятность того, что изделие окажется стандартным. б) Изделие
оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно было изготовлено на второй
фабрике.
2.29. В первой урне 2 белых шара и 1 черный шар. Во второй 3 белых и 3 черных
шара. Из второй урны в первую перекладывают 2 шара, после чего из нее извлекают один
шар. Найти вероятность того, что извлеченный из первой урны шар черный.
2.30. Проверка изделия на стандартность осуществляется одним из трёх
товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому, равна 0,25, ко второму –
0,30 и к третьему – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным
первым товароведом, равна 0,98, вторым – 0,95, третьим 0,97. Найти вероятность того,
что стандартное изделие проверено третьим товароведом.
Задание 3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
3.1.
В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую
сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров страховая сумма, связанная с
наступлением страхового случая, будет выплачена: а) по трем договорам; б) менее, чем по
двум договорам.
3.2. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий
прекращают свою деятельность в течении года. Какова вероятность того, что из шести малых
предприятий в течении года прекратят свою деятельность: а) не более двух; б) более трех?
3.3.
Инвестор вложил поровну средства в три предприятия при условии возврата ему
через определенный срок 150% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из
предприятий равна 0,2. Какова вероятность того, что по истечении срока инвестор не
останется в убытке?
3.4.
Два дилера имеют по 3 пакета акций. Вероятность продажи каждого пакета
акций равны соответственно 0,7 - для первого дилера и 0,8 - для второго. Найти
вероятность того, что у обоих будет одинаковое количество продаж.
3.5.
Производственная компания изготавливает продукцию крупными партиями. В
среднем 10% изделий получаются с дефектом. Из каждой партии случайным образом
выбирается 20 изделий. Партия принимается, если выборка содержит не более трех
дефектных изделий. Какова вероятность того, что партия будет принята?
3.6.
Вероятность того, что в течении года малое предприятие станет банкротом,
равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти малых предприятий в течении года
банкротом станут: а) не менее двух; б) от двух до четырех включительно.
3.7.
При трех испытаниях Бернулли вероятность ровно двух «успехов» в 12 раз
больше вероятности трех «успехов». Найти вероятность успеха в каждом испытании.
11
3.8.
Инвестор вложил поровну средства в пять предприятий при условии возврата
ему через определенный срок 125% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого
из предприятий равна 0,3. Какова вероятность того, что по истечении срока инвестор
останется в убытке?
3.9.
В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально
заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций по первоначально
заявленной цене будут проданы: а) не менее трех; б) от двух до четырех включительно.
3.10. Два дилера имеют по 3 пакета акций. Вероятность продажи каждого пакета
равны соответственно 0,6 - для первого дилера и 0,7 - для второго. Найти вероятность того,
что первый дилер продаст больше пакетов акций, чем второй.
3.11. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, он собирается произвести 10
выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель: а) три раза, б) хотя бы один
раз.
3.12. Найти вероятность того, что при четырёх подбрасываниях игральной кости 5
очков появятся: а) два раза; б) хотя бы один раз.
3.13. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность
того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не менее четырёх; в) не
более одного.
3.14. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов
группы наудачу вызываются три студента. Определить вероятность всех возможных
значений числа отличников, которые могут оказаться среди вызванных трёх студентов.
3.15. В семье пять детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки
одинаковыми, найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более
двух мальчиков; в) более двух мальчиков.
3.16. Всхожесть клубней картофеля равна 80%. Сколько нужно посадить клубней,
чтобы наивероятнейшее число взошедших из них было равно 100?
3.17. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее
число выпадения 6 очков было равно 50?
3.18. Два равносильных противника играют в шахматы. Для каждого из них – что
вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырёх; б) не менее двух партий
из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.
3.19. Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными
покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный
покупатель совершит покупку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух
продаж в течение одного дня? б) Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя
бы две продажи в течение дня?
3.20. Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из
которых – с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах.
Чему равна вероятность того, что все 5 компьютеров окажутся без дефектов?
3.21. Игральный кубик бросают пять раз. Найти вероятность того, что 2 раза
появится число очков кратное трём.
3.22. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели 0,8. Найти
вероятность того, что при 5-ти выстрелах будет сделано: а)три промаха, б) хотя бы один
промах.
3.23. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 стрел пущенных в
круг, в квадрат попадут: а) три стрелы; б) хотя бы одна.
12
3.24. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности
отказа каждого p=0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно,
чтобы отказали хотя бы два элемента.
3.25. За один цикл автомат изготавливает 10 деталей, при этом в среднем, 1
оказывается бракованной. Найти вероятность того, что из 5 циклов бракованных будет 3,
хотя бы одна.
3.26. Что вероятней выиграть у равносильного противника (ничейный результат
исключён): три партии из четырёх или пять из восьми?
3.27. В пассажирском вагоне 4 кондиционера. Вероятность того, что кондиционер
включён 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено два
кондиционера; б) включён хотя бы один.
3.28. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при одном выстреле
0,3; найти вероятность наивероятнейшего числа попадания.
3.29. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью, равной
0,9. Какова вероятность того, что из 5 посеянных хотя бы одно не взойдёт.
3.30. Среди изделий некоторого производства имеется 5% бракованных. Найти
вероятность того, что среди 5 взятых наугад изделий: а) нет ни одного бракованного; б)
два бракованных изделия.
Задание 4. Предельные теоремы.
4.1. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что а) событие наступит 12 раз; б) событие наступит
более 70 раз.
4.2. Автопарк насчитывает 120 машин. Вероятность выхода на линию каждой из
них равна 0,7. Найти вероятность нормальной работы автопарка, если для этого
необходимо иметь не менее 100 исправных машин. Какова вероятность выхода на линию
97 машин?
4.3. Вероятность своевременного прибытия каждого поезда равна 0,85. Найти
вероятность того, что из 120 прибывших поездов: а) 100 поездов прибудут без опоздания;
б) не более 110 поездов прибудут без опоздания.
4.4. Всхожесть семян данного растения 90%. Найти вероятность того, что из 800
посаженных семян взойдёт: а) не меньше 700; б) Ровно 650 семян.
4.5. вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,15. Найти
вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажутся неисправными
ровно 60; от 70 до 100 штук.
4.6. Игральную кость бросают 100 раз. Найти вероятность того, что цифра 5
появится ровно 20 раз, от 20 до 30 раз.
4.7. Вероятность того, что абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна
0,01. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Какова вероятность того, что в
течение часа позвонят 3 абонента, не менее 2 абонентов.
4.8. По данным ОТК в среднем 15% изготовляемых на заводе часов нуждаются в
дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных
часов: а) 350 не будут нуждаться в регулировке; б) от 380 до 400 часов не будут
нуждаться в регулировке.
13
4.9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что в 200 испытаниях событие появится не менее 20
раз и не более 30 раз.
4.10. Найти вероятность того, что из 500 посаженных семян не взойдёт 130 и не
более 120, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75.
4.11. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может
появиться с вероятностью p=0,3. Опыт повторяют при неизменных условиях 150 раз.
Найти вероятности того, что событие А появится не более 30 раз; событие А появится
ровно 25 раз.
4.12. . Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может
появиться с вероятностью p=0,5. Опыт повторяют при неизменных условиях 900 раз.
Какова вероятность того, что событие А появится ровно 400 раз.
4.13. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что в
пакете содержится недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001.
Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно
укомплектованных пакета; б) не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов.
4.14. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01.
Найти вероятность того, что из 800 пассажиров опоздают ровно 90; от 70 до 80
пассажиров.
4.15. Вероятность того, что изделие, имеющее дефект, пройдёт входной контроль,
равна 0,002. Найти вероятность того, что из партии, содержащей 500 дефектных изделий,
входной контроль пройдут: а) 2 дефектных изделия; б) более двух дефектных изделий.
4.16. На базу отправлено 1000 изделий. Вероятность того, что изделия будет
повреждено в пути, равна 0,003. Найти вероятность того, что на базу прибудет: а) три
повреждённых изделия; б) более трёх повреждённых изделий.
4.17. На предприятии работает 1400 сотрудников. Найти вероятность того, что 31
декабря является днём рождения: а) двух сотрудников; б) не менее двух сотрудников.
4.18.
Вероятность
изготовления
нестандартного
изделия
при
массовом
производстве равна 0,001. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий
окажется: а) 3 нестандартных изделия; б) менее 1998 стандартных.
4.19. Телефонный кабель состоит из 400 пар. Вероятность того, что пара
повреждена, равна 0,0125. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к
телефонной сети 395 абонентов, если для подключения каждого абонента нужна одна
пара.
4.20. В страховой компании от несчастного случая застраховано 10000 человек.
Вероятность несчастного случая равна 0,0004. При возникновении несчастного случая
клиенту компании выплачивается страховая сумма. Найти вероятность того, что
страховую сумму придётся выплачивать: а) 4 клиентам; б) менее чем двум клиентам.
4.21. В штате предприятия состоит 730 сотрудников. Найти вероятность того, что
день рождения двух любых сотрудников приходится на один и тот же день.
4.22. Полиграфическая фирма издала рекламные проспекты тиражом 1000
экземпляров. Вероятность того, что отдельный экземпляр проспекта окажется
бракованным, равна 0, 002. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 2
бракованных проспекта; б) по крайней мере 998 проспектов не будут иметь дефектов.
14
4.23. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей: а) 356 окажутся
стандартными; б) от 340 до 400 будут стандартные.
4.24. В некотором городе из каждых 100 семей 80 имеют видеомагнитофоны.
Найти
вероятность
того,
что
300
из
400
имеют
видеомагнитофоны;
что
видеомагнитофоны имеют более 350 семей.
4.25. В некотором городе из каждых 100 семей 95 имеют холодильники. Найти
вероятность того, что из 500 случайно выбранных семей имеют холодильники: а) от 300
до 400 включительно; б) ровно 450 семей.
4.26. Строительная фирма раскладывает рекламные проспекты по почтовым
ящикам. Прежний опыт работы показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч
следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тысяч проспектов число
заказов будет: а) равно 48; б) не менее 50.
4.27. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может
появиться с вероятностью p=0,7. Опыт повторяют при неизменных условиях 70 раз.
Какова вероятность, что событие А появится : а) ровно 35 раз; б) от 40 до 50 раз.
4.28. В пчелиной семье 5000 пчёл. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,
001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеют более чем 2
пчелы.
4.29. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты правильно
сработает p=0,8. Найти вероятность того, что при опускании 300 монет дважды автомат
не сработает правильно.
4.30. Установлено, что виноградник поражён вредителями в среднем на 10%.
Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет
поражён. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить
результаты.
Задание 5. Закон распределения дискретной случайной величины.
5.1. Из ящика с шестью деталями, из которых четыре стандартные, наудачу
извлечены три детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа
стандартных деталей среди извлеченных. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
5.2. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет 0,2. Определить закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х –
количество выигрышей из 3-х лотерейных билетов.
5.3. В урне 8 белых и 5 чёрных шаров. Из урны случайным образом извлекают 2
шара. Составить ряд распределения случайного события Х- количество белых шаров в
паре шаров, извлечённых из урны. Найти математическое ожидание и дисперсию.
5.4. Трижды подбрасывается монета. Случайная величина Х – число выпавших
гербов.
Составить
закон
распределения
данной
случайной
величины,
найти
математическое ожидание и дисперсию Х.
5.5. Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 3% брака. Случайная
величина Х – число бракованных деталей среди пяти деталей. Найти математическое
ожидание и дисперсию Х.
15
5.6. Из урны, содержащей 2 белых и 4 чёрных шара, случайным образом достают 3.
Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Составить закон распределения
случайной величины, найти математическое ожидание и дисперсию.
5.7. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания 0,4.
Случайная величина Х – число попаданий при трёх выстрелах. Составить закон
распределения СВ, найти математическое ожидание и дисперсию.
5.8. Составить закон распределения случайной величины Х – число выигрышных
билетов среди 4-х взятых из 10 билетов, если там два выигрышных. Найти
математическое ожидание и дисперсию.
5.9. Производится стрельба по удаляющейся цели из орудия. При первом выстреле
вероятность попадания равна 0,8; при втором 0,4. Случайная величина Х – число
попаданий в цель при двух выстрелах. Составить закон распределения. Найти
математическое ожидание и дисперсию.
5.10. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна,
равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент,
если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию.
5.11. В урне лежат 15 шаров, из них 5 белых. Из урны вынимают наудачу 4 шара.
Составить закон распределения случайной величины Х – число вынутых белых шаров.
Найти математическое ожидание и дисперсию.
5.12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,6.
Производится 4 выстрела. Составить закон распределения числа попаданий. Найти
математическое ожидание, дисперсию.
5.13. Вероятность выигрыша в лотерею 0,05. Найти математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – количества выигрышных из
трёх лотерейных билетов.
5.14. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Составить закон
распределения СВ Х-выигрыша 1-го из 3х проведённых партий. Найти математическое
ожидание и дисперсию.
5.15. Из урны, содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров, случайным образом
извлекаются три шара. Случайная величина Х – число чёрных шаров в выборке.
Составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.
5.16.
Вероятность
опоздания
поезда
на
станцию
0,1.
Составить
закон
распределения СВ Х – числа опоздавших поездов из 3-х. Найти математическое
ожидание и дисперсию.
5.17. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания для первого 0,8; для второго 0,9. Случайная величина Х число попаданий.
Составить закон распределения СВ, найти математическое ожидание и дисперсию.
5.18. Вероятность выплаты договоров страховой компанией составляет 0,09 (в
связи с наступлением страхового случая). Составить закон распределения числа таких
договоров среди наудачу выбранных 3-х. Вычислить математическое ожидание и
дисперсию.
5.19. В контрольной работе 3 задачи. Вероятность правильного решения первой 0,9,
второй и третьей 0,8. Составить закон распределения числа правильно решённых задач и
вычислить математическое ожидание и дисперсию.
5.20. Менеджер торгового зала наблюдает за работой трёх продавцов. Вероятность,
что его помощь потребуется для 1-го составляет 0,3, для второго 0,4, для третьего 0,2.
16
Составить закон распределения числа продавцов, которым потребуется помощь. Найти
математическое ожидание и дисперсию.
5.21. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью p
появления события А в каждом отдельном испытании. Найти веротяность p появления
события А в одном испытании, если дисперсия числа появлений события А, в трех
независимых испытаниях равна 0,63 и Р(А) > 0,5.
5.22. Случайная величина X может принимать три частных значения 0, 1 и 2.
Определить вероятность получения этих значений, если математическое ожидание
случайной величины Xравно 0,9, а дисперсия 0,69.
5.23. Случайная величина X может принимать два значения х1 и х2 с вероятностями
0,6 и 0,4. Найти значения х1 и х2, если известно, что математическое ожидание случайной
величины X равно 24, дисперсия равна 0,24 и х1 > х2.
5.24. Производятся три независимых испытания с одинаковой вероятностью
появления события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в
каждом отдельном испытании, если известно, что вероятность наступления события А от
одного до двух раз равна Рз(1, 2) = 0,27 и р < 0,5.
5.25. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: х1 =
1, х2, х3, причем х3 > х2 > х1. Вероятность того, что X примет значение x1 и х2 равна 0,3 и
0,2, соответственно. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое
ожидание М(Х) = 2,2 и дисперсию D(X) = 0,76.
5.26. Известно, что случайная величина X может принимать только три значения: 2
,3 и 4. Определить вероятности этих значений, если известны математическое ожидание
и дисперсия случайной величины: М(Х) = 3,2; D(X) = 0,76.
5.27. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х1 и
х2, причем х2> х1. Вероятность того, что X примет значение х1, равна 0,2. Найти закон
распределения величины X, зная ее математическое ожидание М(X) = 2,6 и среднее
квадратическое отклонение σ(Х) = 0,8.
5.28. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления
события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в каждом
отдельном испытании, если известно, что среднее квадратическое отклонение числа
появлений события А в четырех независимых испытаниях равна 0,6 и р < 0,5.
5.29. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: х1 и
х2, причем х2 > х1. Вероятность того, что X примет значение х1, равна 0,6. Найти закон
распределения величины X, зная ее математическое ожидание и дисперсию: М(X) = 1,4,
D(X) = 0,24.
5.30. Производятся четыре независимых испытания с одинаковой вероятностью
появления события А в каждом испытании. Найти вероятность того, что событие А
появится не менее трех раз, если известно, что математическое ожидание числа
появлений события А равно 3,6.
Задание 6. Функции распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
Случайная величина X задана функцией распределения .
Найти:
1) плотность распределения f(x) , математическое ожидание M[X], дисперсию D(X);
2) построить графики f(x) и F(x);
17
3) Вычислить вероятность попадания СВ Х в интервал (α,β), т.е. Р (α<Х<β).
18
|
, ; 6.1. , ; , 4. (α = 2,β = 3) |
, ; , . . ; , . (α = 0,β = ) |
|
, 2; . . . , ; , 4. (α = 1,β = 3) |
, ; . . . ; ; , 0. (α = -1,β = 0) |
|
, ; . . ; ; , 0. (α = -2,β = 0) |
, ; . ; ; , 1. (α = 0,25,β = 0,5) |
|
, ; . . ; ; , 9. (α = 5,β = 8) |
, ; . . . ; ; , 6. (α = 4,5,β = 5) |
|
, ; . . ; ; , 1. (α = 0,25,β = 0,5) |
, . ; . . ; . ; , 0. (α = -0,5,β = -0,2) |
|
, ; . . ; ; , 2. (α = 1,β = 2) |
, ; . . ; ; , 5. (α = 1,β = 4) |
|
, ; . . ; ; , 1. (α = -0,5,β = 0,5) |
, ; . . ; ; , 3. (α = 1,β = 3) |
19
|
, ; . . ; ; , 3. (α = 2,β = 3) |
, ; . . ; ; , 2. (α = 0,β = 1) |
|
, ; . . ; ; , 4. (α = 1,β = 3) |
, 2; . . ; ; , 3. (α = 2,β = 2,5) |
|
, 1; . . ; ; , 2. (α = 1,5,β = 2) |
, 0; . . ; ; , 3. (α = 1,β = 2) |
|
, ; . . ; ; , 4. (α = 2,β = 3) |
, 2; . . ; ; , 3. (α = 2,β = 2,5) |
|
, ; . . ; ; , 6. (α = 4,β = 5) |
, ; . . ; ; , 6. (α = 2,β = 4) |
|
, ; . . ; ; , 0. (α = -0,5,β = 0) |
, ; . . ; ; , 5. (α = 1,β = 4) |
|
, ; . . ; ; , 3. (α = 0,β = 2) |
, 1; . . ; ; , 2. (α = 1,β = 1,5) |
,
;
.
.
,
;
3;
;
.
.
;
;
,
(α = 3,5,β = 4)
4.
,
0.
(α = -0,2,β = -0,1)
Примеры решения задач контрольной работы №5
Пример 1. В урне (ящике с отверстием) находятся 10 белых, 6 черных и 4 красных
шаров. Наудачу без возвращения извлекают 3 шара. Найти вероятность следующих
событий:
1) А - все извлеченные шары одного цвета; 2) В - все извлеченные шары разного
цвета; 3) С - среди извлеченных шаров один красный; 4) D - среди извлеченных
шаров
два белых и один черный.
Решение: Всего в урне 20 шаров. Общее число способов выбора из 20 шаров трех
!
!·
·
·
1.
! ! !· · ·
Событие А (все шары или белые, или черные, или красные). Число исходов,
благоприятствующих наступлению этого события
!
!
!
Р(А) =
!· · ·
!· !
/n = 144/1140≈0,126.
! !
!
!·
!·
!·
! !
! !
2.
Событие В (один из шаров белый, другой черный, третий красный) - имеет
место одновременное наступление (совмещение) этих простейших событий.
Один из белых шаров можно выбрать
способами, а один красный
= 10 способами, один из черных
4 способами.
Число возможных вариантов выбора трех шаров разного цвета
· ·
-1.
/n = 240/1140≈0,210.
Р(B) =
·
·
3.
Событие С (один из трех шаров - красный, два остальных могут быть
любыми некрасными шарами).
Выбрать из общего количества шаров один красный можно
4 способами, а
два других из 16 некрасных шаров
(16!)/14!2!= 120.
Общее число вариантов (исходов) при совмещении этих простейших событий
С
·
Р(С) =
· .
С/n = 480/1140≈0,4210.
20
4.
Событие D (среди трех шаров два белых и один черный, красные шары
отсутствуют). Общее число вариантов реализации события D является совмещение
(одновременное наступление) трех простейших событий, поэтому
! !
!· ! !·
).
Р(D) =
/n = 270/1140≈0,237.
Пример 2. Работниками супермаркета установлено, что в среднем каждые три из
десяти посетителей совершают какую - либо покупку. Найти вероятность того, что из
трех вошедших в супермаркет посетителей: а) два совершают покупки; б) все три
совершают покупки; в) ни один не совершит покупки; г) по крайней мере, два совершат
покупки; д) хотя бы один купит товар.
Решение: Обозначим события: А = {из трех посетителей, два совершат покупки}; B
= {все три посетителя совершат покупки}; С = {ни один не совершит покупку}; D = {пo
крайней мере, из трех два совершат покупки}; Е {хотя бы один купит товар}.
Введем в рассмотрение следующие независимые (элементарные) события: Ai = {i-
ый посетитель совершит покупку};
=1,2,3.
i = {i -ый посетитель не совершит покупку}; где i
1.
Событие А (любые два из трех посетителей могут приобрести товар, а третий
- нет). Модель ситуации: А = А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3.
По условию задачи Р(Аi) = 0,3, тогда вероятности противоположных событий
Р(Аi) = 1-Р(Аi) = 0,7.
Р(А) = Р (А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3)=Р(А1А2А3) + Р(А1А2А3) + Р(А1А2А3) =
= 0,3 · 0,3 · 0,7 + 0,3 · 0,7 · 0,3 + 0,7 · 0,3 · 0,3 = (0,3)2 · 0,7 · 3 = 0,189 .
2.
Событие В (покупки совершили и первый, и второй, и третий посетители -
совмещение элементарных событий А).
Модель ситуации: В = А1А2А3.
Р(В) = Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = (0,3)3 =0,027.
3. Событие С. C=А1А2А3; P(C)=0,73=0,343.
4. Событие D (покупки совершат любые два покупателя из трех, или все трое). D =
A + В, где события А и В рассмотрены выше.
P(D) = Р(А + В)= Р(А) + Р(В) = 0,189 + 0,027 = 0,216.
5. Событие Е (покупки совершат: или один из трех посетителей, или два из трех,
или все трое).
E= А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3+A+B.
Проще использовать противоположный процесс
товар}
={ни один из трёх не купит
А1А2А3 ; Р( )= P(C)=0,73=0,343;
Р(Е) = 1-Р( ) = 1-0,343=0,657.
21
·
·
· ·
,(
Пример 3 .Экзаменационный билет по теории вероятностей и математической
статистике содержит два вопроса и задачу. Вероятность того, что студент ответит на
каждый из вопросов билета равна 0,9, решит задачу - 0,8. Найти вероятность того, что
студент успешно сдаст экзамен, если для этого необходимо: а) ответить на оба
вопроса и решить задачу (событие А); б) ответить хотя бы на один вопрос и при этом
решить задачу (событие В).
Решение: Введем дополнительные события: А1, А2 - студент ответит соответственно
на первый и второй вопросы, А3 - студент решит задачу экзаменационного билета; А ,
А , А - противоположные события.
По условию задачи Р(А1) = Р(А2) = 0,9; Р(А3) = 0,8. Вероятность
противоположных событий соответственно составят: Р(А1) = Р(А2) = 1 - 0,9 = 0,1.
Р(А3) = 1-0,8 = 0,2.
1. Событие А - «студент ответит на оба вопроса и решит задачу». А = А1А2А3;
Р(А) = P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,9 · 0,9 · 0,8 = 0,648.
2.
Событие В - «студент ответит хотя бы на один вопрос и при этом решит
задачу».
В = А1А2А3+ А1А2А3+ A1A2A3;
P(B) = P(А1А2А3)+P(А1А2А3)+P(A) = 0,9 · 0,1 · 0,8+0,648= 0,792.
Пример 4. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго - 35%, с
третьего - 45% деталей. Первый автомат дает в среднем 2% брака, второй -3% брака,
третий -15%. Найти вероятность того, что поступавшая на сборку деталь бракованная.
Решение:
Обозначим через А событие, состоящее в том, что поступившая на
сборку деталь бракованная. Введем три гипотезы: Нi - деталь изготовлена на i - ом
автомате (i=1,2,3). Вероятность гипотез по условию задачи Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,35;
Р(Н3)=0,45. Условные вероятности поступления бракованной детали на сборку: РН1(А) =
0,02
РН2(А) = 0,03, Р Н3 (А) = 0,015.
По формуле полной вероятности имеем
Р(А) = ∑
·
= 0,2 · 0,02 + 0,35 · 0,03 + 0,45 · 0,015
0,021,
Пример 5. Расследуются причины аварии на железнодорожном транспорте, о
которой были высказаны четыре предположения (гипотезы) Н1 , Н2 , Н3 , Н4. По данным
статистики вероятности гипотез Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,4; Р(Н3)=0,3; Р(Н4)=0,1. В ходе
расследования обнаружено, что произошло разрушение рельсового пути ( событие А).
Условные вероятности события А согласно той же статистики, равны: РН1(А) = 0,9 ,
РН2(А) = 0, Р Н3 (А) = 0,2, РН4(А) = 0, 3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных
условиях?
22
Решение: Событие А наступило и необходимо установить вероятности всех
четырех предположений (гипотез) реализации этого события, чтобы выделить наиболее
вероятную причину аварии.
Используем формулу вероятности гипотез Байеса. Полная вероятность события А
Р(А) = ∑
·
= 0,2 · 0,9 + 0,4 · 0 + 0,3 · 0,2+ 0,1 · 0,3
0,027.
Вероятности гипотез после того, как событие А наступило:
=
·
=
=
=
=
, · ,
,
, · ,
,
, · ,
,
, ·
,
0,667;
0;
0,222;
0,111.
0,667
0
0,222
0,111
1.
Вывод. Вероятнее всего разрушение рельсового пути произошло в результате
реализации первого предположения (гипотезы Н1).
Пример 6. Бланк программированного опроса по одному из разделов учебной
дисциплины состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос даны четыре ответа, среди у
которых один
правильный. Какова вероятность, что методом угадывания студенту
удается выбрать: а) три правильных ответа (событие А1); б) не менее четырех
правильных ответов (событие А2)
Решение. Условия проведения опроса соответствуют схеме Бернулли: n=5,
Р(А)=р=1/4 - вероятность выбрать правильный ответ случайным образом,
P( ) = q = 1--p = 3/4; Рn(т) =
а) Событие А1(т=3).
.
!
! !
б) Событие А2 (студенту удастся выбрать или 4 или 5 правильных ответов).
! !
! ! ! !
Ответ: Р(А1) 0.088; Р(А2) 0.016.
Пример 7. Предприятие отправило 1000 изделий, прошедших предварительную
проверку. Вероятность повреждения изделия в пути, как показал опыт, можно принять
равной 0,001. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а)
одно изделие (событие А1); б) три изделия (событие А2); в) не более трех изделий
(событие А3); г) не менее трех изделий (событие А4).
Решение. Имеем: n=1000,p=0,001 q=1-p=0,999.
23
0.088.
Р(А1) = Р5 (3) =
0.016.
Р(А2) = Р5 (4) + Р5 (5) =
Так как p < 0,1 и nр=1<10 применим формулу Пуассона для маловероятных
событий:
!
, где
1,
2,718.
a)P(А 1) = P1000(m = 1)
!
0,368;
б)
Р(А2) = Р1000(т = 3)
!
0,061;
в) Р(А3) = Р1000(0 т
3)
0
1
2
3
!
!
! !
г) Р(А4) = Р(3<т 1000) = 1 - Р(А3) 1-0,981 0,019.
Ответ: P(А 1) 0,368; P(А 2) 0,061; P(А 3) 0,981; P(А 4) 0,019.
Пример 8. Автобусный парк насчитывает 80 машин. Вероятность выхода на линию,
как показал опыт, можно принять равной 0,9. Для нормальной работы автопарка
необходимо иметь исправными не менее 70 машин. Найти вероятность выхода на линию:
а) ровно 70 машин (событие А1); б) не менее 70 машин (событие А2).
Решение. а) Событие А1: n=80, m=70, p=0,9, q=1-p=0,1, np=72>10. Используем
асимптотическую формулу Муавра - Лапласа:
· .
√ √ √ · . · .
По таблице значений функции (см. приложение 1) находим (-0,745)=
(0,745) 0,3022.
1
70 0,3022 0.113.
√80 · 0,9 · 0,1
б) Событие А2: 70 т 80. Используем интегральную функцию Лапласа:
· .
√ √ · . · .
· .
√ √ · . · .
По таблице значений функции Ф (см. приложение 2) находим
Ф
= Ф
0,745
Ф 0,745
0,2719; Ф
= Ф 2,98
0,4986.
Р(А2) = Р80(70,80) 0,4986 0,2719 0,770.
Ответ: 0.113, Р(А2) 0,770.
Пример 9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
0 при 0,
8
при 0
1 при
2.
2,
Требуется: 1) установить закон плотности вероятности f(х); 2) построить графики
функций F(x) и f (x); 3) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение НСВХ; 4) найти вероятность того, что случайная величина
примет значение, заключение в интервале (1,2).
Р е ш е н и е.
1) Установим закон плотности вероятности, используя формулу f(х) = F'(x):
если х 0 f(х)= 0;
если 0 < х 2 f(x)=(x3/8)`=3x2/8;
24
0,981;
, 0.745.
, где
,
70,
80,
Ф
Ф
, где
0.745,
2,98.
если х > 4
f(х) = 0.
0, при
0,
Функция плотности вероятности принимает вид:
, при 0
1, при
2.
2,
2) Задав ряд значений аргумента х, строим графики функций F(x) и f(х).
3) математическое ожидание:
∞
3
8
∞
Дисперсия:
∞
∞
96 9 6
0,15.
Среднее квадратическое отклонение:
3
8
3
8
3
2
3
8 4
3
8 5
3
32
9
4
2
0
3
40
2
3
2
.
0
9
4
0,15
0,387.
4) Вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал (1, 2) находим,
используя формулу:
.
1
2
3
8
3
8 3
1
8
2
1
7
8
0,875.
Ответ: M(X)=1,5; D(X)=0,15;
0,387;
1
2
0,875.
Пример 10.
Вероятность
изготовления
нестандартного
изделия
при
налаженном
технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых
изделий контролер берет из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного
изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий,
проверяемых в каждой партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой
случайной величины.
Решение.
Случайная величина X может принимать значения 1, 2, 3, 4. Она примет значение
х1=1, если первое проверяемое изделие окажется нестандартным. Вероятность такого
исхода испытания Р(Х= х1 = 1) = 0,1.
Проверка партии ограничивается двумя изделиями, если первое окажется,
стандартным, а второе нестандартным. Р(Х = х2 = 2) = 0,9 · 0,1 = 0,09 (используется
теорема вероятности произведения двух несовместных событий).
25
|
X |
0 |
1 |
3/2 |
2 |
|
X |
0 |
1 |
3/2 |
2 |
|
F(x) |
0 |
1/8 |
27/64 |
1 |
|
F(х) |
0 |
3/8 |
27/32 |
3/2 |
40
4
40
Проверяются
последовательно
три
изделия,
если
первые
два
окажется
стандартными, а другое нестандартным. Р(Х= х2 = 3) = 0,9 · 0,9 · 0,1= 0,081.
Четыре изделия проверяются, если первые три изделия окажутся стандартными.
Здесь возможны два случая: или окажутся стандартными все 4 изделия, или первые 3
изделия - стандартные, а четвертое нестандартное. По теореме сложения вероятностей
получим
Р(Х=х4 = 4) = (0,9)4 + (0,9)3 · 0,1= 0,6561 + 0,0729 = 0,729.
Получим следующий закон распределения ДСВХ
Проверка:
∑
=0,1 + 0,09+0,081+0,729=1.
Математическое ожидание
4
M(X) = ∑
Дисперсия
4
D(X) = ∑
=Ь0,1+2.0,09+3-0,081+40,729=3,349.
-(М(Х))2 =1-0,01+4-0,09+9-0,081+16-0,729-(3,3492 =12,763-11,216 = 1,547.
Ответ: М(Х) = 3,349; D(X) = 1,547.
Пример 11
Вероятность поступления в магазин со склада комплекта посуды с каким-либо
дефектом, как показали наблюдения, можно принять равной 0,1. Составить закон
распределения случайной величины X - числа доброкачественных комплектов из пяти
поступивших. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение ДСВХ.
Решение.
Случайная величина может принимать следующие числовые значения: 0, 1,2, 3, 4,
5,т.е.Х={0, 1,2,3,4,5}.
Вероятность поступления доброкачественного комплекта р = 0,9, дефектного
комплекта q = 0,1 (по условию задачи).
Воспользуемся формулой Бернулли:
P(X=m)= = pm q n- m.
P(X = 0) = p0 q 5 = 1 · 1 · (0,1) = 0,00001(все комплекты бракованные).
Р(Х = 1) = p1 q 4 =5 · 0,9 · (0,1)4 = 0,0004 (один комплект доброкачественный).
P(X = 2) = C25p2q3 =10·(0,9)2 ·(0,1)3 =0,0081.
Пример 12
По результатам сдачи сессии одна из групп имела следующий ряд распределения
экзаменационных оценок:
Найти вероятность получения удовлетворительных, хороших и отличных оценок,
если известно, что математическое ожидание (среднее значение) результатов сдачи
экзаменов составило 3,7, а среднее квадратическое отклонение 0,9.
26
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
X: |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pi |
0,1 |
0,09 |
0,081 |
0,729 |
Р е ш е н и е.
По условию задачи
∑
∑
0,81 .
3,7;
0,9, следовательно
Для ряда распределения должно выполняться условие ∑
следующую систему линейных уравнений:
1
3,7
1. Получим
0,1
3,7
1
0,81
2 · 0,1
3
4
5
3,7
4 · 0,1
9
16
25
0,9
3,7
0,81
3
2
3,5
9
7
16
0,9
14,1
2
3,5 3 · 0,9 0,8
7 16 14,1 9 · 0,9 6
Решая совместно два последних уравнения, находим: p
первого уравнения следует, что p 0,3.
0,4 и p
0,2. Из
Ответ. Ряд распределения экзаменационных оценок имеет следующий вид:
Пример 13.
Диаметр
деталей,
изготовленный
цехом,
является
случайной
величиной,
распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) =10 мм и
дисперсии D(X) = 0,01. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от
9,9 до 10,1 мм; б) отличается от математического ожидания не более, чем на 0,2 мм.
Решение.
Из условия задачи следует, что математическое ожидание а = М(Х) = 10 и среднее
квадратическое отклонение σ(Х) =
√0,01= 0,1.
а) Определяем вероятность попадания СВХ в интервал (9,9; 10,1). Используем
формулу Р(α < X < β) =Ф
Ф
. В нашем случае а = 9/3, 0 = 10,1.
Значения нормированной функции находим по таблицам (см. приложение 2).
Р(9,9 < X < 10,1) =Ф
0,3413 0,6826
,
,
Ф
,
,
Ф 1
Ф
1
2Ф 1
2·
б) Вероятность отклонения диаметра (СВХ) от математического ожидания а не
более чем на σ = 0,2 находим по формуле:
Р(|
|<σ) =2Ф
.
,
,
Ответ: Р(8,9 < X < 10,1) =0,6826; Р(|
2 · 0,4774 0,9548.
10|<0,2) =20,9548.
27
|
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
pi |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Р(|
10|<0,2) =2Ф
2Ф 2