- •2125 Министерство транспорта российской федерации
- •Определители
- •Определение и свойства определителя
- •Основные свойства
- •Вычисление определителей
- •4 Способ.
- •5 Способ.
- •6 Способ.
- •Задания
- •Матрицы
- •Матрицы и операции над ними
- •Линейные операции над матрицами
- •Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
- •Задания
- •Обратная матрица
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •А) методом Гаусса
- •Библиографический список
Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице -строк и -столбцов, где - число, меньшее или равное меньшему из чисели. Определитель порядка , составленный из элементов, стоящих из пересечения выделенных -строк и -столбцов, называетсяминоромилиопределителем, порожденным матрицей.
Рангом матрицы (обозначается) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.
Ранг матрицы не изменится, если:
поменять местами любые два параллельных ряда;
умножить (разделить) каждый элемент ряда на один и тот же множитель (делитель) ;
прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель;
Ряд, состоящий из нулей, отбрасывается.
Преобразования 1-4 называются элементарными. Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матрици обозначается ~.
Базисным минором матрицыназывается всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.
Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований можно любую матрицу привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей, или нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.
Пример 2.1.Найти ранг матрицы методом единиц и нулей.
~
1 шаг.
Разделим элементы третьего столбца на 2, затем первую строку умножим на и сложим с четвертой строкой. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
2 шаг.
Теперь четвертую строчку складываем со второй и с третьей. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
+
++
3 шаг.
Умножим элементы второго столбца на и сложим с элементами четвертого столбца. Затем умножим элементы второго столбца наи сложим с соответствующими элементами первого столбца. И окончательно элементы второго столбца сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
4 шаг.
Умножим элементы третьей строки на и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
+
5 шаг.
Сложим элементы пятого столбца с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
+
6 шаг.
Умножим элементы третьего столбца на 3 и сложим с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
++
7 шаг.
Умножим на элементы третьего столбца и сложим с соответствующими элементами второго и четвертого столбцов. Получим новую эквивалентную матрицу:
~~
+
8 шаг.
Умножим элементы четвертого столбца на и сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Затем просто умножим элементы четвертого столбца на. Получим новую эквивалентную матрицу:
~- , так как осталось 3 единицы.
Метод окаймляющих миноров. Минорпорядка, содержащий в себе минорпорядка, называетсяокаймляющимминором. Если у матрицы существует минор, а все окаймляющие его миноры, то.
Найдем этим методом из предыдущего примера.
Начнем с левого верхнего угла:
;
;
Как видно, что эта матрица содержит всего два минора 4-го порядка. Проверим второй:
То есть