alg_meth
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Московский государственный университет приборостроения и информатики
кафедра высшей математики
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания для студентов дневной формы обучения для подготовки к контрольным работам, зачету и экзамену.
Москва 2009
УДК 517.
Алгебра и геометрия. Методические указания для студентов дневной формы обучения для подготовки к контрольным работам, зачету и экзамену.
МГУПИ. М. 2009.
Излагаются основные требования, предъявляемые при сдаче экзамена. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по дневной форме обучения.
2
Основные положения.
В течение семестра студенты выполняют три аудиторные контрольные работы.
Первая контрольная работа проводится по теме «Матрицы, системы уравнений» Время выполнения контрольной работы – 45 минут.
Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 1 «Матрицы, системы уравнений»
ОБРАЗЕЦ
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
−2 |
|
0 |
|||
1.Найти матрицу X , если 3A + 2X = B , где A = |
4 |
0 |
; |
B = |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
2. |
Найти произведение матриц AB , если |
2 |
3 |
|
1 |
4 |
|
||||||||
A = |
;B= |
|
|
−3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
||
3. |
Найти матрицу, обратную матрице |
A , если A = 7 |
|
8 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4. |
Решить уравнение |
|
3 |
6 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y −9z = −6, |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти z, решив систему уравнений |
2x − y +3z = 6, . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2y +3z =3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 8 .
2 6
Вторая контрольная работа проводится по теме «Векторная алгебра» Время выполнения контрольной работы – 90 минут.
Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 2 «Векторная алгебра»
|
|
|
|
ОБРАЗЕЦ |
|
|
|||||||
1.Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(4;3;5), В(5;1;4), |
|||||||||||||
С(6;2;1) |
|
|
|
|
|
|
|
JJG JJJG |
|||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти скалярное произведение векторов CA BC , заданных точками |
||||||||||||
А(2;2;6), В(6;3;5), С(0;-6;2) |
|
||||||||||||
3. |
|
Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках |
|||||||||||
А(1;3;5), В(2;4;6), С(2;5;8), D(4;5;5) |
|||||||||||||
4. |
|
Найти координаты точки пересечения с осью ОY плоскости, проходящей |
|||||||||||
через точки А(2;2;6), В(4;1;6), С(5;2;5) |
|||||||||||||
5. |
|
Найти координаты точки пересечения плоскости XOZ с прямой, |
|||||||||||
проходящей через точки А(1;2;3), В(5;6;2) |
|||||||||||||
6. |
|
→ |
|
= 4 , |
|
→ |
|
= 4 |
, угол между векторами равен 3π / 4 . Найти скалярное |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
b |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
→ |
|
произведение |
|||||||||||||
|
2 a |
−3 b a+ |
3 b . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
→
7а. Сила F ={1;−2;5} приложена к точке А(3;7;4). Найти модуль момента этой силы относительно точки В(1;4;5).
→
7б. Вычислить работу силы F ={3;2;1}при перемещении точки ее приложения из положения А(1;2;3) в положение В(2;5;6)
→
7в. Материальная точка с импульсом p ={5;−3;1}находится в точке А(2;5;8). Найти проекцию момента импульса точки относительно начала координат на
→
направление вектора a ={1;2; 2}.
Замечание: в каждом отдельном варианте контрольной работы присутствует только одна из задач типа 7а-7в.
Третья контрольная работа проводится по теме «Прямая, плоскость, кривые второго порядка» Время выполнения контрольной работы – 45 минут.
Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 3. «Прямая, плоскость, кривые второго порядка»
ОБРАЗЕЦ
1.Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки B(0;1), C(4;21) с осью ОX.
2. Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точку
→
A(6;4;8) , перпендикулярно вектору N ={−2;1; 2} с осью OY
3.Найти координаты проекции точки A(−2;14) на прямую, проходящую через точки B(−5;33), C(5;3)
4.Найти координаты проекции точки D(6;6;0) на плоскость, проходящую через точки A(1;2;−3), B(2;1;−3), C(1;4;−1) .
5.Найти координаты фокусов линии второго порядка
(x 25−3)2 + (y −92)2 =1
Экзамен по курсу «Алгебра и геометрия» состоит из двух этапов. На первом этапе проводится проверка в форме теста знания студентами основных понятий курса – уровень А.
Тест включает 11 задач. Студен считается успешно прошедшим тестовый контроль, если он решил правильно не менее 5 задач. Если студент решил правильно менее пяти задач, то он получает неудовлетворительную оценку.
Студент, решивший правильно от 5 до 8 задач получает удовлетворительную оценку.
Студенты, решившие правильно более 8 задач имеют право продолжать сдачу на хорошую и отличную оценку.
4
Примечания.
1.Приведенные здесь цифры являются ориентировочными. Точные значения критериев Вам сообщит преподаватель 2.Для тех специальностей, для которых итоговой оценкой является зачет, проводится только тест.
Экзамен на хорошую и отличную оценку проводит преподаватель и на этом экзамене проверяется глубина усвоения курса, теоретические основы курса и умение применять полученные знания к решению задач. Основные требования к знаниям изложены в уровне В.
Уровень А.
Для успешного прохождения теста студент должен уметь следующее. 1.Вычислять определители и уметь использовать метод разложения определителя по строкам и столбцам.
2.Использовать формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. 3.Складывать и умножать матрицы.
4.Находить обратную матрицу.
5.Находить координаты вектора, соединяющего две точки, заданных своими координатами.
6.Находить координаты точки, делящую отрезок в данном отношении. 7.Находить координаты суммы векторов и координаты произведения вектора на число, если известны исходные координаты векторов в данном базисе. 8.Вычислять скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
9.Находить углы между векторами, модуль вектора и единичный вектор, соответствующий данному направлению, если известны координаты векторов в ортонормированном базисе.
10.Находить углы в треугольнике, если известны координаты его вершин в прямоугольной декартовой системе координат.
11.Знать условия параллельности и перпендикулярности векторов.
12.Вычислять векторное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
13.Знать геометрический смысл векторного произведения.
14.Уметь определять площадь треугольника, если известны координаты его вершин в прямоугольной декартовой системе координат.
15.Вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
16.Знать геометрический смысл смешанного произведения.
17.Уметь определять объем косоугольного параллелепипеда и объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин в прямоугольной декартовой системе координат.
18.В прямоугольной декартовой системе координат находить: уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через две данные точки;
5
уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.
19.Определять расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением. 20.Определять условия параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми.
21.В прямоугольной декартовой системе координат находить: уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
22.Определять расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
23.В прямоугольной декартовой системе координат находить: каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
24.Определять точку пересечения прямой и плоскости.
25.Определять угол между плоскостями, условие параллельности плоскостей.
26.Знать условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
27.Определять проекции точек на прямую и плоскость.
Образцы экзаменационных тестовых задач.
1. Найти сумму элементов матрицы, полученной перемножением матриц
|
1 |
2 |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
7 |
8 |
|
|
|
|
2. Найти сумму элементов матрицы, обратной |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
3x + 4y + 2z =8, 3. Найти х, решив систему уравнений 2x − 4y −3z = −1,
x +5y + z =0.
4.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2). Найти: косинус угла при вершине А; площадь треугольника.
5.Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(1;3;5) и В(2;1;6) с плоскостью XOY.
6.Найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;3;2),
В(3;5;1), С(2;7;2) с осью OX.
7.Найти расстояние от точки D(5;2;7) до плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2).
8.Найти квадрат площади треугольника с вершинами в точках
A(-8;-6;-1), B(-7;4;-2), C(0;-1;1)
9. Найти сумму координат точки пересечения с осью ОХ плоскости,
проходящей через точки A(1;2;3), B(2;-1;1), C(-1;-2;0)
6
10.Найти сумму координат точки пересечения XOY с прямой, проходящей через точки A(1;2;3), B(2;1;1)
11.Найти сумму координат проекции точки D(3;2;7) на плоскость,
проходящую через точки A(2;0;0), B(0;3;0), C(1;0;3)
12.Найти сумму координат проекции точки A(5;6) на прямую, проходящую через точки B(1;3), C(5;11)
13.Найти точку пересечения с осью ОХ прямой, проходящей через точки
A(1;2), B(5;4) |
JJG JJJG |
|
|
14. Найти скалярное произведение векторов AB AC, заданных точками |
|
A(-8;-6;-1), B(-7;4;-2), C(0;-1;1) |
|
15. Вычислить увеличенный в 6 раз объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2;0;1), B(1;1;1), C(2;1;-1), D(4;3;3)
УРОВЕНЬ В.
При сдаче экзамена на хорошую и отличную оценку проверяются не только умение решать задачи, но и знание основных вопросов теории. Студент должен знать определения и уметь отвечать на следующие теоретические вопросы.
1.Определение определителя квадратной матрицы и доказывать основные свойства определителей на примере определителя третьего порядка. 2.Выводить формулы Крамера. Знать условия существования ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений.
3.Доказывать основные свойства линейных операций над векторами.
4.Доказывать основные свойства проекций векторов на ось.
5.Доказывать правила сложения векторов и умножения вектора на число если известны координаты вектора в некотором базисе.
6. Выводить формулы для координат вектора, соединяющего две точки. 7.Выводить формулы, для координат точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты концов отрезка.
8.Знать определение скалярного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
9.Знать определение векторного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
10.Знать определение смешанного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
11.Выводить условия коллинеарности двух векторов, компланарности трех векторов, условие ортогональности векторов.
12.Выводить уравнение прямой на плоскости: проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; проходящей через две данные точки.
7
13.Выводить формулу вычисления расстояния от точки до прямой. 14. Выводить уравнение плоскости, проходящей через данную точку,
перпендикулярно данному вектору; проходящей через три данные точки. 15.Выводить формулу вычисления расстояния от точки до плоскости. 16.Выводить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; проходящей через две данные точки.
17.Знать определения и выводить канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
18.Знать уравнения и делать схематические рисунки поверхностей второго порядка: эллипсоид; однополостный и двуполостный гиперболоид; эллиптический и гиперболический параболоид; эллиптический конус; цилиндры.
19.выводить формулы изменения координат точки при параллельном переносе координатных осей и при повороте системы координат. 20.Использовать метод Жордана-Гаусса для исследования систем линейных уравнений.
21.Знать определение ранга матрицы и уметь его вычислять.
22.Выводить формулу изменения координат вектора при переходе к другому базису.
23.Знать определение линейного оператора, его матрицы в данном базисе, формулу преобразования матрицы при переходе к другому базису. 24.Знать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора и уметь их определять.
Образцы задач.
1.Пользуясь методом Жордана-Гаусса, решить системы уравнений
|
x |
|
+ x |
2 |
+ x |
3 |
+ x |
4 |
=3, |
|
|
|
|
x + x |
2 |
+ x |
3 |
+ x |
4 |
=3, |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x1 − x2 + x3 − x4 |
= 2, |
|
|
|
2x1 − x2 + x3 − x4 |
= 2, |
|||||||||||||||||||
А) |
x |
|
+ 2x |
2 |
|
|
|
− x |
4 |
=3, |
|
В) |
|
|
|
x |
|
+ 2x |
2 |
− x |
4 |
=3, |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
2x |
+ x |
2 |
|
− x |
3 |
+ 2x |
4 |
= 2. |
|
|
4x |
+ 2x |
2 |
|
+ 2x |
3 |
− x |
4 |
=8. |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Найти ранг матрицы |
3 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти: а) собственные значения линейного оператора A; б) единичные
собственные векторы, составляющие острый угол с осью Ох. A = −1 41 2
4. |
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|||
Решить уравнение AX = B , еслиA = |
|
|
|
|
|
B = |
|
|
|
. |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Решить уравнение XA = B, если A = |
3 |
|
5 |
B = |
1 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
6.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа
или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) умножением столбца с номером j на множитель λ.
7.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась
матрица, полученная из матрицы A(aij ) умножением строки с номером i на множитель λ.
8.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) удалением столбца с номером j
9.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) удалением строки с номером i .
10. Доказать, что если система уравнений
A1 x + B1 y +C1 z + D1 =0;A2 x + B2 y +C2 z + D2 =0;A3 x + B3 y +C3 z + D3 =0;
A4 x + B4 y +C4 z + D4 =0
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
C1 |
D1 |
|
||
имеет решение, то определитель |
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
D2 |
=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
C |
3 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
B4 |
C4 |
D4 |
|
||
|
|
1 |
2 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. Решить уравнение |
|
3 |
1 |
1 |
5 |
|
=0 . |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
12. Дано: |
|
a |
|
= 4, |
|
|
|
|
=6 , угол ϕ между векторами равен ϕ = |
π |
. Найти: |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
а) косинус угла между векторами (a − |
|
) |
и (2a −3 |
|
); |
|
|
|||||||||||||
b |
b |
|
|
|
||||||||||||||||
б) |
площадь |
|
|
|
параллелограмма |
построенного |
|
на |
векторах |
|||||||||||
(− a + 2 |
|
) и (2a +3 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
9
13. |
|
|
Найти |
вектор |
|
|
a , |
если |
он |
перпендикулярен |
векторам |
|||
|
|
|
= {1, 3, 2}, |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет условию (a d |
)= 5, где |
||
|
b |
|
||||||||||||
|
|
c = 2i |
+ j − k , и |
d= {1, 1, 1}.
14.В параллелограмме ABCD: AB = 6, AD = 12, A = 300. Точка М, лежащая на стороне BC, делит эту сторону в отношении BM:MC = 1:2, а точка N, лежащая на стороне CD, делит эту сторону в отношении CN:ND = 3:1.
Найти MAN.
15.Найти расстояние от точки А(2, 1, 1) до прямой, проходящей через точки
B(1, 4, 1) и C(3, 2, 1).
16.Найти расстояние от точки D(0, 0, 0) до плоскости, проходящей через
точки A(2, 1, 1), B(1, 4, 1) и C(3, 2, 1).
17.Дан треугольник АВС. На стороне АВ взята точка М, такая что AM : MB = m : n . На стороне АС взята точка N, такая что AN : NC = p : q .
Точка О является точкой пересечения прямых BN и CM. В каком отношении точка О делит отрезок BN
18. В основании пирамиды ABCD1 лежит прямоугольный треугольник ABC .
Угол BAC прямой, угол ABC равен α. Гипотенуза ВС равна c . Ребро BD равно l и составляет со сторонами АВ и АС углы β и γ соответственно. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
19. Дан куб |
ABCDA1B1C1D1 . На ребрах AB, AD, AA1 взяты точки P, M, N, |
|||
такие что |
AP = p , |
AM = q , |
AN |
= r . Найти расстояние от точки C до |
|
||||
|
PB |
MD |
1 |
|
|
NA1 |
плоскости, проходящей через точки P, M, N.
20.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(2;3), В(6;6), С(10;9). Найти: а) уравнения и длины медианы и высоты, проведенных из вершины А; б) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А.
21.Найти проекцию точки А(4;4) на прямую, проходящую через точки В(1;3)
и С(4;9).
22. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;2;3), В(3;4;4), С(5;2;6). Найти параметрические уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А.
23.Найти точку, симметричную точке А(3;4;2) относительно плоскости,
проходящей через точки В(3;0;0), С(0;2;0), D(0;0;6).
24. Найти координаты вершин треугольника если даны координаты одной его вершины А(1;2) и уравнения его высот: 3x + 4y − 74 = 0, 5x +12y −92 = 0 .
25. Найти координаты вершин треугольника если даны координаты одной его вершины А(1;2) и уравнения его медианы: 20x − 7 y − 22 = 0, 4x + y − 22 = 0 .
10